第一章空間向量與立體幾何單元檢測卷（難）

一、單選題

L（2021?全國高二課時練習）若向量而垂直于向量￡和B,向量5=+（九〃wH）且4,〃。0,則（）

A.m//nB.mLn

C.m不平行于n>m也不垂直于nD.以上三種情況都有可能

2.（2020,江蘇省姜堰第二中學高二月考）如圖，在正方體ABC。-A4GB中，點M,N分別

是面對角線A8與84的中點，若方=￡,DC=b^DD^=c,貝1」麗=()

A.^+b-a1/-1

B.+C.一aD.-

22

3.（2021,江蘇高二期末）在棱長為1的正方體A3CO-A片GR中，M.N分別是4耳、AA的中點，則

直線AM與DN所成角。的余弦值為（）

12國D,還

A.-B.一r

5555

4.（2021?湖北荊州?高二期末）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，8G與與C相交于點

O,ZA^AB=Z\AC=ZBAC=60°,AtA=3,AB=AC=2,則線段AO的長度為()

A.叵V295D.叵

RC.一

2222

5.（2020?浙江溫州市?溫州中學高三月考）如圖四邊形ABCD,AB=BD=DA=2,BC=CD=M.現將△ABO

jrSTT

沿3。折起，當二面角A-BD-C處于過程中，直線AB與8所成角的余弦值取值范圍

。。

是()

572叵V2542

A.B.

C.D.0,

6.（2021?北京高一期末）在棱長為1的正方體ABC。-A4G2中，M,N分別為AA「，CC,

的中點，。為底面A3CQ的中心，點尸在正方體的表面上運動，且滿足NPLMO,則下列說

法正確的是（）

B線段NP的最大值為乎

A.點尸可以是棱B耳的中點

C.點尸的軌跡是平行四邊形D.點尸軌跡的長度為1+&

7.（2021?河北饒陽中學高三其他模擬）如圖，正方體ABCO-A4GQ的棱長為6,

點/是棱A4的中點，AC與應）的交點為。，點M在棱3C上，且BM=2MC,

動點T（不同于點M）在四邊形ABCD內部及其邊界上運動，且7M則直

線3尸與7M所成角的余弦值為（）

&屈RV10rV5□小

4545

8.（2022?全國高三專題練習）在棱長為1的正方體A3CO-4與G2中，P是線段BG上的點，過"的平面

。與直線垂直，當尸在線段3G上運動時，平面a截正方體ABC。-A耳G2所得的截面面積的最小值

是（）

A.1B.-C.—D.72

42

二、多選題

9.（2020,遼寧高二期中）給出下列命題，其中為假命題的是（）

A.已知為為平面a的一個法向量，沅為直線/的一個方向向量，若亢_L雨，則"/a

B.已知萬為平面。的一個法向量，沅為直線/的一個方向向量，若限兩=午，貝心與a所成角為?

C.若三個向量1,b,C兩兩共面，則向量方，b,C共面

D.已知空間的三個向量萬，b，c,則對于空間的任意一個向量廣，總存在實數％y，z使得力=尤萬+防+z1

10.（2021?邵陽市第二中學高三月考）如圖，菱形ABCD邊長為2,Zfi4Z）=6O°,E為邊AB的中點.將44DE

沿DE折起，使A到A，，且平面ADE_L平面BCDE,連接A3,A!C.

則下列結論中正確的是（）

A.BDIACB.四面體ACDE的外接球表面積為8兀

3D.直線A3與平面A'CD所成角的正弦值為亞

c.5c與的所成角的余弦值行

4

11.（2021?重慶南開中學高三其他模擬）設所有空間向量的集合為&=｛（%%,W）%,程玉€鳥，若非空集

合MUR，滿足：@\yx,yeM,x+y&M,@VaeR,x&M,ax&M,則稱"為G的一個向量次空間，

已知A,B均為向量次空間，則下列說法錯誤的是（）

A.Ar\B^0

B.AUB為向量次空間

C.若At",則8=店

D.若5片何,則或eA,總不eB且"6,使得小了=。

12.（2021?遼寧）已知直四棱柱ABCO-A4G2,底面ABCD為矩形，AB=2,BC=6側棱長為3、

設尸為側面的。2所在平面內且與。不重合的任意一點，則直線BR與直線所成角的余弦值可能為（）

A.--B.；C.—D.-

2228

三、填空題

13.（2020?全國高二課時練習）已知口=13,忖=19,卜+0=24,則,-@=.

