2020-2021學年懷化市高一上學期期末數學試卷

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.已知。表示空集，N表示自然數集，則下列關系式中，正確的是()

A.0e0B.0UNC.0C/VD.0G/V

2.已知直線I的斜率為2,則直線/的法向量為()

A.(1,2)B.(2,1)C.(1,-2)D.(2,-1)

3.直線mx-y-2=0與直線2x+y+2=0垂直的充要條件是()

A.m=gB,m=—1C.m=2D.m=—2

4.已知a=g)3,b=C)3,c=/0。20.3,則a,b,c的大小關系是()

A.c<b<aB.b<c<aC.h<a<cD.c<a<b

5.已知2&=36=5得］=/。934,貝1」()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

6.函數/'(x)=logsX-：的零點所在的區間是()

A.(4,5)B.(5,6)C.(6,7)D.(7,8)

7.已知正方體ABCD-aB1C1D1，E,F是BC上的動點，是上的動點，貝1|()

C.%-JEF=%-QEF>"-GEFD.%-QEF<匕-GEF<Vp-QEF

8.已知a,0是兩個不重合的平面，下列選項中，一定能得出平面a與平面0平行的是()

A.平面a內有一條直線與平面8平行

B.平面a內有兩條直線與平面0平行

C.平面a內有一條直線與平面夕內的一條直線平行

D.平面a與平面口不相交

9.過點P(5,6)作圓C:(x-1尸+0-2)2=36的弦，其中最短的弦長為()

A.4B.8C.4V2D.8V2

10.在正方體4BC。一&&小/中，點M、N分別是D。]和8C的中點，異面直線4M與BiN所成的角

為（）

A.90°B,60°C.45°D.30°

11.函數f(x)=ln(x+1)的定義域是()

A.{x\xH-1}B.(0,4-oo)C.(—l,+oo)D.(—1,0)

12.若關于x的方程4cos%+sin2x+m—4=0恒有實數解，則實數m的取值范圍是（）

A.[0,5]B.[-1,8]C.[0,8]D.[-1,+8）

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.函數y=的定義域是.

2x+1x

14.方程：log2（2-6）=x+log2（2+1）的解為.

15.已知函數/。）=1。8<1（。/一乂+3）（0<￡1<1）在[2,4]上是增函數，則實數a的取值范圍是

16.《九章算術》中將底面是直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”.一塊“塹

堵”型石材的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成若干個相

同的球，并使每個球的體積最大，則這些球的體積之和為.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.(1)設4={x|x是小于9的正整數},B={1,2,3),求AnB,QAB.

(2)已知集合A={x|—3<x<1),B={x|2<x<10},求4UB.

18.求點到直線的距離：

(1)4(2,3),%：2x-y+4=0；

(2)8(-5,7),l2：12x+5y-l=0；

(3)C(-1,4),l3：x-2=0；

(4)0(1,-2),l4：2y+3=0.

19.已知/'(x)是定義在R上的奇函數，且當x20時，/(%)=x2ex.

(1)求/(x)的解析式；

(2)求關于x的不等式/'(3x-1)+((5—ax')-(a-3)x+4>0的解集.

20.在如圖所示的兒何體中，AABC是邊長為2的正三角形，ABCO為等腰直

角三角形，且8。=CD,AE=2,4E_L平面48C,平面BCDJ■平面ABC.

(I)求證：4c〃平面BDE；

(II)求鈍二面角C-DE-B的余弦值.

21.求圓心在直線3x-y=0上，與x軸相切，且被直線x-y=0截得的弦長為2、歷的圓的方程。

22.(本題滿分12分)已知函數/卜)=2'，g(x)=^+2.

⑴求函數的值域;

(2)求滿足方程/⑺-g⑶:0的》的值.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：?.?空集是任何集合的子集，

???0GN.

故選：B.

利用空集是任何集合的子集，即可得出結論.

本題考查集合的關系，比較基礎.

2.答案：D

解析：

根據題意，求出直線，的方向向量，設直線，的法向量為五,其坐標為(x,y),分析可得布?云=x+2y=0,

據此分析選項中向量是否符合x+2y=0,綜合即可得答案.

