關于雙曲線及其標準方程(公開課)問題1：橢圓的定義是什么？平面內與兩個定點|F1F2|的距離的和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。問題2：橢圓的標準方程是怎樣的?

，，關系如何？問題3：如果把橢圓定義中“距離的和”改為“距離的差”那么動點的軌跡會發生怎樣的變化？復習引入動畫演示第2頁,共18頁，2024年2月25日，星期天平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數（小于|F1F2|，且不等于0）的點的軌跡叫做雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距。通常情況下，我們把|F1F2|記為2c（c>0)；常數記為2a(a>0).問題4:定義中為什么強調常數要小于|F1F2|且不等于0（即0<2a<2c）？如果不對常數加以限制，動點的軌跡會是什么？問題3:定義中為什么強調距離差的絕對值為常數？一、雙曲線的定義第3頁,共18頁，2024年2月25日，星期天①若2a=2c,則軌跡是什么？②若2a>2c,則軌跡是什么？③若2a=0,則軌跡是什么？此時軌跡為以F1或F2為端點的兩條射線此時軌跡不存在此時軌跡為線段F1F2的垂直平分線F1F2F1F2分3種情況來看：第4頁,共18頁，2024年2月25日，星期天二、雙曲線標準方程的推導①

建系使軸經過兩焦點，軸為線段的垂直平分線。O②設點設是雙曲線上任一點，焦距為，那么焦點又設|MF1|與|MF2|的差的絕對值等于常數。③列式即第5頁,共18頁，2024年2月25日，星期天將上述方程化為：

移項兩邊平方后整理得：

兩邊再平方后整理得：

由雙曲線定義知：

即：設

代入上式整理得：

兩邊同時除以得：④化簡這個方程叫做雙曲線的標準方程，它所表示的雙曲線的焦點在x軸上，焦點是F1(-c，0)，F2(c，0).其中c2=a2+b2.第6頁,共18頁，2024年2月25日，星期天思考？類比橢圓的標準方程，請思考焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是什么？其中c2=a2+b2.這個方程叫做雙曲線的標準方程，它所表示的雙曲線的焦點在y軸上，焦點是F1(0，-c)，F2(0，c).第7頁,共18頁，2024年2月25日，星期天三.雙曲線兩種標準方程的比較①方程用“－”號連接。②分母是但大小不定。③。

④如果的系數是正的，則焦點在軸上；如果的系數是正的，則焦點在軸上。OMF2F1xyF2F1MxOy第8頁,共18頁，2024年2月25日，星期天定義

方程

焦點a.b.c的關系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2四、雙曲線與橢圓之間的區別與聯系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a橢圓雙曲線F（0，±c）F（0，±c）第9頁,共18頁，2024年2月25日，星期天練一練判斷下列方程是否表示雙曲線？若是，求出及焦點坐標。答案：題后反思：先把非標準方程化成標準方程，再判斷焦點所在的坐標軸。第10頁,共18頁，2024年2月25日，星期天變式訓練例題解：因為雙曲線的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為因此，雙曲線的標準方程為題后反思：求標準方程要做到先定型，后定量。兩條射線軌跡不存在例1、已知雙曲線的焦點

F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點P到焦點的距離差的絕對值等于8，求雙曲線的標準方程。1.若|PF1|-|PF2|=8呢？2.若||PF1|-|PF2||=10呢？3.若||PF1|-|PF2||=12呢？所以2c=10，2a=8。即a=4，c=5那么b2=c2-a2=25-16=9根據已知條件，|F1F2|=10.||PF1|-|PF2||=8，第11頁,共18頁，2024年2月25日，星期天練一練求適合下列條件的雙曲線的標準方程。①焦點在在軸上，；②焦點在在軸上，經過點.答案:①②設雙曲線的標準方程為代入點得令則解得故所求雙曲線的標準方程為第12頁,共18頁，2024年2月25日，星期天使A、B兩點在x軸上，并且點O與線段AB的中點重合解:由聲速及在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,可知A地與爆炸點的距離比B地與爆炸點的距離遠680m.因為|AB|>680m,所以爆炸點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線在靠近B處的一支上.

例2已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點的軌跡方程.如圖所示，建立直角坐標系xOy,設爆炸點P的坐標為(x,y)，則即2a=680，a=340xyoPBA因此炮彈爆炸點的軌跡方程為第13頁,共18頁，2024年2月25日，星期天歸納小結雙曲線的定義雙曲線的標準方程應用布置作業51頁練習A組1、2；56頁習題2.3A組1、2題。謝謝!第14頁,共18頁，2024年2月25日，星期天①當

2a=||MF1|－|MF2||=0時，軌跡是線段F1F2的垂直平分線.(1)定義中強調在平面內,否則軌跡不是雙曲線。幾點說明：OF1F2M通常|F1F2|記為2c;距離的差的絕對值記為2a.||MF1|－|MF2||

=|F1F2|

時,M點一定在上圖中的F2F1PQ②當2a=|F1F2|時（2）定義中為什么0〈2a〈|F1F2|？射線F1P,F2Q上,此時點的軌跡為兩條射線F1P,F2Q。第15頁,共18頁，2024年2月25日，星期天題后反思（1）先把非標準方程化成標準方程，再判斷焦點所在的坐標軸。（2）是否表示雙曲線？

表示焦點在軸上的雙曲線；表示焦點在軸上的雙曲線。