14.（2021?浙江）如圖，在棱長為4的正方體A8CD-A4G2中，/W是棱A1A上的動點，N是棱2C的中

點.當平面D'MN與底面ABCD所成的銳二面角最小時，AM=.

15.（2021?安徽高二期末（理））已知正四面體A-BCD的外接球半徑為3,為其外接球的一條直徑，

P為正四面體A-BCD表面上任意一點，則兩.麗的最小值為.

16.（2021?全國高三其他模擬）在棱長為3的正方體ABC。-A4G2中，BE=2EC,點尸在正方體的表

面上移動，且滿足q當戶在CG上時，|AP|=；滿足條件的所有點P構成的平面圖形的周長

為.

四、解答題

17.(2021?全國高二課時練習)已知點。是正AABC平面外的一點，若。4=O3=OC=A3=1,E,F

分別是AB、。。的中點，試求。E與E5所成角的余弦值.

18.(2020?廣東茂名市?高二期末)已知在四棱錐A-BCD石中，

AE=AB=ED=CD=^-BE=-BC,DE//BC,CD±DE,平面AB￡_L平面3cDE.

22

(1)求證：6E」CE；

(2)求二面角3—AC—。的余弦值.

A

D

B仁

C

19.（2021?江蘇省漂水高級中學高二月考）如圖，四棱錐P-ABC。中，底面AB8為矩形，平面A3CQ,

E是PD的中點，過BC作平面BCEF交平面乃始于所.

（1）證明：尸是叢的中點；

（2）設二面角D-AE-C為60。，AP=1,AD=6，求三棱錐E—ACD的體積.

20.（2021?江蘇省新海高級中學高二月考）如圖1,在等邊AABC中，點。、E分別為邊AB、AC上的動點

DE

且滿足DE//6C,記F=X.將△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE_L平面DECB,連接MB,

BC

MC得到圖2,點N為MC的中點.

（1）當硒//平面AffiD時，求2的值；

（2）試探究：隨著X值的變化，二面角3-MD-E的大小是否改變？如果改變，請求出實數；I與二面角平

面角的正弦值的函數關系；如果不改變，請求出二面角3-MD-E的正弦值大小.

21.（2021?河南高二期末（理））如圖，四棱錐P-ABCD中，底面A3C。為正方形，△PAB為等邊三角

形，平面底面ABC。，E為AD的中點.

（1）求證：CE±PD；

（2）在線段8。（不包括端點）上是否存在點歹，使直線AP與平面PEF所成角的正弦值為g,若存在,

確定點尸的位置；若不存在，請說明理由.

22.（2021?重慶巴蜀中學）如圖，在三棱臺ABC-4用C中，底面AABC是邊長為2的正三角形，側面ACC^A

為等腰梯形，且AG=A4,=1,。為AC的中點.

（1）證明：ACLBD-

rr27r

（2）記二面角A-AC-8的大小為。，時，求直線A4與平面BBC。所成角的正弦值的取值

范圍.

第一章空間向量與立體幾何單元檢測卷(難)

一、單選題

1.(2021?全國高二課時練習)若向量浣垂直于向量￡和B，向量石=彳￡+//3(/1,〃€尺)且

九〃b0,則()

A.m//nB.m±n

C.浣不平行于3，記也不垂直于3D.以上三種情況都有可

能

【答案】B

【詳解】

向量機垂直于向量a和則能-a=0，〃△3=0，

又向量〃=Na+,

所以機?w=?(Aa+jub)=Am-a+jumb=Q,

所以％_1_".

故選：B.

2.(2020,江蘇省姜堰第二中學高二月考)如圖，在正方體中，點/，N

分別是面對角線AB與8a的中點，若詼=￡,DC=b，DDx=c,則麗=()

A.1(c+g-?)B.|(?+&-c)C.D.|(c-?)

【答案】D

【詳解】

因為點M,N分別是面對角線48與4A的中點，DA=a,DC=b，西=",

所以麗=麗+甌+瓦曾

1--——-1——-

=]-c+B)+?+《_4_

故選:D.

3.(2021?江蘇高二期末)在棱長為1的正方體ABC。-A4GR中，M,N分別是其耳、人4

的中點，則直線AM與DN所成角。的余弦值為()

A1R2rV21n2V6

5555

【答案】B

【詳解】

以點A為坐標原點，AB.AD.AA所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系,

1

0,T；,AM-DN2

AM=DNcos<AM,DN>=2

I皿.網好x好

~TX^2

2

因此，直線A"與。N所成角。的余弦值為二,

故選：B.

