2022-2023學(xué)年度高二第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平診斷

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.

2.答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上.

3.使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰：超出答題

區(qū)書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

符合題目要求.

1.64是數(shù)列5、4、8、16、L的（）

A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)C.第8項(xiàng)D.第9項(xiàng)

【答案】A

【解析】

【分析】列舉出該數(shù)列的前6項(xiàng)，可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知，該數(shù)列為J、L、！、」-、二-、」-、L,

248163264

1

故—是數(shù)列;、一、8-—、L的第6項(xiàng).

6424

故選：A.

2.已知橢圓?+y2=l的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,若過(guò)"且斜率不為0的直線交橢圓于A、8兩

點(diǎn)，則AAB6的周長(zhǎng)為（）

A.2B.273C.4D.46

【答案】D

【解析】

【分析】利用橢圓的定義可求得AAB鳥的周長(zhǎng).

2

【詳解】在橢圓§+尸=1中，a=5

所以，△ABB的周長(zhǎng)為|陽(yáng)+|4段+忸用=（|4耳|+|A8|）+（忸0+忸圖）=4。=44.

故選：D.

<12

3.在數(shù)列｛叫中，a="C，若田二=~?則%03二()

n+i2%-3,%>1

1248

A.-B.-C.一D.-

5555

【答案】D

【解析】

【分析】推導(dǎo)出對(duì)任意的〃eN*，/+4=4,利用數(shù)列的周期性可求得403的值?

2a,a<1?

【詳解】在數(shù)列｛為｝中，4H1="?__，H.Lait一--，

2an-3,an>15

4812

則％=2。］=—,%=2%=一，=2a3-3—~,%=2aA=~>L,

5

8

以此類推可知，對(duì)任意的〃￡N,,a”+4=%，所以，％03=%*25+3=q=g

故選：D.

4.如圖是一座拋物線形拱橋，當(dāng)橋洞內(nèi)水面寬16m時(shí)，拱頂距離水面4m,當(dāng)水面上升1m后，橋洞內(nèi)水

面寬為（）

D.12m

【答案】C

【解析】

【分析】以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為y軸，過(guò)原點(diǎn)且垂直于y軸的直線為x軸建立平

面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為％2=-2〃丫（0>0）,分析可知點(diǎn)（8,7）在該拋物線上，求出。的值，

可得出拋物線的方程，將y=-3代入拋物線方程，即可得出結(jié)果.

【詳解】以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為y軸，過(guò)原點(diǎn)且垂直于軸的直線為*軸建立如

下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

°

設(shè)拋物線的方程為Y=-2〃y（〃>0）,由題意可知點(diǎn)（8,Y）在拋物線上，

所以，64=—2〃x（T）,可得p=8,所以，拋物線的方程為f=-16y,

當(dāng)水面上升1m后，即當(dāng)產(chǎn)一3時(shí)，丁=48,可得X=±4百，

因此，當(dāng)水面上升1m后，橋洞內(nèi)水面寬為8Gm.

故選：C.

5.《算法統(tǒng)宗》是一部我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著.《算法統(tǒng)宗》中記載了如下問(wèn)題情

境：“遠(yuǎn)望魏魏塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一”，意思為：”一座7層塔，共懸掛了381盛

燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍”.在上述問(wèn)題情境中，塔的正中間一層懸掛燈的數(shù)量

為（）

A.12B.24C.48D.96

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可知每層燈的數(shù)量從塔的頂層到底層構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為2,然后由等比數(shù)列的前7

項(xiàng)和為381列式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)燈塔每層的燈數(shù)滿足數(shù)列｛%｝,頂層的燈數(shù)為外,前〃項(xiàng)和為S,,,

則｛凡｝為公比為2的等比數(shù)列，

根據(jù)題意有S7=4（1；』=381，解得4=3，

4=4x23=3x23=24,塔的正中間一層懸掛燈的數(shù)量為24.

故選:B.