本題考查直線的斜率以及直線的法向量，注意直線方向向量的定義，屬于基礎題.

解：根據題意，直線/的斜率為2,

則直線I的方向向量為沅=(1,2)；

設直線，的法向量為記，其坐標為(x,y),

則有沅-n=x+2y=0,

據此分析選項：D選項符合x+2y=0,4、B、C都不符合；

故選：D.

3.答案：A

解析：解：直線mx-y-2=0與直線2x+y+2=0的斜率分別是?n,和一2,

若兩直線垂直則-2m=-1,

解得m=

當m=?時，滿足兩直線垂直，

故直線mx-y-2=0與直線2x+y+2=0垂直的充要條件m=

故選：A

根據充分條件和必要條件的定義結合直線垂直的等價條件進行求解即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據直線垂直的等價條件是解決本題的關鍵.

4.答案：A

解析：解：?.辛函數y=/在(o,+8)上單調遞增，且1>也

???(1)3>(滬

0<h<a<1,

vlog20.3<log2l=0,:.c<0,

--c<b<a,

故選：A.

利用對數函數和指數函數的性質求解.

本題考查三個數的大小的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意對數函數和指數函數的性質的

合理運用.

5.答案：D

v

解析：解：CL=log21<0,bE(0,1),c>1.

?9-c>b>a.

故選：D.

利用指數對數函數的單調性即可得出.

本題考查了指數對數函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

6.答案：D

77

解析：解：,."(4)=log84-1<0,f(5)=log5--<0,

48O

77

/(6)=log86-^<0,/(7)=Iog87-l<0,/(8)=1-*0,

oo

易知函數/'(x)在定義域內單調遞增，

???/(x)有唯一零點，零點所在的區間是(7,8),

故選D

判斷f(x)在各區間端點的函數值的符號，根據零點的存在性定理進行判斷.

本題考查了零點的存在性定理，對數的運算性質，屬于基礎題.

7.答案：C

解析：解：如上圖(1)%一QEF=-CEF=gS^cEF'

如圖(2)在平面ABCD中，點4到BD的距離與點C到的距離相等.

SA4￡F=S&CEF

匕一GEF=VQ-AEF=3^AAEF,441

如圖(3)點P是4。1上的點，當點P與4重合時，

%-QEF=匕-CtEF

由于4到平面GEF的距離大于P到平面GEF的距離

所以：Vp-C1EF<匕-QEF

故選：C

首先利用轉換法求出%-JEF=Vq-CEF,進一步算出體積匕-QEF=^Ci-AEF=^AAEF'44,最后利

用特殊點進行比較，最后求出結果.

本題考查的知識要點：棱錐的體積公式的應用，幾何體的轉換問題，及特殊點法的應用.

8.答案：D

解析：解：對于4,平面a內有一條直線與平面0平行，則平面a與平面B相交或平行，故A不正確;

對于B,平面a內有兩條直線與平面￡平行，則平面a與平面夕相交或平行，故8不正確；

對于C,平面a內有一條直線與平面0內的一條直線平行，則平面a與平面/?相交或平行，故C不正確；

對于D,平面a與平面￡不相交，則平面a與平面夕平行，故O正確.

故選：D.

根據面面平行的判定定理、平面與平面的位置關系即可判斷出結論.

本題考查平面與平面平行的判定定理、平面與平面的位置關系，屬于基礎題.

9.答案:A

解析：

本題考查圓的最短弦問題，

過點P(5,6)作圓(x-I)2+(y-2)2=36的弦，其中最短的弦為以P為中點的弦，此時弦與CP垂直,

求出CP的長，再根據勾股定理即可求得此時的弦長.

解：過點P(5,6)作圓(x-I)2+(y-2)2=36的弦,

其中最短的弦為以P為中點的弦，此時弦與CP垂直，

\CP\=4V2.

所以弦長為2436-32=4,

故選A.

10.答案:A

解析：解：以公為坐標原點，&Bi，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖

所示，

設正方體的棱長為2,

則4(0,0,2),M(0,2,l),Bi(2,0,0),N(2,l,2),

所以前=(0,2,-l),B^N=(0,1,2)，

則祠?瓦R=lx0+2xl+(-1)x2=0.