4.（2021?湖北荊州?高二期末）如圖，在三棱柱ABC-44G中，BG與8C相交于點

2?2]/-,>\2]/?2?2*2,,,,,

=A0=-(AA+AC+ABj=1AA+AC+AB+2，AA-AC+2AAAB+2,AC-ABj

Kiic

i33

=-x(32+22+22+2x3+2x3+2x2)=—,

故國=孚

故選：A.

5.(2020?浙江溫州市?溫州中學高三月考)如圖四邊形ABC。，AB=BD^DA=2,

__兀57r

8C=CD=0.現將△AB。沿3。折起，當二面角A-BD-C處于過程中，直線

OO

與8所成角的余弦值取值范圍是（）

572y/2

A.--

一-叵

C.0,——

O

【答案】D

【詳解】

在四邊形ABCO中，連接AC交8。于點。，如下圖所示:

AB=BD=DA^2,BC=CD=后,又因為AC=AC,:.^ABC=AADC,

所以，ABAC=ADAC,故ACJ_2D,即AO_L3D,COLBD,

且AO=^AB2-BO2=V3-CO=^BC2-BO1=1，

翻折后，對應地，BDLAO,BDLCO,-.-AO^CO^O,所以，BDmACO,

冗5TZ-

二面角A—3O—C的平面角為NAOC,設NAOC=d,則，e,

ob

以點。為坐標原點，oc、。。所在直線分別為龍、y軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

則點A(6cos，,0,氐in?)、5(0,-1,0)、C(l,0,0),￡>(0,1,0),

所以，AB=(-V3cos0,-1,-73sin0),CD=(-1,1,0),

ABCD石cos。-15A/2A/2

COS<AB,CD

AB[\CD\2及

所以,

5J?

因此，直線AB與CO所成角的余弦值取值范圍是0,4-.

o

故選：D.

6.（2021?北京高一期末）在棱長為1的正方體ABCD-A百GQ中，M,N分別為

CG的中點，0為底面ABC。的中心，點尸在正方體的表面上運動，且滿足NPLMO,

則下列說法正確的是（）

A.點尸可以是棱2月的中點B.線段NP的最大值為正

2

C.點P的軌跡是平行四邊形D.點尸軌跡的長度為1+四

【答案】B

【詳解】

在正方體中，以點。為坐標原點，分別以加、DC、方向為X軸、y

軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系,

B

因為該正方體的棱長為1,分別為AA，CG的中點,

1

則0(0,0,0),N

。心2，。上,。

設P(x,y,z),則標=(x,y_l,z_g

所以I-

因為NP_LMO,所以標?麗=0

所以弓x_j(y_l)+3(z一=0,ip2x-2y+2z=-l,

乙乙乙\乙)

令z=o,當為=3時，y=i；當x=o時，y=g；

取叫,1,0）,中，；，。），

連接EF,FN,NE,則麗=［一￡W=f-1,0,1

ENOM=--x—+0x|-—|+—x—=0,

22{2）22

所以EFJ_QW,EN1,OM,

又EFcEN=E,且跖＜=平面ENu平面EFN,

所以OM_L平面EFN,

所以，為使NPLO暇，必有點Pe平面E/W,又點尸在正方體的表面上運動,

所以點尸的軌跡為正三角形E/W,故C錯誤；

因此點尸不可能是棱B耳的中點，故A錯誤；

線段NP的最大值為NF=受，故B正確；

2

點尸軌跡的長度為變+走+變=逑，故D錯誤；

2222

故選：B

7.（2021?河北饒陽中學高三其他模擬）如圖，正方體A3CO-A4G，的棱長為6,點F是

棱M的中點，AC與應）的交點為。，點M在棱3C上，且3M=2MC,動點T（不同

于點M）在四邊形ABCD內部及其邊界上運動，且TMLOF,則直線用/與

7M所成角的余弦值為（）

A回rV5

A.--------DR.-Vio

454

【答案】B

法一：易知3OJ_AC.

因為AF_L平面ABC。，所以所以BO_L平面AF。,

又。尸u平面AF。，所以或）_1_。尸，

在棱。C上取一點M旦DN=2NC,連接NM,則所以所以動點了

的軌跡為線段MN（不包括M）.