6.若橢圓c的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在y軸上；順次連接c的兩個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)短軸頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，

順次連接C的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形的面積為4石，則C的方程為（）

9222222，

A.二+土=1B.匯+匯=1C.匯+三=1D,工+三=1

43628486

【答案】A

【解析】

a=2c

【分析】由題可知，<；-2人2方=46,解之即可得。和&的值，從而求得橢圓的方程：

a2^b2+c2

V2r2

【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4+q=1（。〉b>0）,

a"b"

a=2c

由題可知，,一?2。,2/?=4J5,解得〃=2,b=3,

2

a2=b2c2

22

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕+土=1.

43

故選：A.

7.已知數(shù)列｛4｝、｛〃,｝的通項(xiàng)公式分別為。"=3”—1和年=4〃-3（及eN*）,設(shè)這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)

構(gòu)成集合A,則集合Ac｛〃|〃W2023,〃eN*｝中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.166B.168C.169D.170

【答案】C

【解析】

【分析】利用列舉法可知，將集合A中的元素由小到大進(jìn)行排序，構(gòu)成的數(shù)列記為｛c“｝,可知數(shù)列｛%｝為

等差數(shù)列，求出數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式，然后解不等式%42023,即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意可知，數(shù)列4：2、5、8、11、14、17、2（）、23、26、29、L,

數(shù)列2:1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、L,

將集合A中的元素由小到大進(jìn)行排序，構(gòu)成數(shù)列q：5、17、29、L,

易知數(shù)列｛qj是首項(xiàng)為5,公差為12的等差數(shù)列，則ca=5+12（“-1）=12n—7,

由%=12〃-7<2023,可得〃=169+',

66

因此，集合Ac｛〃,42023,〃€N*｝中元素的個(gè)數(shù)為169.

故選：C.

8.已知直線/過(guò)雙曲線C：/—22=1的左焦點(diǎn)尸，且與。的左、右兩支分別交于A8兩點(diǎn)，設(shè)。為坐標(biāo)

3

原點(diǎn)，P為的中點(diǎn)，若△OEP是以FP為底邊的等腰三角形，則直線/的斜率為（）

A+標(biāo)R+而c+而D+后

2235

【答案】D

【解析】

【分析】由點(diǎn)差法得壇=3’由條件知直線。尸的傾斜角為AB傾斜角的兩倍，代入兩直線的斜率關(guān)

系式L?上相=3即可求得/的斜率.

【詳解】設(shè)A（芭，y）,8（工2,%），P（%，％），

由均在C：f-2L=i上，尸為A3的中點(diǎn),

3

則3（王一々）（％+W）=（凹一%）（凹+必），

2yo

設(shè)直線A3傾斜角為。，則4AB=tana,不妨設(shè)。為銳角,

???△OEP是以EP為底邊的等腰三角形，，直線OP的傾斜角為2&,則Zg=tan2a.

/.tan。?tan2a=3,

2tana今

tana------「=3,解/TiZ得fcltana

1-tana

...由對(duì)稱性知直線/的斜率為土叵.

5

故選：D

【點(diǎn)睛】中點(diǎn)弦定理：直線與橢圓（雙曲線）交于A,B兩點(diǎn)，中點(diǎn)為P,則有心-（。為

坐標(biāo)原點(diǎn)）

此題解答過(guò)程中中點(diǎn)弦定理起了核心作用，通過(guò)中點(diǎn)弦定理建立了原8與％”的關(guān)系，另一方面通過(guò)

△OFP是以EP為底邊的等腰三角形可能建立兩直線傾斜角的關(guān)系，從而得到所求直線的斜率.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要

求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

22

9.已知曲線C：1---J=l（mwR）,下列說(shuō)法正確的有（）

2-mm-\

A.若曲線C表示橢圓，則〃?>2或m<1

B.若曲線C表示橢圓，則橢圓焦距為定值

C.若曲線C表示雙曲線，則1<小<2

D.若曲線C表示雙曲線，則雙曲線的焦距為定值

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線的方程求出加的取值范圍，可判斷AC選項(xiàng)；利用橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)可

判斷BD選項(xiàng).

