第4章數

列等差數列的前n項和（第2課時）學習目標1.進一步熟練掌握等差數列的通項公式和前n項和公式及應用；2.了解等差數列前n項和的一些性質，并學會運用性質解決具體問題；3.掌握等差數列前n項和的最值問題的解法．（公式一）（公式二）（二次型）Sn=an2+bn(a,b為實數，常數項為0)特別的：對數列{n}：等差數列前n項和公式的基本形式：1．設Sn是等差數列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝(

)A．5

B．7C．9D．11自主練習：答案：A答案：C答案：15自主練習：答案：912自主練習：與等差數列各項的和有關的性質(2)若{an}是等差數列，Sm，S2m，S3m分別為{an}的前m項，前2m項，前3m項的和，

則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數列．(3)關于等差數列奇數項和與偶數項和的性質：例1.

(1)已知Sn為等差數列{an}的前n項和，a6＝100，則S11＝________；(2)若一個等差數列的前4項和為36，后4項和為124，且所有項的和為780，則這個數列的項數為________；(3)已知Sn為等差數列{an}的前n項和，Sn＝m，Sm＝n(n≠m)，則Sm＋n＝________.110039(3)已知Sn為等差數列{an}的前n項和，Sn＝m，Sm＝n(n≠m)，則Sm＋n＝________.將Sn＝m，Sm＝n代入，消去D并整理得：故填－(m＋n)．－(m＋n)跟蹤練習：答案：D答案：60答案：A例2.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值時n的值；若不存在，請說明理由.解法1.由d＝－2，得an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an，所以{an}是遞減數列.由a1＝10，d＝－2，得an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12.可知，當n＜6時，an＞0；當n＝6時，an＝0；當n＞6時，an＜0.所以,S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…,也就是說，當n＝5或6時，Sn最大.例2.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值時n的值；若不存在，請說明理由.解法2：因為由a1＝10，d＝－2，即5或6時，Sn最大，最大值為30.方法總結：求等差數列前n項和的最值的方法：(1)二次函數法：用求二次函數最值的方法(配方法)求其前n項和的最值，但要注意n∈N*.利用二次函數圖象的對稱性來確定n的值，使Sn取得最值．即正項變負項處最大，負項變正項處最小，若有零項，則使Sn取最值的n有兩個．跟蹤練習：2.設等差數列{an}的前n項和為Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，則滿足Sn＞0的最大自然數n的值為(

)A．6B．7C．12D．13DC3.等差數列{an}的首項a1＞0，設其前n項和為Sn，且S5＝S12，則當n為何值時，

Sn有最大值？由圖可知，當1≤n≤8時，Sn單調遞增；當n≥9時，Sn單調遞減，且S8＝S9.又n∈N*，∴當n＝8或9時，Sn有最大值．∵a1＞0，n∈N*，∴當n＝8或9時，Sn有最大值．3.等差數列{an}的首項a1＞0，設其前n項和為Sn，且S5＝S12，則當n為何值時，

Sn有最大值？又n∈N*，∴當n＝8或9時，Sn有最大值．3.等差數列{an}的首項a1＞0，設其前n項和為Sn，且S5＝S12，則當n為何值時，

Sn有最大值？例3.已知等差數列{an}中，記Sn是它的前n項和，若S2＝16，S4＝24，求數列{|an|}的前n項和Tn.①當n≤5時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.②當n≥6時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，數列{|an|}的前n項和問題：分類討論探究：若Sn＝n2＋2n＋1，試求an.Sn與an之間的關系問題方法步驟：(1)由Sn構造Sn－1→(2)利用an＝Sn－Sn－1

→(3)驗證n＝1

→(4)寫通項公式an.解：當n＞1時，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2－n2＝2n＋1.