取棱CG的中點從連接。“，易知DH"FB',則/印汨即異面直線B尸與7M所成的角.連

接BH,因為9=病仔=36，BD=6s/2，BH=3小,

DH2+BD2-BH2而

所以cosNHDB=

2DHxBD~T~

法二:以A為坐標原點，直線AO，AB,朋分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標

系，

易知4(0,6,6),尸(0,0,3),M(4,6,0),0(3,3,0),設T(x,y,0),則TM=(4—x,6-y,0)，

友F=(0,-6,-3)，OF=(-3,-3,3)-

由題意知|/.d=-3(4-x)-3(6-y)=0，得>=1。一尤,

所以小（1,I,。），則卜,叫=焉/…

又了不與點M重合，所以X-4*0,所以cos（B[F,心）=半,

所以直線37與77W所成角的余弦值為手，

故選：B.

8.（2022?全國高三專題練習）在棱長為1的正方體ABC。-AAGD中，尸是線段Bq上的

點，過A的平面a與直線”垂直，當尸在線段BG上運動時，平面a截正方體

A8CO-A4GR所得的截面面積的最小值是（）

A.1B.-C.—D.72

42

【答案】C

討論，確定截面。與各棱的交點，求出截面面積關于t的表達式，由此可解得截面面積的最

小值.

【詳解】

以點A為坐標原點，AB.AD,&A所在直線分別為工、》、z軸建立如下圖所示的空間直

則4(0,0,0)、A(0,0,1)、3(1,0,0)、旦(1,0,1)、C(1,1,0),G(1,1,1)、0(0,1,0)、4(0,1,1),

設點P。,⑺,其中04/V1.

①當/=0時，點尸與點8重合，BD=(-1,1,0),AC=(1,1,0),隨=(0,0,1),

所以，BDAC=0,麗?麗=0,則3D1_AC,BDVAA,,

AC^AA{=A,二即，平面朋6C,此時平面a即為平面A4,￡C,

截面面積為S=A4,?AC=0；

②當t=l時，同①可知截面面積為5=0;

③當。<f<l時，DP=(l,t-l,t),AC=(1,1,-1),

■.■DP-A^C=l+t-l-t=0,：.AXCVPD,則ACua,

設平面a交棱。2于點磯0,Lz),CE=(-1,0,z),

DPCE=-l+tz=O,可得z=!>l,不合乎題意.

t

設平面a交棱AB于點M(xQO),CM=(x-1-1,0),

DP-CM=x-l-(t-l)=O,可得x=r,合乎題意，即M(f,O,O),

同理可知，平面a交棱G2于點N（1T,1,1）,

^V=（l-r,l,O）=MC,且AN與不重合，故四邊形4MCN為平行四邊形,

而.麗2-t

AC=(1,1,-1),布=(IT,1,0),COSZCAN=

}麗.麗若."一2r+2'

------------：2(產—+1)

則sin"AN=-cos2NCA[N=]=

網產-2f+2)

所以，截面面積為

s=2S5=MH麗sin"AN=國/-+1）=[,一+|=半＜應.

綜上所述，截面面積的最小值為理.

2

故選：C.

二、多選題

9.（2020.遼寧高二期中）給出下列命題，其中為假命題的是（）

A.已知萬為平面。的一個法向量，比為直線/的一個方向向量，若河，歷,則"/a

2萬

B.已知方為平面。的一個法向量，沅為直線/的一個方向向量，若〈用比〉=F-,則/與a所

成角為《

O

c.若三個向量方，5,5兩兩共面，則向量B共面

D.已知空間的三個向量二，b,c,則對于空間的任意一個向量萬，總存在實數x，y，z使得

p=xa+yb+zc

【答案】ACD

【詳解】

對于A：由題意可得///a或/ua,故A錯誤；

對于B：

ZTTTT

由圖象可得，ZCAD=—,貝IJNZM2=W，

所以ZA￡)8=m，根據線面角的定義可得：/與。所成角為故B正確

66

對于C：若三個向量萬，b,1兩兩共面，但三個向量不一定共面，故C錯誤；

對于D：當空間的三個向量萬，b,1不共面時，對于空間的任意一個向量廣，總存在實數

zUWp=xa+yb+zc,故D錯誤.