2-機(jī)>0

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若曲線。表示橢圓，則<加一1<0,解得m<1,A錯(cuò)；

22

對(duì)于B選項(xiàng)，若曲線。表示橢圓，則加<1,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為上—+上_=1，

2-ml-m

橢圓C的焦距為——=2,B對(duì)：

對(duì)于C選項(xiàng)，若曲線。表示雙曲線，則（2）（1一〃。<0,解得1<2,C對(duì)；

尤2v2

對(duì)于D選項(xiàng)，若曲線C表示雙曲線，則雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為二------=1,

2-mm-\

雙曲線C的焦距為2狀2_0）+（,〃-1）=2,D對(duì).

故選：BCD.

10.已知等差數(shù)列｛4｝的前W項(xiàng)和為S“6eN"）,若q>0,S4=S12,則（）

A.公差d<0B.%+為<0

C.S,的最大值為58D.滿足S“<0的〃的最小值為16

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)4>0,S4=52求出q與公差d的關(guān)系即可判斷AB；再根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式即可判

斷CD.

【詳解】因?yàn)?>0,邑=>2,

則4（4；%）=12（q；42）,即4+04=3（4+42），

2

則"=一行4<0，故A正確；

。7+。9=2。1+14d=-d>0,故B錯(cuò)誤；

由%+。9>。，得小>0，

%=4+8d=gd<0,

因?yàn)閐<0,q>0,

所以數(shù)列｛q｝是遞減數(shù)列，且當(dāng)〃W8時(shí)，an>0,當(dāng)〃29時(shí)，??<0,

所以S”的最大值為$8,故C正確；

。d（a.16a

S,--n2'+a.\n=——-n2'------n,

"2I12）1515

令S“<0,解得〃>16,

所以滿足S“<0的〃的最小值為17,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為=且2a,用+S“=l+!（”eN*）,則（）

A.數(shù)列｛2"4｝為等差數(shù)列B.a?=寸

C.S“隨”的增大而減小D.S“有最大值

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)4=求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)，即可判斷AB；根據(jù)數(shù)列｛4｝的符號(hào)，即可判

斷S〃的增減性，即可判斷CD.

【詳解】由21+S“=l+￡，

當(dāng)〃22時(shí)，2a“+S“_]=1+1r,

兩式相減得2a,*]-2an+an=一｝,

即2??+1=a,-^,所以2"%用一2"%=-1(H>2)，

31

當(dāng)〃=1時(shí)，2%+〃]=,,則。2=/，

則2~七—2〃]——19

所以數(shù)列數(shù)列｛2%,,｝是以-1為公差，2%=2為首項(xiàng)的等差數(shù)列，故A正確；

3—72

則2"%=3-〃，所以怎=亍，故B正確；

3-72

由4=弓]，得當(dāng)〃<2時(shí)，勺>。，％=°，當(dāng)"24時(shí)，??<0,

所以當(dāng)〃W2時(shí)，S“隨〃的增大而增大，當(dāng)〃24時(shí)，S,隨〃的增大而減小，故C錯(cuò)誤；

所以當(dāng)〃=2或3時(shí)，S.取得最大值，故D正確.

故選：ABD.

12.己知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)p在拋物線上，則()

A.過(guò)點(diǎn)4(0,2)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且僅有兩條

B.設(shè)點(diǎn)B(3,2),則|尸B|-|P目的最大值為2近

C.點(diǎn)p到直線x-y+3=0的最小距離為J5

D.點(diǎn)P到直線4x-3y+6=0與點(diǎn)p到丁軸距離之和的最小值為1

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，求出直線的方程，可判斷A選項(xiàng)；數(shù)形結(jié)合求出|尸身一歸目的最