所以就J.瓦R，

故異面直線AM與&N所成的角為90。.

故選：A.

建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標，求出直線對應的方向向量，然后利用數量積求解

即可.

本題考查了空間角的求解，主要考查了異面直線所成的角，對于空間角問題，經常選擇建立空間直

角坐標系，將問題轉化為空間向量進行研究，屬于中檔題.

11.答案：C

解析：解：要使函數有意義，貝卜+1>0,

即x>—1,

.??函數的定義域為（一1,+8）.

故選：C.

根據對數函數成立的條件即可求函數的定義域.

本題主要考查函數定義域的求法，根據對數函數成立的條件是解決本題的關鍵，比較基礎.

12.答案：C

解析：

本題考查的知識點是三角函數的最值，屬于較易題.

若方程4cosx+sin2x+m-4=0恒有實數解，即m=4-4cosx-siMx恒有實數解，則實數?n的取

值范圍即為4-4想5%-5訪2》的取值范圍，根據余弦函數的值域，結合二次函數的性質，我們易求

出結論.

解：程4cosx+siMx+6-4=0

可化為m=4-4-cosx-sin2%=cos2x—4cosx+3=(cosx—2)2—1

vcosxe[—1,1]>

則(cosx—2)2—1e[0,8]

則若關于x的方程4cosx+sin2x+m-4=0恒有實數解

實數m的取值范圍是[0,8]

故選C.

13.答案：(0,+oo)

解析：解：由于=

得：x>0,

???函數y=%-%勺定義域是(0,+00).

故答案為：(0,+8).

根據基函數的性質和分式的意義，被開方數大于0,可以求出x的范圍即可.

本題考查求函數的定義域問題，主要考查塞函數的概念、解析式、定義域、值域，難度不大.

14.答案：｛log23｝

解析：解：由22x+i—6>0,得2x4*>6,即4》>3,

xxxxx

則方程等價為1。92(22*+1-6)=x+iog2(2+1)=log22+log2(2+1)=log22(2+1),

即22X+I—6=212'+1),

即2(2')2-6=(2、)2+2"

即(2,2-2*-6=0,

則(2,+2)(2、-3)=0,

則2、-3=0即產=3,滿足4、>3,

則x=log23,

即方程的解為％=log23,

故答案為：｛log23)

根據對數的運算法則進行化簡，指數方程進行求解即可.

本題主要考查對數方程的求解，根據對數的運算法則進行轉化，結合指數方程，一元二次方程進行

轉化求解是解決本題的關鍵.

15.答案：^<?<|

loO

解析：解：令￡=。/一刀+3,顯然二次函數t的圖象的對稱軸為X=；,

2a

由于OVQVI,結合題意可得，亡=@/一%+3在［2,4］上是減函數，且t>0,

2

故有；之4,且Q-4—4+3>0,求得白VQW

2a168

故答案為白<a

1Oo

由題意可得t在［2,4］上是減函數，且t>0,故有點N4,且-42-4+3>0,由此求得實數a的取值

范圍.

本題主要考查復合函數的單調性，對數函數、二次函數的性質，體現了轉化的數學思想，屬于中檔

題.

16.答案：327r

解析：解：根據幾何體的三視圖轉換為直觀圖為：該幾何體為倒放的三棱柱；

如圖所示：

三棱柱的側棱長為I=V62+82=10，

所以三棱柱的內切球的半徑為r=gU=2,直徑為%

所以n='=3,

4

所以可以打磨成3個球.

故：3,=3X；兀?23=32兀

故答案為：327r.

首先把三視圖轉換為幾何體的直觀圖，再求出內切球的半徑，進一步利用球的體積公式的應用求出

結果.

本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉換，幾何體的體積公式的應用，主要考查

學生的運算能力和數學思維能力，屬于基礎題.

17.答案：解：(1)由題設得4={123,4,5,6,7,8},B={1,2,3},

???4nB={1,2,3},

CAB={456,7,8}：

(2)A={x|—3<x<1},B={x\2<x<10},

則AUB={x|-3<x<1或2<x<10}.