故選：ACD

10.(2021?邵陽市第二中學高三月考)如圖，菱形ABC。邊長為2,Zfi4￡)=60。，E為邊AB

的中點.將AADE沿DE折起，使A到4,且平面ADE_L平面BCDE,連接AB,A'C.

則下列結論中正確的是(

A.BDLA'CB.四面體ACDE的外接球表面積為8兀

3

C.BC與AO所成角的余弦值為:D.直線A3與平面A'CD所成角的正弦值為

A/6

【答案】BCD

【詳解】

由題知，△ABD為正三角形，DE±AB,將沿DE折起，使A到A「且平面AZ)E_L平

面3CDE,則EB,ED,EV兩兩垂直，以E點坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系,

z

對于A,8(1,0,0),￡)(0,5^,0),A1(0,0,1),C(2,后0),fib=(-1,73,0)-A；C=(2,也,一1)，

則質>&%=_2+3=］盧0，故8。與4c不垂直，故A錯誤；

對于B,取CE的中點F,聯結DF,又DELDC,

貝ijFE=尸。=FC=,CE=LV3+4=—,

222

過F作/O_L平面CDE,四面體ACDE的外接球球心。在F。上，作OA/_LA'E,

設。尸=彳，OD=OA'=R,在RMOFD,中，

有爐=(4>+/=(t)2+(i-x)2,解得x=g,R=&,

故四面體ACDE的外接球表面積為4萬代=8萬，故B正確；

對于C,辰;=(1,6,0)，4方=(0,若，-1)，設BC與AD所成角為6,

—>—>

BCAD§

3

貝Ijcos6=r——=故C正確;

BC-A'D乙乙

.—>—>,——>,—

對于D,48=(1,0,-1)，A'C=(2,V3,-l)*A'D=(0,V3,-l)>

設平面A'CD的法向量:=(x,y,z)

n-A'C=2x+也y-z=0

則取z=5/3,

?-ArD=V3y-z=0

則：=(0,1,石)，

—>—>n-A^B—A/3_A/6

則cos<n,A'B>=

->2x0-4,

nA^B

故直線A5與平面A'CO所成角的正弦值為如，D正確;

4

故選：BCD

11.（202”重慶南開中學高三其他模擬）設所有空間向量的集合為

爐=｛（百,%,天）園,々,玉eR｝,若非空集合滿足：①“yeM,x+y&M,②

VaeR,x^M,ax&M,則稱M為爐的一個向量次空間，已知A,B均為向量次空間，

則下列說法錯誤的是（）

A.Ac5w0

B.AUB為向量次空間

C.若AuB,貝！JB=&

D.若8*何，則V元eA,總于eB且使得齊少=0

【答案】BCD

【詳解】

若“為收的一個向量次空間，則由②VaeR,x&M,就eM可知，OeM，

再結合①可得向量次空間包含元素（0,0,0）

所以向量次空間所包含的元素對應的點為穿過空間坐標系原點的一條直線，

或者經過空間坐標系原點的一個平面，或者是整個空間.

對于A,顯然當A,8均為向量次空間時，（（0,0,0）｝cAnB,所以A正確；

對于B,當A,B分別為空間中經過原點的兩條不同的直線時，取；feA,且北歹不為

（0,0,0）,

則亍+歹走AuB,不符合①，所以B錯誤；.

對于C,例如A對應一條過原點的直線/,5對應一個過直線/的平面時，滿足A=5,

但B/R3,c錯誤；

對于D,當A,B分別對應空間中兩條過了原點，但是不相互垂直的直線時，不成立，D錯

誤.

故選：BCD

12.（2021?遼寧）已知直四棱柱，底面ABC。為矩形，AB=2,BC=6,

側棱長為3,設尸為側面明。2所在平面內且與。不重合的任意一點，則直線8R與直線

PD所成角的余弦值可能為（）

A.--B.JC.—D.-

2228

【答案】BC

【詳解】

以D為原點，DA,DC、所在直線分別為了、V、z軸建立空間直角坐標系如圖，則

B（g,2,0）,R（0,0,3）,則西'=卜退,-2,3）,設點尸（x,0,z）,則加=（x,0,z）.

