導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2023新課標(biāo)Ⅰ，19；2023新課標(biāo)Ⅱ，6利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性討論函數(shù)的單調(diào)性；由單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍邏輯思維運(yùn)算求解綜合性邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算2023新課標(biāo)Ⅱ，11,22利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值由函數(shù)的極值求參數(shù)范圍邏輯思維運(yùn)算求解綜合性邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2022新高考Ⅰ，7利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比較大小邏輯思維運(yùn)算求解綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2022新高考Ⅰ，22；2021新高考Ⅱ，22利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題求值；研究不等式邏輯思維運(yùn)算求解創(chuàng)新性數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2022新高考Ⅱ，22利用導(dǎo)數(shù)證明不等式由不等式恒成立求取值范圍邏輯思維運(yùn)算求解綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2022新高考Ⅰ，10利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值研究極值點(diǎn)、零點(diǎn)個(gè)數(shù)運(yùn)算求解邏輯思維綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2022新高考Ⅰ，15導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算由切線條數(shù)求取值范圍運(yùn)算求解綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2021新高考Ⅰ，7；2022新高考Ⅱ，14導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算求切線方程運(yùn)算求解創(chuàng)新性數(shù)學(xué)運(yùn)算2021新高考Ⅰ，22利用導(dǎo)數(shù)證明不等式求解函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)的偏移問題邏輯思維綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象邏輯推理【命題規(guī)律與備考策略】本章內(nèi)容為高考必考內(nèi)容，多集中于考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、不等式的證明等問題，常結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)、最值等問題綜合考查，諸如含參函數(shù)單調(diào)性問題、恒成立問題等．復(fù)習(xí)時(shí)，重點(diǎn)把握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值的認(rèn)知，理解化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用．第一講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知

識(shí)

梳

理知識(shí)點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1．函數(shù)的平均變化率2．導(dǎo)數(shù)的概念(2)當(dāng)把上式中的x0看作變量x時(shí)，f′(x)即為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，即y′＝f′(x)＝______________________.瞬時(shí)變化率3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)C′＝______(C為常數(shù))；(2)(xn)′＝______________(n∈Q*)；(3)(sinx)′＝______________；(4)(cosx)′＝________________；(5)(ax)′＝________________；0nxn－1cosx－sinxaxlna(6)(ex)′＝________；(7)(logax)′＝________；(8)(lnx)′＝______.ex4．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝_________________.(2)[f(x)·g(x)]′＝___________________________.特別地：[C·f(x)]′＝______________(C為常數(shù))．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)Cf′(x)5．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為______________________.即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．知識(shí)點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率，即曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率k＝f′(x0)，切線方程為________________________.yx′＝y(tǒng)u′·ux′y－y0＝f′(x0)(x－x0)歸

納

拓

展1．奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．2．熟記以下結(jié)論：(4)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．3．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”．雙

基

自

測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在曲線y＝f(x)上某點(diǎn)處的切線與曲線y＝f(x)過某點(diǎn)的切線意義相同．(

)(2)曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．(

)(3)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線．(

)×√×(5)(2x)′＝x·2x－1．(

)(6)[ln(－x)]′＝(lnx)′.(

)×××[解析]

(1)曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線，點(diǎn)P在曲線上，而過點(diǎn)P(x0，y0)的切線，點(diǎn)P可以在曲線外．(2)如圖所示，切線可以與曲線有多個(gè)公共點(diǎn)．(3)如圖所示，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，但不是切線．題組二走進(jìn)教材2．(多選題)(選修2P75T1改編)下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是(

)D4．(選修2P82T10改編)某物體的位移s(米)與時(shí)間t(秒)的關(guān)系為s＝5－2t＋3t2，則該物體在2秒末的瞬時(shí)速度是(

)A．12米/秒

B．10米/秒C．8米/秒

D．6米/秒[解析]

利用位移的導(dǎo)數(shù)就是瞬時(shí)速度，求出s′，令t＝2求解即可．由題意物體的位移s(米)與時(shí)間t(秒)的關(guān)系為s＝5－2t＋3t2，則s′＝－2＋6t，當(dāng)t＝2時(shí)，s′＝－2＋6×2＝10，所以該物體在2秒末的瞬時(shí)速度是10米/秒．故選B．B題組三走向高考C6．(2019·江蘇，5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y＝lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(－e，－1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是______________.(e,1)考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算——自主練透1．(多選題)下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是(

)A．(2024x)′＝x2024x－1D．(x23x)′＝2x3x＋x23xln3BD2．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝x2sinx；[解析]

