2023-2024學年江西省高一下冊2月月考數學試題

一、單選題

1.已知集合A={x|言B={X\2<X<4,X^Z},則AB=()

A.[2,3]B.(2,3]C.{2,3}D.{3}

【正確答案】D

【分析】首先解分式不等式得到厶={劃2<》43},再求AcB即可.

x-3

【詳解】A=<0,xe/?>=>A={x|2<x<3),

B={x|2<x<4,xeZ}={2,3,41,

所以AcB={3}.

故選：D

2.已知命題p：+'oeR,x；-x。+1<（）,那么命題P的否定是（）

A.叫eR,x；-X。+1<0B.切eR,x：-x（）+120

C.VxeR,x2-x+l>0D.VxeR,x2-x+1<0

【正確答案】C

【分析】根據存在量詞命題的否定方法，結合已知中的原命題，可得答案.

【詳解】“玉KR,片一曲+1<0”的否定是“VxeR,X2-X+1>O，>.

故選：C

3.函數/（x）=lnx+3x-4的零點所在的區間為（）

A.（0,）B.[1,1]C.（U）D.（2,3）

【正確答案】C

【分析】利用零點存在定理可判斷出函數y=/（x）的零點所在的區間.

【詳解】易知函數y=/（x）在（o,+8）上單調遞增，

X/（l）=-l<0,/（2）=ln2+2>0,

故函數y=/(x)的零點所在區間為(1,2).

故選：c.

'2x''+\,x<\,

4.設函數〃x)=?i則/(7(O))的值為()

log2[尤+

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】A

【分析】根據函數解析式得到"0)=2-'+1=|,/(〃0))=/(|),代入解析式求解即可.

【詳解】/(0)=2'+1=|,/(./-(0))=/[|]=log^|+|p

故選：A.

5.已知某種樹木的高度/⑺(單位：米)與生長年限，(單位：年，fcM)滿足如下的邏

輯斯諦(Logisfic)增長模型：%)=]+，2，其中。為自然對數的底數，設該樹栽下的時

刻為0,則該種樹木生長至3米高時，大約經過的時間為()

A.2年B.3年C.4年D.5年

【正確答案】C

【分析】根據題意，列方程，即可求解.

【詳解】由題意可得，令/⑺=;6=3,即1+/6，+2=2,解得：=4.

l+e

故選：C

6.若函數=在R上單調遞減，則實數”的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,+<?)C.D.(0,(

【正確答案】D

【分析】要保證函數=在R上單調遞減，需使得log“x,x>l和

[-4ax+\,x<l,

+都為減函數，且x=l處函數值滿足-4“xl+121og,1,由此解得答案.

|1O2^X,X>\

【詳解】由函數F(X)=r,八在R上單調遞減,

0<a<1

可得一4“<0,解得Ova4丄，

4

-4axl+l>logrJ

故選：D.

7.已知。>0,。>0,。+2匕=1,則下列選項錯誤的是()

A.0<。<〈B.T+4b>2V2C.他的最大值是:D.二十"的最小值是

28

5

16

【正確答案】D

【分析】根據題意求出人的范圍可以判斷A,然后結合基本不等式判斷B,C,最后消元通過

二次函數的角度判斷D.

h>01

【詳解】對A,?正確；

[a=]-2b>02

對B,2"+4〃N2,2“?4"=2A/2心=2品,當且僅當2"=4"時取"=”，正確；

對C,ab=-xax2b<-(^^]=-,當且僅當a=2匕=>〃=:力=丄時取口”，正確；

2212丿824

對D,由題意，a2+h2=(\-2b^+h2=5b2-4b+l=5^-^+1,由厶可知0<〃<丄，所

以巒+從€(I),錯誤.

故選：D.

8.關于x的方程/+儂+1=0在[0,2]內有解，則實數機的取值范圍()

A.(—,-2]B.[2,-KO)C.卜8，-|D.5

—,+00

2

【正確答案】A

【分析】當x=0時，顯然不成立，當X€(0,2]時，分離變量，利用導數求得函數的單調性

與最值，即可求解.

【詳解】當x=0時，可得1=0顯然不成立；

當xe(O,2]時，由于方程X2+儂+1=0可轉化為％=-—-%，

1I1_V2

令丁=——X,可得=

xx~X

當o<x<i時，y>o,函數單調遞增；當i<x<2時，y<o,函數單調遞減,

所以當X=1時，函數y=-丄-X取唯一的極大值，也是最大值，

X

所以其皿=-2,所以丁4-2,即加《-2,所以實數機的取值范圍(--一2］.