設直線與直線PD所成的角為凡則

畫.四|-73X+3Z|

cos6=\os（Bq,￡）尸）=

畫忖4行+z2

☆%=rcosa,z=rsina,其中r>0,

-V3rcosa+3rsina\3sincr-^coscr6（兀、6

則cos3=--------------------=-----------------=——sina---<,

4r42V6j2

所以，cos6e0,當.顯然，1e0,2,

三、填空題

13.（2020■全國高二課時練習）已知,卜13,忖=19,卜+q=24,則,-?=

【答案】22

【詳解】

,rr,2rrrr.r.2rr,r,2°rr

因為卜+0=a2+2a-b+b2=a+2a-Z>+Z?=132+2a-Z?+192=24",

所以2=力=46,

irr|2r2rrr2,

a—6=a-2a-b+b=13?—46+19?=484,

故1-0=22.

故答案為：22

14.（2021?浙江）如圖，在棱長為4的正方體ABC。-A4GR中，M是棱A/上的動點,

N是棱3C的中點.當平面0MN與底面A3CD所成的銳二面角最小時，4M=.

設M（4,0,a）（0VaV4）,N（2,4,0）,〃（0,0,4）

麗=（_2,4,-a）,麻=（2,4,T）

設平面RMN的一個法向量為〃=（x,y,z）

r—L：（4-4）z

[n-MN=0f-2x+4y-az=04

1萬.。田=。[2x+4y-4z=0（a+4）z

J=-8-

令z=8,x=8-2a,y=a+4,則〃=（8—2aM+4,8）

平面ABCD的法向量的一個法向量為X=（0,0,1）

設平面與底面ABC。所成的銳二面角為。

“…八幾?a88

所以cos6=|一||一|二/「

〃

阿川J（8—2Q）+（a+4）J5a2—24+144

741?c

當。=正=不時，cos。有最大，則。有最小，所以

Q

故答案為：—

15.（2021?安徽高二期末（理））已知正四面體A-3CD的外接球半徑為3,為其外

接球的一條直徑，P為正四面體表面上任意一點，則兩.兩的最小值為

【答案】-8

【詳解】

設正四面體外接球球心為。，

正四面體A-3CD的外接球半徑為3,

設正四面體A—BCD內切球半徑為小一個面的面積為S,高為"，貝|匕86=4、39=：5〃，

所以〃=4r,顯然r+3=〃=4r,所以廠=1,即歸。、“=1.

PMm=fW+OMYfPO+ON^Pd1+OMON=PO2-9.A-9=-S-

故答案為：-8.

16.（2021?全國高三其他模擬）在棱長為3的正方體A3C￡>-A4G，中，詼=2成，點尸

在正方體的表面上移動，且滿足用尸，RE,當尸在CC,上時，|AP|=；滿足條件的所

有點尸構成的平面圖形的周長為.

【答案】05夜+2加

【詳解】

如圖，取CC］、8上的點分別為N、M,連接AM、MN、B、N、AB］，使得ABJ/MN,

:.A,耳、N、M四點共面，且四邊形A4NM為梯形.

???正方體的邊長為3,

所以，以。為坐標原點，D4所在直線為無軸，OC所在直線為y軸，。2所在直線為z軸

建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則4（3,0,0）、4（3,3,3）、R（0,0,3）、￡（1,3,0）.

設點M（0,私0）、N（0,3,〃）,設點ELAM,且屏=（1,3,-3）,AM=（-3,m,O）,

屏?疝'=-3+3m=0,解得m=1,

?.?麗=（0,3,3）,扉.福=9一9=0,：.DlEl.ABi,

由AMnABi=A,則RE,平面A耳NM.

???點P在正方體表面上移動，且用尸■!RE,則點尸的運動軌跡為梯形AB、NM.

說=（0,2,〃），I\E-MN=6-3n=Q,解得〃=2,即點N（0,3,2）.

所以，當尸在CG上運動時，|分尸|=|AN|=J（3-Op+（0-3）2+（0-2）2=后,

又Q|Mf|=20,|ABj=30,|4^|=忸闡=質，

所以，梯形A耳NM為等腰梯形，

且梯形的周長|44|+|知可|+2|4/=30+20+2廂=5血+2廂.

故答案為：后；5V2+2A/10.

四、解答題

17.（2021?全國高二課時練習）已知點。是正AA3C平面外的一點，若

OA=OB=OC=AB=1,E,尸分別是AB、0c的中點，試求。石與跖所成角的余弦

值.

