2023-2024學年福建省莆田市城廂區哲理中學九年級（上）返校

考數學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

2.如圖，將AABC繞點C逆時針旋轉一定的角度得到△48'C',此點4

在邊B'C上，若BC=5,AC=3,貝必8,的長為（）

A.5B.4C.3D.2

3.拋物線3/=—2（久一2）2-5的頂點坐標是（）

A.（-2,5）B.（2,5）C.（-2,-5）D.（2,-5）

4.將二次函數y=5/的圖象先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到的函數圖象的

解析式為（）

A.y=5（x+3>+2B.y=5（x-3）2+2

C.y=5（%+3）2-2D.y=5（x-3）2-2

5.二次函數y=2/+3的圖象經過（）

A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限

6.廣東春季是流感的高發時期，某校4月初有一人患了流感，經過兩輪傳染后，共25人患流

感，假設每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程（）

A.1+x+x2=25B.x+x2=25

C.（1+x）2=25D.x+x（l+x）=25

7.如圖，△ABC與△AB'C'關于點0成中心對稱，下列結論中不成立的是（）

H

A.OC=OCB.OA=OA'

C.BC=B'CD.AABC=^A'C'B'

8.已知函數為=m/+Ji,y2=nx+m（mn0）,則兩個函數在同一坐標系中的圖象可能

為（）

9.已知二次函數y=a/—4ax—3（a彳0）,當x=?n和x=n時，函數值相等，則m+n的

值為（）

A.4B.2C.-4D.-2

10.如圖，點E在正方形力BCD的邊CD上，將AADE繞點4順時針

旋轉90。到44BF的位置，連接EF,過點A作E9的垂線，垂足為點

與BC交于點G.若BG=4,CG=3,貝UCE的長為（）

B.至

4

C.4

D1

二、填空題（本大題共6小題，共18?0分）

11.一元二次方程%（%-7）=0的解是.

12.在平面直角坐標系中，點P（-3,1）關于坐標原點中心對稱的點P'的坐標是.

13.如圖，二次函數為=/+板+c與一次函數為及=+九的圖象相交于4,B兩點,則

不等式產+bx+c<mx+幾的解為.

14.二次函數y=/+x-2的圖象與％軸有個交點.

15.拋物線、=&/+6刀+￡：經過點4（一3,0）,對稱軸是直線％=-1,則a+b+c=.

16.已知AQi，yj,8。2，丫2）是拋物線丫=ax?-3x+1上的兩點，其對稱軸是直線x=x（）,

若設1一&|＞居一與1時，總有%＞曠2,同一坐標系中有M（-1,一2）,N（3,2）,且拋物線丫=

ax2-3x+1與線段MN有兩個不相同的交點，則a的取值范圍是—.

三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題8.0分）

解方程：X2—6%+2=0.

18.（本小題8.0分）

如圖，△ABD^/.BAD=90°,將44BD逆時針旋轉后得到△ACE,C點落在邊上，"=20°,

求NB4c的度數.

19.（本小題8.0分）

如圖，拋物線丫=/一/^+（:交》軸于點4（1,0）,交y軸于點B,對稱軸是直線x=2,求拋物

線的解析式.

20.(本小題8.0分)

如圖，△力BC在平面直角坐標系xOy中的位置如圖所示，?1(-2,3).見一1,1),C(0,2).

⑴將△ABC向右平移2個單位，作出平移后的△4B1G；

(2)作出AABiCi關于點G成中心對稱的圖形2c2，并寫出對應點的坐標.

21.(本小題8.0分)

已知二次函數y=ax2+bx+c自變量％與函數y的部分對應值如表:

X-2-101234

y50-3—4-30m

(1)二次函數圖象的開口方向,ni的值；

(2)點P(-3,%)、Q(2,%)在函數圖象上，為外(填＜、＞、=)；

(3)當y＜。時，x的取值范圍是；

(4)關于x的一元二次方程a/+bx+c=5的解為.

22.(本小題8.0分)

己知關于x的一元二次方程/-(m+3)x+2(m+1)=0.

(1)求證：不論Tn為何值，方程總有實數根；

(2)若該方程有兩根為%2>且就+以=5,求zn的值.

23.(本小題8.0分)

如圖，利用一面墻(墻的長度不超過3(hn),用80nl長的籬笆圍一個矩形場地，若設矩形場地

面積為Sm?,4。的長度為xm.