大值，可判斷B選項(xiàng)；設(shè)點(diǎn)P（4產(chǎn),4。，其中reR,利用點(diǎn)到直線的距離公式以及二次函數(shù)的基本性質(zhì)

可判斷C選項(xiàng)；利用拋物線的定義以及數(shù)形結(jié)合思想求出點(diǎn)尸到直線4x-3y+6=0與點(diǎn)尸到y(tǒng)軸距離之

和的最小值，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線為“，若直線〃方程為x=（）,此時(shí)直線〃?與拋物線＞2=4x只

有一個(gè)公共點(diǎn)，

若直線m的方程為y=2,此時(shí)直線加與拋物線V=4尤只有一個(gè)公共點(diǎn)，

若直線m的斜率存在且不為零，設(shè)直線m的方程為y=履+2,

y=kx+2,、

聯(lián)立《，可得攵2幺+（4左—4）x+4=0,

=4x

Zw0i

若直線m與拋物線V=4無(wú)相切，則〈.、22，解得A=—,

A=（4A:-4）-16A:2=02

此時(shí)，直線加的方程為y=gx+2,

綜上所述，過(guò)點(diǎn)A（0,2）且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且僅有三條，A錯(cuò)：

對(duì)于B選項(xiàng)，如下圖所示：

Z/B

易知點(diǎn)尸（1,0）,|PB|一陀可W忸T=J（3-］）2+（2—0）2=272，

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為射線所與拋物線V=4x的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，

故歸卻―日的最大值為2近，B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)P（4產(chǎn),4。，其中teR,

22

4+2

則點(diǎn)尸到直線x-y+3=0的距離為|4r2-4/+3|4+2

亍——>V2>

d=近V2V2

當(dāng)且僅當(dāng)?=■!■時(shí)，等號(hào)成立，故點(diǎn)尸到直線x-y+3=0的最小距離為近，c對(duì);

對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示：

y

4x-3y+6=0

拋物線丁二公的準(zhǔn)線為/：%=—1,過(guò)點(diǎn)P作垂足為點(diǎn)A,設(shè)R4交y軸于點(diǎn)3,

過(guò)點(diǎn)P作直線4x-3y+6=0的垂線，垂足為點(diǎn)。，連接P/L

則歸回+1PQ|=|Q4|+歸刈-1=|PF|+1P￡)|-1,

當(dāng)「歹與直線4x-3丫+6=0垂直時(shí)，|PD|+1PF|取最小值,

/10=2

且最小值為點(diǎn)F到直線4x-3y+6=0的距離"

M+(-3)一

因此，歸卻+「口=|依|+歸4—122—1=1,

故點(diǎn)P到直線4x-3y+6=0與點(diǎn)p到y(tǒng)軸距離之和的最小值為1，D對(duì).

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知等差數(shù)列｛%｝前w項(xiàng)和為S“，若q=3,a3s5=125,則公差d的值為

【答案】1或-4##-4或1

【解析】

【分析】由等差數(shù)列的求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得。3的值，由此可求得d的值.

【詳解】由等差數(shù)列的求和公式可得S5="a；%)=5aJ,則4s5=5%=125,可得%=±5.

當(dāng)q=5時(shí)，d=—~~—=1；當(dāng)令=-5時(shí)，d=―—―=-4.

22

綜上所述，d=l或-4.

故答案為：1或T.

22

14.已知雙曲線C:=-4=1(〃>0,6>0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心、。為半徑的圓與。的一條漸近線相

ab

交于M,N兩點(diǎn)，若NM4N=120,則。的離心率為.

【答案】林空

33

【解析】

【分析】由題意知NM4O=120，所以NMQ4=30，故々=tan30,從而求得離心率.

a

【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線c的一條漸近線)，=2》的傾斜角為仇

由題意可得|Q4|=|AN|=|AM|=a,所以N與。重合,

所以NM4O=120，所以。=30.

