湖南省長沙市第二十四中學高二數學文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若變量滿足約束條件則的最大值為(

)A．4

B．3

C．2

D．1

參考答案：B2.函數y=的導數為（

）A.y′=

B.y′=

C.y′=

D.y′=參考答案：D略3.在數列中，，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.不等式的解集是(

)A．

B．

C．（-2，1）

D．∪參考答案：C5.已知變量x，y滿足約束條件，則目標函數z＝3x－y的取值范圍是（

）A．[－，6]

B．[－，－1]

C．[－1，6]

D．[－6，]參考答案：A略6.若點O和點F分別是雙曲線的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A略7.如圖所示，已知橢圓C：+y2=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M與C的焦點不重合，分別延長MF1，MF2到P，Q，使得=，=，D是橢圓C上一點，延長MD到N，若=+，則|PN|+|QN|=（）A．10 B．5 C．6 D．3參考答案：A【考點】橢圓的簡單性質．【分析】由向量線性運算的幾何意義可得，故而DF2∥QN，DF1∥PN，于是，于是=5a．【解答】解：∵，即，∴，∴，又，，∴，，∴，∴DF2∥NQ，DF1∥NP，∴，，∴，根據橢圓的定義，得|DF1|+|DF2|=2a=4，∴，故選A．8.如圖，在△ABC中，AD⊥AB，BC=BD，AD=1，則等于（）A． B． C． D．參考答案：B考點： 向量在幾何中的應用．

專題： 解三角形；平面向量及應用．分析： 利用平面向量的基本運算與解三角形的基礎知識，求解向量的數量積即可．解答： 解：=cos∠DAC，∵||=1，∴?=cos∠DAC=||?cos∠DAC，∵∠BAC=+∠DAC，∴cos∠DAC=sin∠BAC，?=cos∠DAC=||?cos∠DAC=||sin∠BAC，在△ABC中，由正弦定理得=變形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，?=cos∠DAC=||?cos∠DAC=||sin∠BAC，=|BC|sinB=|BC|?=，故選：B．點評： 本題考查平面向量的數量積，向量在幾何中的應用，平面向量的身影，且均屬于中等題或難題，應加強平面向量的基本運算的訓練，尤其是與三角形綜合的問題9.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線(a＞0，b＞0)的兩個焦點，PQ是經過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦，若∠PF2Q=90°，則雙曲線的離心率為（）A．2 B．2

C．﹣1 D．1+參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】根據PQ是經過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦，∠PF2Q=90°，可得|PF1|=|F1F2|，從而可得e的方程，即可求得雙曲線的離心率．【解答】解：∵PQ是經過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦，∠PF2Q=90°，∴|PF1|=|F1F2|∴=2c，∴e2﹣2e﹣1=0，∵e＞1，∴e=1+．故選：D．【點評】本題考查雙曲線的離心率，考查學生的計算能力，屬于基礎題．10.已知函數

是定義在上的減函數，函數

的圖象關于點對稱.若對任意的，不等式恒成立，的最小值是（）

A、0

B、

C、

D、3參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知單位正方形，點為中點．設，，以為基底．表示：（1）__________；（2）__________．參考答案：（1）．（2）．（1）在，，，為中點，∴．（2）．12.已知雙曲線的準線過橢圓的焦點，且直線與橢圓在第一象限至多只有一個交點，則實數的取值范圍為____________.參考答案：13.已知，若滿足有唯一整數解，則實數的取值范圍_______________.參考答案：14.設拋物線的焦點為F,經過點P(2,1)的直線l與拋物線相交于A、B兩點，又知點P恰為AB的中點，則

.參考答案：815.如右圖,為正方體，棱長為2，下面結論中正確的結論是________．(把你認為正確的結論都填上,填序號)①∥平面；

②⊥平面；③過點與異面直線AD和成90°角的直線有2條；④三棱錐的體積．參考答案：①②④略16.已知，，則與的位置關系為

.參考答案：

平行或相交17.不等式的解集不是空集,則的取值范圍是

參考答案：

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）討論函數f（x）的單調性；（2）若不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）求出導函數，通過當a≤0時，當a＞0時，判斷導函數的符號，然后判斷函數的單調性．（2）通過當a=0時，當a＜0時，當a＞0時，分別求解判斷求解函數的最小值，推出a的取值范圍．【解答】解：（1），…（1分）當a≤0時，∵x＞0，∴f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增…（3分）當a＞0時，令f'（x）=0，得x=a，∵x＞0，∴f'（x）＞0得x＞a；f'（x）＜0得0＜x＜a，∴f（x）在（0，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增．…（2）當a=0時，f（x）＞0恒成立…（6分）當a＜0時，當x→0時，f（x）→﹣∞，f（x）≥0不成立…（8分）當a＞0時，由（1）可知f（x）min=f（a）=a﹣alna，由f（a）=a﹣alna≥0得1﹣lna≥0，∴a∈（0，e]…（11分）綜上所述，a的取值范圍是．…（12分）【點評】本題考查函數的單調性的判斷與應用，導數的應用，考查分類討論思想以及轉化思想的應用．19.已知向量=，=，=，且.

（Ⅰ）若求；

（Ⅱ）求的最值．參考答案：略20.（本小題滿分14分）（1）求證：；（2）已知且，求證：中至少有一個小于2．參考答案：解：（1）證明：因為和都是正數，所以為了證明，只要證

，只需證：，

..........

3分即證:

，即證:

，即證:

21，

...........

6分因為21<25顯然成立，所以原不等式成立．.................

7分（2）證明：假設都不小于2，則

．.................

10分

，

即......13分這與已知矛盾，故假設不成立，從而原結論成立.......14分

21.已知函數.（1）求函數的單調遞增區(qū)間；（2）若，求的值.（1） 參考答案：(1)解：

……3分由

……………4分解得Z.

……………5分∴的單調遞增區(qū)間是Z.

…………6分（2）解：由（1）可知，∴，得.

……………8分∴

……………10分

.

……………12分

略22.（本題12分）已知橢圓的中心在原點，一個焦點為，且長軸長與短軸長的比為.(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓上在第一象限內的一點P的橫坐標為1,過點P作傾斜角互補的兩條不同的直線PA,PB分別交橢圓C于另外兩點A,B.求證:直線AB的斜率為定值.參考答案：（1）由已知可設橢圓C的方程為：依題意：且

解得