(1)求出S與x之間的解析式，其中x的取值范圍是什么？

(2)當ZZ)和BC分別為多少米時，矩形的面積最大，最大面積是多少？

D

24.(本小題8.0分)

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線人：y=%2一2%-3的頂點為2.直線1過點

M(0,m)(m>-3),且平行于x軸，與拋物線刀交于A、B兩點(B在A的右側).將拋物線5沿直

線，翻折得到拋物線員，拋物線G交y軸于點C,頂點為D.

(1)當m=l時，求點。的坐標；

(2)連接BC、CD,DB,若△BCD為直角三角形，求此時G所對應的函數表達式；

(3)在(2)的條件下，若△BCD的面積為3,E、F兩點分別在邊BC、CC上運動，且EF=CC,

以EF為一邊作正方形EFGH,連接CG,寫出CG長度的最小值，并簡要說明理由.

(備用圖)

25.(本小題8.0分)

如圖，等邊△ABC與等腰三角形△EDC有公共頂點C,其中NEDC=120°,AB=CE=2<6,

連接BE,P為BE的中點，連接PD、AD

(1)為了研究線段4。與PD的數量關系，將圖1中的△EDC繞點C旋轉一個適當的角度，使CE與

C4重合，如圖2,請直接寫出4。與P。的數量關系；

(2)如圖1,(1)中的結論是否仍然成立?若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

(3)如圖3,若NACD=45。，求△PAD的面積

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：4不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

8.是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

D既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

故選：D.

根據中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可.

本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分

折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合.

2.【答案】D

【解析】解：???△A8C繞點C逆時針旋轉一定的角度得到△ABC，，點4在邊夕C上，

???CB'=CB=5,

AB'=CB'-CA=5-3=2.

故選：D.

先根據旋轉的性質得到CB'=CB=5,然后計算CB'—C4即可.

本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于

旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.

3.【答案】D

【解析】解：因為拋物線y=-2(x-2產一5,

所以拋物線y=-2(x-2)2-5的頂點坐標是(2,-5).

故選：D.

根據二次函數性質，由頂點式直接寫出頂點坐標即可.

本題考查了二次函數性質，由頂點式直接寫出頂點坐標是解題關鍵.

4.【答案】D

【解析】解：由“左加右減”的原則可知，將二次函數y=5/的圖象先向右平移3個單位所得函

數的解析式為：y-5(%-3)2；

由“上加下減”的原則可知，將二次函數y=5(%-2尸的圖象先向下平移2個單位所得函數的解析

式為：y=5(x—3)2—2.

故選：D.

直接根據“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可.

本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象幾何變換的法則是解答此題的關鍵.

5.【答案】A

【解析】解：???二次函數y=2x2+3中a=2>0,

二開口向上，

???函數的圖象的頂點坐標為(0,3),

???二次函數y=2/+3的圖象經過第一、二象限，

故選：A.

根據拋物線的開口方向和圖象與y軸的交點坐標判斷圖象所處的位置即可.

本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是能夠確定開口方向及頂點坐標，難度不大.

6.【答案】C

【解析】解：設每輪傳染中平均一個人傳染了久個人，依題意得1+x+x(l+x)=25,

即(1+x)2=25,

故選：C.

患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數中?設每輪傳染中平均一個人傳染了x

個人，則第一輪傳染了X個人，第二輪作為傳染源的是(X+1)人，則傳染x(x+l)人，依題意列方

程：1+x+%(1+x)=25即可.

本題考查了一元二次方程的應用，本題要注意的是，患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然是

患者，人數應該累加，這個問題和細胞分裂是不同的.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查成中心對稱兩個圖形的性質：對應點的連線被對稱中心平分；成中心對稱圖形的兩個圖

形是全等形.根據中心對稱的性質即可判斷.

【解答】

解：對應點的連線被對稱中心平分，A,B正確；

成中心對稱圖形的兩個圖形是全等形，那么對應線段相等，C正確，故。符合題意.

故選。.