(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.3．若函數(shù)f(x)＝lnx－f′(1)x2＋3x－4，則f′(3)＝_______.[分析]

先求出f′(1)得出導(dǎo)函數(shù)的解析式，再把x＝3代入導(dǎo)函數(shù)解析式得f′(3)．名師點(diǎn)撥：導(dǎo)數(shù)計(jì)算的原則和方法1．原則：先化簡(jiǎn)解析式，使之變成能用八個(gè)求導(dǎo)公式求導(dǎo)的函數(shù)的和、差、積、商再求導(dǎo)．2．方法：(1)連乘積形式：先展開化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)；(2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；(3)對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；(4)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)；(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；(6)復(fù)合函數(shù)：由外向內(nèi)，層層求導(dǎo).導(dǎo)數(shù)的幾何意義——多維探究角度1求切線方程1．已知f(x)＝(x＋1)ex，函數(shù)f(x)的圖象在x＝0處的切線方程為___________________.[解析]

由f(x)＝(x＋1)ex得f′(x)＝ex＋(x＋1)ex，所以在x＝0處的切線的斜率為f′(0)＝e0＋(0＋1)e0＝2，又f(0)＝1，故切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，所以所求的切線方程為y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.2x－y＋1＝02．(2022·新高考Ⅱ卷)曲線y＝ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為________________________.名師點(diǎn)撥：求曲線的切線方程的兩種類型1．在求曲線的切線方程時(shí)，注意兩個(gè)“說法”：求曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程和求曲線過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程，在點(diǎn)P處的切線，一定是以點(diǎn)P為切點(diǎn)，過點(diǎn)P的切線，不論點(diǎn)P在不在曲線上，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)．2．在點(diǎn)P處的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．求過點(diǎn)P的曲線的切線方程的步驟為：第一步：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P′(x1，f(x1))；第二步：寫出過P′(x1，f(x1))的切線方程為y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)代入切線方程，求出x1；第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程．角度2求切點(diǎn)坐標(biāo)A名師點(diǎn)撥：求切點(diǎn)坐標(biāo)的方法已知切線方程(或斜率)求切點(diǎn)的一般思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后讓導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，從而求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)．角度3導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖，y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)－3f′(3)＝(

)A．1 B．0C．2 D．4A角度4求參數(shù)的值(或范圍)(2022·全國(guó)新高考卷Ⅰ)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________________________.(－∞，－4)∪(0，＋∞)【變式訓(xùn)練】1．(角度1)(2019·全國(guó)卷Ⅱ，5分)曲線y＝2sinx＋cosx在點(diǎn)(π，－1)處的切線方程為(

)A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0[解析]

依題意得y′＝2cosx－sinx，y′|x＝π＝(2cosx－sinx)|x＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，因此所求的切線方程為y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故選C．C2.(角度2)曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(－1，f(－1))處的切線l如圖所示，則f′(－1)＋f(－1)＝(

)A．2 B．1C．－2 D．－1C3．(角度3)(2022·貴陽(yáng)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)為奇函數(shù)，且曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線與直線x＋y＝0垂直，則切點(diǎn)P(x0，f(x0))的坐標(biāo)為(

)A．(0,0) B．(a,1)C．(1,1) D．(－1,2)A4．(角度4)(2023·開封市第一次模擬考試)函數(shù)f(x)＝lnx＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，－2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)[解析]

函數(shù)f(x)＝lnx＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．B名師講壇·素養(yǎng)提升公切線問題的模型求解曲線的公切線問題是高考的熱點(diǎn)題型之一．其中單一曲線的切線問題相對(duì)簡(jiǎn)單，但對(duì)于兩條曲線的公切線問題的求解，就比單一曲線的切線問題要復(fù)雜．方法更靈活，具體的求解方法如下：方法一：利用其中一曲線在某點(diǎn)處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解；1．求兩條曲線的公切線(2023·黑龍江齊齊哈爾期末聯(lián)考)若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋1)的切線，則b＝(

)C．1－ln2 D．1－2ln2C[解析]

設(shè)y＝kx＋b與y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切點(diǎn)分別為(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．[引申]本例中兩曲線公切線方程為____________________.y＝2x＋1－ln2【變式訓(xùn)練】已知f(x)＝ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，g(x)＝lnx＋2，直線l是f(x)與g(x)的公切線，則直線l的方程為________________________.y＝ex或y＝x＋12．由公切線求參數(shù)(2022·全國(guó)甲卷)已知函數(shù)f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x1，f(x1))處的切線也是曲線y＝g(x)的切線．(1)若