當n＝1時，a1＝1＋2＋1＝4，不適合an＝2n＋1，解：(1)由已知a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，

所以當n＞1時有a1＋3a2＋…＋(2n－3)·an－1＝2(n－1)，

所以兩式作差可得：(2n－1)an＝2，與等差數列求和有關的裂項求和問題：解：解.(1)第10年的年末，依第一方案可得共加薪：1000＋2000＋3000＋…＋10000＝55000(元)．依第二方案可得共加薪：

300＋300×2＋300×3＋300×4＋…＋300×20＝63000(元)，因此在公司工作10年，選擇第二方案好，多加薪63000－55000＝8000(元)．(2)如果第二方案中的每半年加300元改成每半年加a元，問a取何值時，總是選擇第二方案比第一方案加薪多？(2)到第n年年末，依第一方案可得共加薪1000(1＋2＋…＋n)＝500n(n＋1)(元)．依第二方案可得共加薪a(1＋2＋3＋4＋…＋2n)＝an(2n＋1)(元)．由題意an(2n＋1)＞500n(n＋1)對一切n∈N*都成立，2．遇到與正整數有關的應用題時，可以考慮與數列知識聯系，建立數列模型，具體解決要注意以下兩點：(1)抓住實際問題的特征，明確是什么類型的數列模型．(2)深入分析題意，確定是求通項公式an，或是求前n項和Sn，還是求項數n.與等差數列前n項和相關的實際問題求解要點：1．本題屬于與等差數列前n項和有關的應用題，其關鍵在于構造合適的等差數列．跟蹤練習1.某電站沿一條公路豎立電線桿，相鄰兩根電線桿的距離都是50m，最遠一根電線桿距離電站1550m，一汽車每次從電站運出3根電線桿供應施工．若該汽車往返運輸總行程為17500m，共豎立多少根電線桿？第一根電線桿距離電站多少米？1.等差數列前n項和公式的基本形式：2.與等差數列各項的和有關的性質3.等差數列前n項和的最值4.與等差數列前n項和有關的幾個典型問題（1）數列{|an|}的前n項和問題（2）Sn與an之間的關系問題（3）與等差數列求和有關的裂項求和問題（4）與等差數列前n項和相關的實際問題課堂小結達標訓練1．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且S10＝12，S20＝17，則S30為(

)A．30B．25C．20D．15解：S10，S20－S10，S30－S20成等差數列，所以S10＋(S30－S20)＝2(S20－S10)，

所以12＋(S30－17)＝2×(17－12)，解得S30＝15.D2．已知數列{an}的前n項和為Sn，且2，Sn，an成等差數列，則S17＝(

)A．0B．2C．－2D．34解：2S1＝2＋a1，即2a1＝2＋a1，解得a1＝2，2S2＝2＋a2，即2(2＋a2)＝2＋a2，解得a2＝－2，2S3＝2＋a3，即2(2－2＋a3)＝2＋a3，解得a3＝2，2S4＝2＋a4，即2(2－2＋2＋a4)＝2＋a4，解得a4＝－2，…S17＝2－2＋2－2＋2－2＋2－2＋2－2＋2－2＋2－2＋2－2＋2＝2.B3．已知Sn是等差數列{an}的前n項和，且S6＞S7＞S5，給出下列五個命題：①d＞0；②S11＞0；③S12＜0；④數列{Sn}中的最大項為S11；⑤|a6|＞|a7|.其中正確命題的個數為(

)A．2B．3C．4D．5解：因為等差數列{an}中，S6＞S7＞S5，所以a1＞0，d＜0，故①不正確；因為S6＞S7＞S5，所以a6＝S6－S5＞0，a7＝S7－S6＜0，S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)＝11a6＞0，故②正確；因為S6＞S7＞S5，所以a6＋a7＝S7－S5＞0，所以S12＝12a1＋66d＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0，故③不正確；因為a6＝S6－S5＞0，a7＝S7－S6＜0，所以S6最大，故④不正確；因為a6＝S6－S5＞0，a7＝S7－S6＜0，a6＋a7＝S7－S5＞0，所