8.【答案】A

【解析】解：A、由一次函數>2=n%+40)的圖象可得：n<0,m>0.此時二次函數y1=

m/+n的圖象應該開口向上，拋物線與y軸交于負半軸，故選項不符合題意；

B、由一次函數丫2=nx+H0)的圖象可得：n>0,m<0.此時二次函數y1=+n的圖

象應該開口向下，拋物線與y軸交于正半軸，故本選項不符合題意；

C、由一次函數丫2=nx+m(mnM0)的圖象可得：n<0,m<0.此時二次函數y1=mx2+n的圖

象應該開口向下，拋物線與y軸交于負半軸，故本選項不符合題意；

D、由?一次函數丫2=nx+m(mn40)的圖象可得：n>0,m>0.此時二次函數y1=m/+〃的

圖象開口向上，拋物線與y軸交于正半軸，故本選項不符合題意：

故選:A.

可先根據一次函數的圖象判斷力的符號，再判斷二次函數圖象與實際是否相符，進而判斷選項的

正誤.

考查一次函數及二次函數的圖象與性質.熟練運用函數圖象與系數的關系是解題的關鍵.

9.【答案】A

【解析】解：,??當x=TH和x=n時，y的值相等，

am2—4am—3=an2—4an—3>

解得：a(m—n)(m+n-4)=0.

a力0,mn,

m+n—4=0,

即m+n=4,

故選:A.

根據題意可得出血+幾=4,即可得出答案.

本題考查了二次函數圖象上點的特征，解題關鍵是得出m與九的關系式.

10.【答案】A

【解析】解：如圖所示，連接EG,

由旋轉可得，^ADE=^ABF,

???AE=AF,DE=BF,

又???AG1EF,

???//為EF的中點，

力G垂直平分EF,

EG=FG,

設CE=x,則CE=7-x=BF,FG=CF-CG=11-x,

EG——11—x,

vZC=90°,

RtCEGCE2+CG2=EG2,BR%2+32=(11-x)2,

解得x=青

??.CE的長為券

故選：A.

連接EG,根據AG垂直平分EF,即可得出EG=FG,設CE=x,則DE=7-x=BF,FG=EG=

U-x,再根據RtACEG中，CE2+CG2=EG2,即可得至UCE的長.

本題主要考查了正方形的性質，勾股定理以及旋轉的性質，解題時注意：對應點到旋轉中心的距

離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.

11.【答案】%i=0,x2=7

【解析】解：乂=0或％-7=0,

所以勺=0,%2=7.

故答案為％]=0,x2=7.

利用因式分解的方法解方程.

本題考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化

為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程

的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了(數學轉

化思想).

12.【答案】(3,-1)

【解析】解：根據關于原點對稱的點的坐標的特征，得點P(-3,1)關于坐標原點中心對稱的點P'的

坐標是(3,—1).

故答案為：(3,—1).

根據關于原點對稱的點的坐標的特征解決此題.

本題主要考查關于原點對稱的點的坐標的特征，熟練掌握關于原點對稱的點的坐標的特征是解決

本題的關鍵.

13.【答案】一1<x<3

【解析】解：由圖象可知，力與丫2圖象的交點的橫坐標為-1和3，

???當一1<X<3時，yi的圖象在的圖象的下方，

二不等式/+匕刀+c<mx+n的解為—1<x<3.

故答案為：-1<x<3.

由圖象可知，yi與丫2圖象的交點的橫坐標為-1和3，當-l<x<3時，丫］的圖象在的圖象的下

方，即可得答案.

本題考查二次函數與不等式(組)，能夠利用函數圖象判斷兩個函數的大小關系是解題的關鍵.

14.【答案】兩

【解析】解：△=M-4x(-2)=9>0,

所以拋物線與x軸有兩個交點.

故答案為兩.

先計算判別式的值，然后根據判別式的意義進行判斷.

本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數、=。/+6%+(:(￡1/］是常數，aK0)與X軸的交

點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程；△=b2-4ac決定拋物線與x軸的交點個數.

15.【答案】0

【解析】【分析】

本題考查了二次函數的性質，根據二次函數的對稱性求出拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一交

點為(1,0)是解題的關鍵.根據二次函數的對稱性求出拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一交點為

(1,0),由此求出a+b+c的值.

【解答】

解：,拋物線、=。/+故+￡：經過點4(-3,0),對稱軸是直線x=-l,

y=ax2+bx+c與x軸的另一交點為(1,0),

???Q+Z?+c=0.

故答案為0.