T7nb二口“b百

又tan夕=一,所以—=——

故答案為：空

3

15.去掉正整數(shù)中被4整除以及被4除余1的數(shù)，剩下的正整數(shù)按自小到大的順序排成數(shù)列

｛a.｝:q,a2M3，，，再將數(shù)列｛。“｝中所有序號(hào)為4,外，4，的項(xiàng)去掉，｛《J中剩余的項(xiàng)按自小到大的

順序排成數(shù)列｛0｝(〃GN*),則49+%的值為.

【答案】153

【解析】

【分析】由題意，整理數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，以及分析數(shù)列｛"｝與數(shù)列｛凡｝的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案.

【詳解】由題意可知，數(shù)列｛q｝所有的奇數(shù)項(xiàng)為被4除余2的數(shù)，所有的偶數(shù)項(xiàng)為被4除余3的數(shù)，

H—1n—2

則當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，a?=4--+2=2?；當(dāng)w為偶數(shù)時(shí)，4=4?一^一+3=2〃-1.

即4=2,%=3,%=6,4=7,%=1°，4=11，L

顯然數(shù)列出｝是數(shù)列｛%｝從第二項(xiàng)開始去掉兩項(xiàng)、保留兩項(xiàng)所組成的

對(duì)于九，由（19-1）x2+1=37,則%=%=74；

對(duì)于仇。，由20x2=40,則％=“40=2x40-1=79,

故偽9+4。=74+79=153.

故答案為：153.

16.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P（x,y）（yN0）到點(diǎn)（0,的距離比它到％軸的距離大；，則點(diǎn)P的軌

跡「的方程為,過(guò)點(diǎn)（0,；）作兩條互相垂直的直線分別與曲線「交于點(diǎn)A、8和點(diǎn)C、D,

41

則肉+同的最小值為-----------

4

【答案】?.寸=>②.-##0.8

5

【解析】

【分析】利用拋物線的定義可得出點(diǎn)P的軌跡「的方程；分析可知直線AB的斜率存在且不為零，設(shè)直線

AB的方程為丁=丘+；（女工0），設(shè)點(diǎn)B（x2,y2）,將直線A6的方程與拋物線的方程聯(lián)立,

41

利用拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式以及二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得7-TT+斤區(qū)的最小值.

|AB|\CD\

【詳解】由題意可知，點(diǎn)P（x,y）（y20）到點(diǎn)（0,；］的距離與它到直線片-；的距離相等，

故曲線點(diǎn)尸的軌跡「是以點(diǎn)（0,：）為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為》2=y,

若直線ABJ_y軸，則直線8為>軸，此時(shí)直線C。與拋物線爐=y只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，

設(shè)直線AB的方程為丁="+；（左HO），設(shè)點(diǎn)A（X”X）、8優(yōu),%），

,1

y=KX-\I

聯(lián)立〈4,可得f一京一二=0,△=r+1>0,則可+%2=攵，

24

y=x"

|A6|=%+%+，=+々）+1=A2+1,同理可得|CD|=J+1,

2Zk

令/=r+1>0，則％2=/一1，令/⑺=([!+4=搟3+]=5(；_<)+1，

4

因?yàn)椋?gt;()，所以，〃f：L=〃5)=丁

c4

故答案為：X=y;y.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知等差數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)和為S“，?,=-5,%、a—、%+1成等比數(shù)列，數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)

和為<，且<+2=2d，(〃eN*).

(I)求數(shù)列｛《,｝、｛2｝的通項(xiàng)公式；

(2)記國(guó)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[—2.1]=-3,[1.2]=1,設(shè)q,=畜，求數(shù)列也％｝的前

7項(xiàng)和.

n

【答案】(1)a?=4n-9,bn=2

(2)218

【解析】

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛風(fēng)｝的公差為"，根據(jù)題中條件可得出關(guān)于"的等式，解出d的值，可得出等

差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，當(dāng)〃22時(shí)，由，=22-2可得出a=2%一2,兩式作差可得出數(shù)列也｝

為等比數(shù)列，當(dāng)〃=1時(shí)，求出乙的值，可得出等比數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式；

(2)列舉出數(shù)列｛',｝前7項(xiàng)的值，進(jìn)而可求得數(shù)列他￡,｝前7項(xiàng)的和.

