二次函數中周長最小問題專題訓練1.如圖，已知拋物線y＝ax2－4x＋c經過點A（0，－6）和B（3，－9）．（1）求拋物線的解析式；（2）寫出拋物線的對稱軸方程及頂點坐標；（3）的坐標；（4）在滿足（3）的情況下，在拋物線的對稱軸上尋找一點M，使得△QMA的周長最小．OOABxy-6-93解：（1）依題意有eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(a×02－4×0＋c＝－6,a×32－4×3＋c＝－9))即eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(c＝－6,9a－12＋c＝－9)) 2分∴eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(a＝1,c＝－6)) 4分∴拋物線的解析式為：y＝x2－4x－6 5分（2）把y＝x2－4x－6配方，得y＝(x－2)2－10∴對稱軸方程為x＝2 7分頂點坐標（2，－10） 10分（3）由在拋物線上得＝2－4－6 12分即2－5－6＝0∴1＝6或2＝－1（舍去） 13分∴66∵點、均在拋物線上，且關于對稱軸x＝2對稱∴－2615分（4）連接、，直線與對稱軸x＝2相交于點由于、兩點關于對稱軸對稱，由軸對稱性質可知，此時的交點能夠使得△QMA的周長最小 17分OABxy-6-93OABxy-6-93PQM則eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(b＝－6,6k＋b＝6))∴eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(k＝2,b＝－6))∴直線的解析式為：y＝2x－618分設點（2，）則有＝2×2－6＝－219分此時點（2，－2）能夠使得△QMA的周長最小20分2.如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝－x－與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝ax2－x＋c（a≠0）經過點A、C，與x軸交于另一點B．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）若P是拋物線上一點，且△ABP為直角三角形，求點P的坐標；yBOACDx（3）在直線AC上是否存在點QyBOACDx（1）∵直線y＝－x－與x軸交于點A，與y軸交于C∴A（－1，0），C（0，－）∵點A，C都在拋物線上∴eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(a＋＋c＝0,c＝－))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(a＝,c＝－))∴拋物線的解析式為y＝x2－x－＝(x－1)2－∴頂點D的坐標為（1，－）（2）令x2－x－＝0，解得x1＝－1，x2＝3∴B（3，0）∴AB2＝(1＋3)2＝16，AC2＝12＋()2＝4，BC2＝32＋()2＝12∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形∴P1（0，－）yBOACDxB′QH由拋物線的對稱性可知P2yBOACDxB′QH（3）存在．延長BC到點B′，使B′C＝BC，連接B′D交直線AC于點Q，則Q點就是所求的點過點B′作B′H⊥x軸于H在Rt△BOC中，∵BC＝＝，∴BC＝2OC∴∠OBC＝30°∴B′H＝BB′＝BC＝，BH＝B′H＝6，∴OH＝3∴B′（－3，－）設直線B′D的解析式為y＝kx＋b，則：eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(－＝－3k＋b,－＝k＋b))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(k＝,b＝－))聯立eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(y＝－x－,y＝x－))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(x＝,y＝－))∴Q（，－）故在直線AC上存在點Q，使得△QBD的周長最小，Q點的坐標為（，－）3.在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA＝3，OB＝4，D為邊OB的中點．（Ⅰ）若E為邊OA上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標；（Ⅱ）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF＝2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標．