16.【答案】：Wa<2

【解析】解：設直線MN的解析式為y=kx+b（k*0）,

喉;MJ,

.（k=l

"U=-1'

???MN的解析式為y=x-l,

「（，），月）是拋物線工+上的兩點，其對稱軸是直線若%-沏|>

4X1%BQ2,y=a/—31x=x0,

%一沏|時，總有力>”，

???Q>0,

?.?拋物線y=ax2-3x+1與線段MN有兩個不相同的交點，

??.x=3時，y>2,且拋物線與直線MN有交點，且一1三3滿足條件，

/2a

、1

?,?a>-,

令％—1=ax2—3%+1?整理得：Q/—4x+2=0,

v4=16—8a>0,

??a<2,

217Wa,<c2,

故答案為：1<a<2.

用待定系數法求出MN的解析式，根據二次函數的性質得出x=3時;y>2,且—言S3,進一步

利用/>0求解即可.

本題考查二次函數的圖象與系數的關系，二次函數的圖象上的點的特征等知識，解題的關鍵是掌

握二次函數的性質.

17.【答案】解：???%2-6%+2=0,

???x2—6x=-2,

/.x2-6%+9=-2+9,即（x-3/=7,

???x-3=±C，

，

???X]=3+7x2=3—V"7.

【解析】將常數項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數一半的平方配成完全平方式后，再開

方即可得.

本題主要考查解一元二次方程-配方法，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分

解法、公式法及配方法，解題的關鍵是根據方程的特點選擇簡便的方法.

18.【答案】解：逆時針旋轉后得到△力CE,C點落在BD邊上，

:.AB=AC,Z-D—乙E=20°,

???LBAD=90°,

???乙B=90°-ZD=70°,

??,AB=ACf

???Z.ACB=LB=70°,

???Z,BAC=180°-70°-70°=40°,

即4BAC的度數為40。.

【解析】先根據旋轉的性質得到4B=AC,NO=NE=20。，再利用互余計算出NB=70。，然后

根據等腰三角形的性質和三角形內角和計算出NBAC的度數.

本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于

旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.

19.【答案】解：因為拋物線的對稱軸是直線x=2,且點A在拋物線上,

所以卜母=2,解得『二？.

11-Z?+c=0c-3

所以拋物線的解析式為y=X2-4X+3.

【解析】根據拋物線與x軸的交點坐標及對稱軸即可解決問題.

本題考查用待定系數法求二次函數解析式，根據題意列出關于b,c的方程組是解題的關鍵.

20.【答案】解：(1)如圖，即為所求；

(2)如圖,小慶》2c2即為所求.

&(4,1),B2(3,3),C2(2,2).

【解析】(1)根據平移的性質即可將△ABC向右平移2個單

位，可得平移后的△4B1G；

(2)根據旋轉的性質即可作出△&B1G關于點。成中心對

稱的圖形△&B2C2.

本題考查了作圖-旋轉變換，平移變換，解決本題的關鍵是掌握旋轉和平移的性質.

21.【答案】向上5>-1<x<3x=一2或4

【解析】解：(1)由表格可見，函數的對稱軸為x=l,對稱軸右側，y隨X的增大而增大，故拋物

線開口向上，

頂點坐標為(1,-4),根據函數的對稱性m=5；

故答案為：向上；5；

(2)從P、Q的橫坐標看，點Q離函數的對稱軸近，故為>丫2；

故答案為：>；

(3)從表格看，當y<0時，x的取值范圍是：一1<%<3,

故答案為：-1<x<3；

(4)從表格看，關于x的一元二次方程ax?+bx+c=5的解為：x=-2或4,

故答案為：％=-2或4.

根據表格數據確定函數的對稱軸，根據函數圖象對稱性即可求解.

本題考查的是拋物線與x軸的交點，主要考查函數圖象上點的坐標特征，要求學生非常熟悉函數與

坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數特征.

22.【答案】(1)證明：???a=1,b=-(m+3),c=2(m+l),

:，A—b2—4ac—[—(m+3)]2—4X1X2(m+1)=m2—2m+1=(m—l)2,

v(m-l)2>0,即A>0,

二不論m為何值，方程總有實數根.