【答案】j2

【詳解】

設麗=￡,礪=B,OC=c,則〃?BB?c=c?a=g加|=W=卜|=1，

OE=-(a+b]fBF=-c-b,

2、)2

殖而$+40司=/3."+那時前一〃

1-----2、

=——a-c+—b'C-a-b-b

2(22)

I

2

所以cos（無，詼）=OEBF2

3

闔.阿「走x且

因為異面直線成角的范圍是,所以異面直線。E與BF所成角的余弦值大于等于0,

故異面直線0E與BF所成角的余弦值為j2.

18.（2020?廣東茂名市?高二期末）已知在四棱錐A_5CDE中，

AE=AB=ED=CD=^BE=-BC,DEUBC,CDVDE,平面AB￡J■平面BCDE.

B匕

（1）求證:BE^CE；

（2）求二面角3—AC—。的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）-叵.

【詳解】

r

(1)證明：?.?CD_Lr)￡;./EDC=9(r^lJCE2=EZ)2+CD2

...ED=CD=—BE=-BC

22

CE2+BE2=ED2+CD2+BE1

故BE_LCE.

文:面ABE_L平面BCDE,且面48￡八面BCDE=BE

：.CE^ABE

又BEu面ABE,：.BEYCE.

（2）取BE的中點。，連AO,則AO_L3E,從而AOJ_面BCDE.

取。為原點，04為z軸，過。且平行于C。的直線為x軸，過。平行于BC的直線為y軸,

建立如圖空間直角坐標系.

設A8=2,則B(1,-1,0),C(1,3,0),D(-1,3,0),A(0,0,&)

CD=(-2,0,0),CA=(-1,-3,6AB=(1,-1,-72),BC=(0,4,0)

設平面ACD的法向量為％=（x1,y],z1）,

4?①=01-2西=0

則，令z、=叵,得E

居?CA=0'—xt—3%+A/2Z；=0

設平面ABC的法向量為為=(尤2，%*2)

k-AB=0k-y2-V2z2=0

、［n2-BC=014y2=0

令z?=6，得我=(2,0,拒)

>=0+0+2

Z.COSV%,而

22

211

0++2x722+0+2

3

又由圖知二面角B-AC-D為鈍角

?1.二面角B-AC-D的余弦值為-返.

11

19.（2021?江蘇省深水高級中學高二月考）如圖，四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為矩形,

PA_L平面ABCD,E是尸。的中點，過3C作平面BCEF交平面24￡＞于跖.

（1）證明：產是PA的中點;

（2）設二面角O-AE—C為60。，AP=1,AD=6,求三棱錐E—ACD的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）顯

8

【詳解】

解：（1）證明???四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為矩形,

:.BC//AD,

平面RW,ADu平面PAD,

.?.3C〃平面PAD,

v過BC作平面BCEF交平面PAD于EF.

.?.EFu平面PAD,旦EFUBC,

.-.EF//AD,

?.?E是P￡＞的中點，二廠是B4的中點；

（2）以A為原點，A3為x軸，A￡）為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系,

石，0),0(0,50),E(0,B,i),

設AB=f,r>0,則A(0,o,0),c(t,

22

AE=(0,B,3)，AC=(t,G，0),

AD=(0,G,0),

22

平面ADE1的法向量為=（1,0,0）,

設平面ACE的法向量加=（x,y,z）,

m-AC=tx+6y=0

則)取y=i,得玩1,->/3),

m-AE=y+—z=0

22

???二面角D—M—C為60。,

i□3

?MY?'=不,由方>。，解得％=「?口=彳，

/3.222

#+4

1

--X國|=

UAACD2

E到平面ACD的距離d=：PA=g,

二三棱錐E-ACD的體積/Tc?=；xS.AsXd=；x羋x；=^.

3542o

20.(2021?江蘇省新海高級中學局二月考)如圖1,在等邊△ABC中，點。、E分別為邊

np

AB、AC上的動點且滿足。￡〃8C,記*;=2.將△ADE沿DE翻折到△的位置并使得

平面平面DECB,連接MB,MC得到圖2,點N為MC的中點.

圖1圖2

(1)當EZV〃平面時，求X的值；

(2)試探究：隨著力值的變化，二面角3-的大小是否改變？如果改變，請求出實

數4與二面角平面角的正弦值的函數關系；如果不改變，請求出二面角B-MD-E的正弦值

大小.

【答案】(1)|(2)述

【詳解】

(1)取的中點為P,連接DP,PN,

因為MN=CN,MP=BP,所以NPIIBC,又DEIIBC,所以NPIIDE,即N,E,D,P四點共

面，又ENII面BMD,EA/q?NEDP,平面NED