第三章圓錐曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程問題情境雙曲線是具有廣泛應(yīng)用的一種圓錐曲線，如發(fā)電廠冷卻塔的外形、通過聲音時(shí)差測定定位等都要用到雙曲線的性質(zhì)，本節(jié)我們將類比橢圓研究方法研究雙曲線的有關(guān)問題。回顧舊知

焦點(diǎn)在x軸：焦點(diǎn)在y軸：其中，a>b>0，且a2=b2+c21.橢圓的定義2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問題1：

如果把橢圓定義中“距離的和”改為“距離的差”那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)發(fā)生怎樣的變化？新知探究探究1：如圖，在直線l上取兩個(gè)定點(diǎn)A、B,P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)，取定點(diǎn)F1、F2，以點(diǎn)F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓.

橢圓（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果|F1F2|>|AB|，兩圓不相交，不存在交點(diǎn)軌跡;（2）如果|F1F2|<|AB|，那么兩圓相交，其交點(diǎn)M的軌跡是

.新知探究改變條件：如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外運(yùn)動(dòng)時(shí)，在|F1F2|>|AB|的條件下，這時(shí)動(dòng)點(diǎn)M滿足什么幾何條件?兩圓的交點(diǎn)M的軌跡是什么形狀?新知探究當(dāng)點(diǎn)M靠近定點(diǎn)F1時(shí)，|MF2|-|MF1|=|AB|當(dāng)點(diǎn)M靠近定點(diǎn)F2時(shí)，|MF1|-|MF2|=|AB|;總之，點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2距離的差的絕對值|AB|是個(gè)常數(shù)(|AB|<|F1F2|).這時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是不同于橢圓的曲線，它分左右兩支.||MF1|-|MF2||=|AB|，雙曲線

概念生成

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.2.雙曲線的定義

這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，

兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距=2c，

焦距的一半稱為半焦距.MF1F2||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|)概念辨析（1）如果定義中去掉“絕對值”三個(gè)字會(huì)有什么影響？思考：（3）如果把定義中的“非零常數(shù)”（小于|F1F2|）變?yōu)橄铝星闆r，軌跡是什么？①2a=|F1F2|：②2a>|F1F2|:兩條射線不表示任何軌跡F1F2如果不加絕對值，那得到的軌跡只是雙曲線的一支.（2）定義中為什么強(qiáng)調(diào)距離差的絕對值為非零常數(shù)？如果等于0，點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線新知探究探究2：類比求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，我們?nèi)绾谓⑦m當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得出雙曲線的方程?

建系：取經(jīng)過兩焦點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系Oxy.

設(shè)點(diǎn)：設(shè)M(x，y)是雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距為2c(c>0)，那么，焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c，0),(c，0).

列式：設(shè)||MF1|-|MF2||=2a(a為大于0的常數(shù))，則MF1F2Oyx新知探究a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)思考：你能在y軸上找一點(diǎn)B，使得|OB|=b嗎?MF1F2Oyx新知探究3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上：?焦點(diǎn)坐標(biāo)：焦點(diǎn)在y軸上：F1(-c,0)、F2(c,0)a,b,c關(guān)系：c2=a2+b2F1(0,-c)、F2(0,c)MF1F2OyxOF2F1yxM新知探究問題：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程從形式上看有什么的特征？①方程用“－”號連接，左邊是兩個(gè)分式的平方差，右邊是1；②分母是a2,b2,且a>0,b>0，但a,b大小不定；③

如果

x2的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在x軸上；

如果

y2的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在y軸上.記憶口訣：化成標(biāo)準(zhǔn)式，焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走根據(jù)上述討論，判斷下列方程是否是雙曲線，焦點(diǎn)位置在哪個(gè)軸上？典例講解例1已知方程

表示雙曲線，求m的取值范圍.典例講解例2已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-5,0)、F2(5,0)，雙曲線上一點(diǎn)P與F1、F2的距離差的絕對值等于6,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.方法歸納(1)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：

①定位:確定與坐標(biāo)系的相對位置，在標(biāo)準(zhǔn)方程的前提下,確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以確定方程的形式.

②定量:確定a2、b2的值，常由條件列方程組求解.(2)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法：

①定義法:根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的a、b、c,再寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

②待定系數(shù)法:先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù),代人方程即可.若焦點(diǎn)位置不確定,可按焦點(diǎn)在x軸和y軸上兩種情況討論求解.課堂小結(jié)橢圓雙曲線定義圖形方程焦點(diǎn)a、b、c的關(guān)系位置(±c,0)(±c,0)a>0，b>0，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2(0,±c)(0,±c)xF2F1OyyF2F1Ox