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

因的、%T、%+1成等比數(shù)列，所以（4—1）2=43+1），

即（3d—6『=（2d—5）（4。—4）,整理可得/一81+16=0,解得4=4,

故=q+（〃—l）d=—5+4（〃—1）=4〃—9,

因?yàn)?；=2%-2①，當(dāng)〃22時(shí)，7；1=22_「2②，

①一②可得b“=2b?-2bz，即b“=勿*（〃22）,

又〃=1時(shí)，4+2=24，即2=2,

所以數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故"=2-2"T=2".

【小問(wèn)2詳解】

「4〃一9

解：由（1）知，an=4n-9,則%=一.一,

所以。=「2=-1，C3=C4=0,。5=。6=。7=1，

則數(shù)歹U｛“￡,｝的前7項(xiàng)和“7=一1x（21+22）+0x（23+2，）+lx（25+26+2，）=218.

22

18.已知雙曲線C與看一看=1有相同的漸近線，（2后,2）為C上一點(diǎn).

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為月、F2,過(guò)耳且傾斜角為45的直線與。相交于A、B兩點(diǎn)，求

△ABF]的面積.

2

【答案】（1）---/=]

4-

（2）-Vio

3

【解析】

22

【分析】Q）設(shè)雙曲線C的方程為匕—工=4,將點(diǎn)（2君,2）的坐標(biāo)代入雙曲線c的方程，求出2的值，

4161，

即可得出雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)A（x，x）、3（々,巴），將直線A3的方程與雙曲線C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用三角形

的面積公式可求得△ABE的面積.

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)雙曲線。的方程為卷―亮=/，將點(diǎn)(2后,2)代入方程中得/[=—；,

2212

所以雙曲線C的方程為v乙―r二=—上，即雙曲線。的方程為r'—；/=].

41644-

【小問(wèn)2詳解】

解：在雙曲線。中，a=2,b=l,則c=^/7壽=石，

則[(—6,0),所以直線43的方程為〉=%+火，設(shè)點(diǎn)A(x,，x)、3(七,%)，

f—

聯(lián)立，”「，一，可得3y2+2qy-l=(),A=2()+12>(),

x-4y=4

由韋達(dá)定理可得y+%=—乎，>i>2=—；，

貝IE-必|=J(y+%)2-4X%=，

所以,s4監(jiān)=3忻瑪卜|凹-力|=百凹=’空,

19已知數(shù)列｛。“｝滿足％=2,q="(%+]-a“)(〃eN)

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)2=/「數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S“，求證：

32

【答案】(1)4=2〃

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)由為="(%+1-4)得%=也=一=幺，可求得｛4｝的通項(xiàng)公式;

nn-11

(2)用裂項(xiàng)求和求得-不二],再根據(jù)單調(diào)性求得5“的范圍.

2\2〃+1J

【小問(wèn)1詳解】

由a=n(4Z,—)得，(〃+1)=on,

nJ+l/7+1'

所以&L=”對(duì)任意〃eN*恒成立，

n+1n

于是％==…又q=2,所以a“=2〃.

nn-\1

【小問(wèn)2詳解】

由（1）知，b

n4n2-l2(2〃-1?

+d=;11111

所以5〃=4+。2+一+-----1■…+-----

3352n-l

1,所以:《]一1

因?yàn)?<<1,

2〃+133I2/7+1

從而—<S<—.

3"2

20.已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)拋物線C上一點(diǎn)M向其準(zhǔn)線作垂線，垂足為N,當(dāng)

/MNR=30時(shí)，WM=1.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設(shè)直線/與拋物線C交于AB兩點(diǎn)，與軸分別交于P,Q（異于坐標(biāo)原點(diǎn)。），且AP=2P8,

若|AP|忸目=川0片09,求實(shí)數(shù)/I的取值范圍.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】⑴由拋物線的定義可知cMNb為等腰三角形，當(dāng)|MN|=1時(shí)，|N「|=百.