OOABxyCDOABxyCDED′（備用圖）解：（Ⅰ）如圖1，作點D關于x軸的對稱點D′，連接CD′與x軸交于點E，連接DEOABxyCDED′圖1E′若在邊OA上任取點E′（與點E不重合），連接OABxyCDED′圖1E′由DE′＋CE′＝D′E′＋CE′＞CD′＝D′E＋CE＝DE＋CE可知△CDE的周長最小∵在矩形OACB中，OA＝3，OB＝4，D為邊OB的中點∴BC＝3，D′O＝DO＝2，D′B＝6∵OE∥BC，∴Rt△D′OE∽Rt△D′BC，∴＝∴OE＝·BC＝×3＝1∴點E的坐標為（1，0） 6分OABxyCDED′圖2FG（Ⅱ）如圖2，作點D關于x軸的對稱點D′，在CB邊上截取CG＝2，連接D′G與x軸交于點OABxyCDED′圖2FG又DC、EF的長為定值，∴此時得到的點E、F使四邊形CDEF的周長最小∵OE∥BC，∴Rt△D′OE∽Rt△D′BG，∴＝∴OE＝·BG＝·(BC－CG)＝×1＝∴OF＝OE＋EF＝＋2＝∴點E的坐標為（，0），點F的坐標為（，0） 10分3.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋4與x軸的兩個交點分別為A（－4，0）、B（2，0），與y軸交于點C，頂點為D．E（1，2）為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G．（1）求拋物線的函數解析式，并寫出頂點D的坐標；（2）在直線EF上求一點H，使△CDH的周長最小，并求出最小周長；CBAOEFxyDG（3）若點CBAOEFxyDG解：（1）由題意，得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(16a－4b＋4＝0,4a＋2b＋4＝0))解得a＝－，b＝－1∴拋物線的函數解析式為y＝－x2－x＋4，頂點D的坐標為（－1，） 4分（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M．因為EF垂直平分BC，即C關于直線EG的對稱點為B，連結BD交EF于一點，則這一點為所求點H，使DH＋CH最小，即最小為：DH＋CH＝DH＋HB＝BD＝＝CBAOEFxCBAOEFxyDGH∴△CDH的周長最小值為CD＋DR＋CH＝ 6分設直線BD的解析式為y＝k1x＋b1，則eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(2k1＋b1＝0,－k1＋b1＝))解得k1＝－，b1＝3∴直線BD的解析式為y＝－x＋3由于BC＝，CE＝BC＝，Rt△CEG∽Rt△COBCBAOEFxyDGHKN得CE:CO＝CG:CB，∴CGCBAOEFxyDGHKN同理可求得直EF的解析式為y＝x＋聯立eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(y＝－x＋3,y＝x＋))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(x＝,y＝))故使△CDH的周長最小的點H坐標為（，）（3）設K（t，－t2－t＋4），xF＜t＜xE．過K作x軸的垂線交EF于N則KN＝yK－yN＝－t2－t＋4－(t＋)＝－t2－t＋∴S△EFK＝S△KFN＋S△KNE＝KN(t＋3)+KN(1－t)＝2KN＝－t2－3t＋5＝－(t＋)2＋ 10分∴當t＝－時，△EFK的面積最大，最大面積為，此時K（－，） 14分4.如圖，在平面直角坐標系中放置一矩形ABCO，其頂點為A（0，1）、B（－，1）、C（－，0）、O（0，0）．將此矩形沿著過E（－，1）、F（－，0）的直線EF向右下方翻折，B、C的對應點分別為B′、C′．（1）求折痕所在直線EF的解析式；（2）一拋物線經過B、E、B′三點，求此二次函數解析式；（3）能否在直線EF上求一點P，使得△PBC周長最小？如能，求出點P的坐標；若不能，說明理由．xxyOBCEFA解：（1）由于折痕所在直線EF過E（－，1）、F（－，0）∴tan∠EFO＝，直線EF的傾斜角為60°∴直線EF的解析式為：y－＝tan60°[x－(－)]化簡得：y＝x＋4． 3分（2）設矩形沿直線EF向右下方翻折后，B、C的對應點為B′（x1，y1），C′（x2，y2）過B′作B′A′⊥AE交AE所在直線于A′點∵B′E＝BE＝，∠B′EF＝∠BEF＝60°∴∠B′EA′＝60°，∴A′E＝，B′A′＝3∴A與A′重合，B′在y軸上，∴x1＝0，y1＝－2，即B′（0，－2）【此時需說明B′（x1，y1）在y軸上】 6分設二次函數的解析式為：y＝ax2＋bx＋c∵拋物線經過B（－，1）、E（－，1）、B′（0，－2）∴eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(27a－b＋c＝1,3a－b＋c＝1,c＝－2))解得∴該二次函數解析式為：y＝－x2－x－2 9分（3）能，可