解析：本題考查交、并、補集的混合運算，是基礎的計算題.

(1)用列舉法表示4再由交集、補集運算得答案.

(2)直接利用并集運算得答案.

18.答案：解：⑴點4(2,3)至U直線小2x—y+4=0的距離為:

=絲》3甘|=倔

02+(-1)2…

(2)點8(—5,7)到直線0：12x+5y-1=0的距離為:

._|12x(-5)+5x7-l|_

a="22+52―々

(3)點C(-1,4)到直線％：x-2=0即x=2的距離為:

d=|-1-2|=3；

(4)點DQ-2)到直線Q2y+3=0即y=-|的距離為:

d=|-2-(-|)|=i.

解析：根據點到直線的距離公式，計算即可.

本題考查了點到直線的距離計算問題，是基礎題.

19.答案：解：(1)因為/Q)是定義在R上的奇函數，且當x20時，/(x)=%2ex,

所以當0,即一%>0時，有f(一萬)=(一%)2?一“=一/(%),

故/(x)=—x2e~x,

財。)=廳廣二

kx￡ex,x>10

(2)當％>0時，/(%)>0,任取%1>%2>0,

則3=五空=任1)2短1-亞，

人xjex2

V%1>x2>0,???>1,蜻】一必>1,則科>1,即/(.)>/(x2),即f(x)在(0,+8)上單調遞增,

x2J\X2)

又/(%)是定義在R上的奇函數，所以/(%)是R上的增函數.

原不等式等價于f(3%—1)+3%-1>—f(5—ax')+Q%—5=f[ax—5)+ax—5,

構造函數=/(%)+%,易知/i(x)也是R上的增函數，

原不等式等價于3x—1>ax—5,即(Q—3)%<4,

當a>3時，不等式的解集為(一北言)，

當a=3時，不等式的解集為R；

當a<3時，不等式的解集為(白,+8).

解析：(1)根據奇函數的性質進行轉化求解即可.

(2)利用作商法判斷函數的單調性，然后構造函數，利用函數的奇偶性和單調性的性質進行轉化求解

即可.

本題主要考查函數解析式的求解以及不等式的求解，利用函數奇偶性的性質以及單調性的定義進行

轉化是解決本題的關鍵，是中檔題.

20.答案：解：(I)證明：分別取BC,BA,BE的中點M,N,P,

連接DM,MN,NP,DP,

則MN〃4C,NP//AE,且NP=-AE=1,

BCD是等腰直角三角形，且BD=CD,BC=2,

DM1BC,DM=1,

又平面BCD1平面ABC,；.DM1平面ZBC,

又AE1平面ABC,二DM〃/IE,

DM//NP,DM=NP,

平行四邊形。MNP為平行四邊形，

???MN//DP,.-.AC//DP,

又AC仁平面8DE,DPu平面BDE,

???AC〃平面BDE.

E

8

（口）由（1）知。“_1平面48。，AM1BC,

建立如圖所示的空間直角坐標系M-xyz.

則B(O,1,O),C(O,-1,O),0(0,0,1).F(-V3,0,2),

.-.BD=(0,-l,l),DF=(一g,0,1)，~CD=(0,1,1)

設平面BDE的一個法向量為近=（x1,y1,z1）,

則汨?麗=0;nT-DE=0.

,,,{-%1；zi=O'令'I=1，則4=（1（V3,V3）,

設平面COE的一個法向量為芯=（X2，y2，Z2），

則a而=O,n^-DE=0.

Vo+Zo=0

{-鳳+Z2=。,令必=1，得設=(1，38)，

設鈍二面角C-DE—B為a,

Eicosa=——1n1n=—i

同.同7

解析：第⑴問，要證4c〃平面BDE,只需在平面BDE內找一條直線與4c平行，考慮到“平面BCD_L

平面4BC,且ABCD為等腰直角三角形"，則取BC中點M,連接。“，貝ijDM1平面4BC,且DM平行

且等于再在△4BE中連接BE中點P與4B中點N,貝UPN平行且等于容易想到四邊形。MNP

是平行四邊形，則再利用中位線定理結合平行四邊形性質易證4