3

設(shè)準(zhǔn)線與X軸交點(diǎn)為T，則|7刊=“=1,求得拋物線方程.

（2）設(shè)直線方程為*=的+4他*0）,4（西,乂）,8（赴,必）,。。,0）,聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達(dá)定理,

由AP=2P8得,=一2為，代入韋達(dá)定理得「=6>，根據(jù)條件|明忸”=川0川0。可得

I（]'

九=可|〃2|+時(shí)），由基本不等式求得；I的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

如圖：設(shè)準(zhǔn)線與X軸交點(diǎn)為T，

由題意知==，

由拋物線的定義可知：為等腰三角形，所以NMNF=NMFN=30，NNMF=12O，

由|MN|=1得，=在.MAH中由余弦定理得加尸|=百，

43

在Rt.NTF看，附=即際30=1則附=。=不，故拋物線方程為V=3x.

設(shè)直線方程為，顯然/工0,

x=my+t.

聯(lián)立｛2_；，消》得>-3加y—3f=0,

y=3x

所以X+%=3，〃①，=-3f...②

因?yàn)锳P=2P8，所以“一%,一乂）=2（/—/,%），可得y=-2%，

將x=-2y2代入①式得一%=3m③，

將x=-2y2代入②式得一2必2=-3?……

將③式平方代入④得，=6加2.

22

由題意可得，IAP\=Vl+w1y,M^1=Vl+m1y21,

所以|AP|[8P|=（1+〃，）卜％|=18M（1+〃，），

又|OP||OQ|==36|/?|\

m

▼「|AP||BP|m2+lIf.,1]

\0P\\°Q\2網(wǎng)21\m\)

故4N1,當(dāng)且僅當(dāng)|加|=同，即加=±1時(shí)等號(hào)成立.

21.已知數(shù)列｛〃/滿足卬=一|，%+]=言

(1)證明：<J+2>是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(]、

⑵設(shè)數(shù)列他｝滿足-3)—+1,記｛〃｝的前〃項(xiàng)和為7；,若騫《也，對(duì)恒成立，

\7

求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

1

【答案】(1)證明見解析；

(2)-2<r<1

【解析】

3a?12121

【分析】(1)將4+i=丁子一變形為——=T----T,兩邊同加2后可證得〈一+2〉是等比數(shù)列，并可

2-2。“%3an3[anJ

求得｛4｝通項(xiàng)公式.

(2)由錯(cuò)位相減求和法求得，，由刀,〈也，恒成立分離常數(shù)后得，的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

3八3a

因?yàn)閝=一彳/0，4m=丁一，所以4,NO，

22-2an

1_2-2an_2J__2

4+i3/3an3'

-1-212c2門A、/

于7E---F2=--------F2=F2,H€N,

a

n+\3an33"J

1c41142

又因?yàn)橐?2=7，所以〈一+2〉是以一為首項(xiàng)、;為公比的等比數(shù)列，

?i3a?33

1

"2廿

于是」-+2<2V

2-，即

433)

【小問(wèn)2詳解】

由（i）得，仇=（〃一3）]5+1]=（〃-32

nJ

\2、3

2f22f22

<=(—2)x+(-l)x+0x+,+(〃—4)x+(n-3)x

55

3773737

V=(-2)x(|)+(T)x((§2f2(〃-3喧

+(H-4)X+

+5

7

、3

142)-("3)x0

兩式相減得，飛（=一1+++

(lF(t73>

4

、〃+1

492

Hir--(n-3)x

3137

n+\

4422

——+—1-x=-n

333r

(2丫

所以(=—2〃*,

由《叱,得一2〃（：2

T.<r(n-3I恒成立,

7

即1（〃一3）+2%20恒成立,

〃=3時(shí)不等式恒成立;