(2)解：???X],亞是關于x的一元二次方程/一(巾+3)x+2(7n+l)=0的兩個實數根，

+x2=m+3,xT-x2=2(m+1),

■:xf+%2=5,即(工1+%2)2—2%1?%2=5,

:.(m+3)2—2x2(m+1)=5,

整理得：m2+2m=0,

解得：mj=0,m2=-2,

..m的值為0或-2.

【解析】(1)根據方程的系數結合根的判別式4=爐-4ac,可得出/=(m-I)2>0,進而可證

出無論m為何值，方程總有實數根；

(2)利用根與系數的關系可得出與+丫2=爪+3,xr-x2=2(771+1),結合好+X2=5,可得出關

于ni的一元二次方程，結合即可求出m的值.

本題考查了根的判別式以及根與系數的關系，解題的關鍵是：(1)牢記“當420時，方程有兩個

實數根”；(2)根據根與系數的關系及好+后=5,找出關于m的一元二次方程.

23.【答案】解：(1)?.?四邊形力BCD是矩形，力。的長度為x/n,

AD=BC=x.

?.,矩形除CD邊外的三邊總長為80m,

AB=80—2x,且80—2.xW30,

???x>25,且％<40,

???S=%(80—2%)=-2%2+80%,

??.S與》之間的函數關系式為S=-2x2+80x(25<%<40)；

2

(2)由(1)得S=-2x+80x=-2(%-20)2+800,且05<x<40),

v-2<0,

???當%>20時，S隨工的增大而減少，

.??當％=25時，S取最大值，最大值=750(小),

此時4D=25m,AB=30m,

?,?當4。=25zn,4B=30m時，矩形的面積最大，最大值為7507n2.

【解析】(1)因為4。=%,所以48=80—2%,由長方形的面積列式即可；

(2)將(1)中的二次函數進行配方可化為頂點式.利用二次函數的性質求解即可.

本題考查了二次函數的應用中求最值的問題，解題關鍵是根據二次函數的性質求函數的最值.

24.【答案】解:(1)vy=%2—2x—3=(x—l)2—4,

???拋物線G的頂點坐標P(l,-4),

m=1,點P和點。關于直線％=1對稱，

???點。的坐標為(1,6)；

⑵,??拋物線力的頂點P(L—4)與乙2的頂點。關于直線V=巾對稱，

???D(^l,2m+4),拋物線乙2：y——(x—I)2+(2m4-4)=—x2+2%+2m+3,

?,?當％=0時,C(0,2m+3),

,:D(l,2m4-4),

???N(0,2m+4),

??,C(0,2m4-3),

:?DN=NC=1,

:.Z.DCN=45°,

???乙BCD=90°,

???乙BCM=45°,

???直線〃/%軸，

:.乙BMC=90°,

???乙CBM=乙BCM=45°,BM=CM,

vm>—3,

???BM=CM=(2m4-3)—m=m4-3,

:.B(m+3,m),

???點B在y=X2-2X-3的圖象上，

:*m=(m4-3)2—2(m+3)—3,

???m=0或m=-3,

???當?n=3時，得8(0,-3),C(0,—3),此時，點8和點C重合，舍去，當m=0時，符合題意;

將Tn=0代入G：y=—%2+2%+2m+3得G：y=—x2+2%+3,

②當乙BDC=90。,如圖2,過B作BT1ND交ND的延長線于T,

同理，BT=DT,

???￡)(1,2m+4),

，DT=BT=(2m4-4)—m=m4-4,

vDN=1,

???NT=DN+DT=1+(?n+4)=m+5,

???B(m+5,771),

??,當B在y=x2-2x-3的圖象上，

二m=(m+5)2-2(m+5)-3,

解得m=-3或m=-4,

vm>—3,

Am=-3,此時，8(2,-3),C(0,-3)符合題意;

2

將m=-3代入G：y=——+2%+3得，L2：y=-x4-2%—3,

③易知，當乙DBC=9。。,此種情況不存在；

綜上所述，所對應的函數表達式為y=-/+2%+3或y=-x2+2%-3；

(3)如圖3,由(2)知，當ZBDC=9O。時，m=-3,

此時，△BCO的面積為1,不合題意舍去，

當N8C0=90。時，m=0,此時，△BCD的面積為3,符合題意，

由題意得，EF=FG=CD=C，取EF的中點Q,

在Rt△CEF中可求得CQ==殍，在Rt△FGQ中可求得GQ