故選：A.

二、多選題

9.下列說法中正確的有()

A.若a>b,c>d,則

B.若實數滿足。<b<。，則〃2>/

C.Pa,beR,都有。+力

D.若a,be(O,M),則2+

ab

【正確答案】ABD

【分析】利用不等式的基本性質判斷選項A、B；利用基本不等式判斷選項C、D.

【詳解】A.a>6,od,-d>-c=>a-d>b-c,所以A正確.

B.a<b<O,:.a2-b2=(a+/?)(a-Z?)>0,故B正確.

C.當a,b為負數時，a+622。不成立，所以C錯誤.

D.a，%?0,+8),則纟+屋2\口=2,當且僅當時等號成立，故D正確.

ab\ab

故選：ABD

10.某市為了考察一所高中全體學生參與第六屆全國中小學生“學憲法、講憲法“憲法小衛士

活動的完成情況，對本校2000名學生的得分情況進行了統計，按照［50,60)、［60,70)、L、

［90,100］分成5組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，下列說法正確的是()

頻率

A.圖中的x值為0015

B.這組數據的平均數為77

C.由圖形中的數據，可估計75%分位數是85

D.80分以上將獲得金牌小衛士稱號，則該校有80人獲得該稱號

【正確答案】BC

【分析】由直方圖的面積之和為1可判斷A選項；求出平均數可判斷B選項；求出75%分

位數可判斷C選項；計算出該校獲得金牌小衛士稱號的人數可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，由頻率分布直方圖可知0.05+10無+0.35+0.3+0.1=1,解得x=0.02,

A錯；

對于B選項，這組數據的平均數為55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.1=77,B對;

對于C選項，0.05+0.2+0.35=0.6<0.75,0.05+0.2+0.35+0.3=0.9>0.75,

所以，設這組數據75%分位數為。，則”€(80,90),則0.6+(4-80)x0.03=0.75,解得a=85；

對于D選項，由頻率分布直方圖可知，該校獲得金牌小衛士稱號的人數為2000x0.4=800人,

D錯.

故選：BC.

11.設若"x)-a=0有三個不同的實數根，則實數°的取值可以是

()

A.yB.1C.-1D.2

【正確答案】AB

【分析】先作出函數的圖像，0有三個不同的實數根，化為函數

'ya<o)

/?={,,八與直線有三個交點，結合圖像，即可得出結果.

log3x(x>0)

3*(x<0)

【詳解】解：作出函數h,八圖像如下：

|log3x|(x>0)

又a=0有三個不同的實數根，

'3"(x<0)

所以函數/(》)=hI八與直線>有三個交點,

［|log3x|(x>0)

由圖像可得

故選：AB

12.我們把定義域為［0,+8)且同時滿足以下兩個條件的函數段)稱為“Q函數”：(1)對任

意的xG［0,+oo),總有y(x)K)；(2)若定0,y>0,則有式x+y閆㈤火)成立,下列判斷正確

的是()

A.若f(x)為“。函數”,則"0)=0

B.若/(x)為“。函數”，則/(x)在［0,+8)上是增函數

f0,xe<9,

C.函數g(x)=,八，在［0,+8)上是函數”

D.函數g(x)=x?+x在［0,+8)上是“。函數”

【正確答案】AD

【分析】利用賦值法及條件可判斷A,驗證“。函數”條件可判斷B,取犬=>=兀，則

gS)=g(2兀)=1可判斷c,驗證“。函數”條件可判斷D.

【詳解】取x=y=O得至U〃O)2〃O)+/(O),即“0)40,又對任意的x￡［0,+s),總有

/(x)20,故/⑼=0,A正確；

由題知/(x)=l(xN0),滿足“。函數”條件，段)為“Q函數”，但於)在［0,+8)上不是增函數,

故B錯誤；

g")=ilx任取戶廣加，則晨兀)=以2")=1,不滿足g(x+y)*g(x)+g(y),故C錯

誤；

g(x)=x?+x在［0,+8)上單調遞增，故g(xL=g(O)=O,即g(x)20,又

g(x+y)=(x+?+(x+y)=(x2+x)+(y2+y)+2Ay=g(x)+g(y)+2Ay,所以

g(x+y)Zg(x)+g(y),故D正確.

故選：AD.

三、填空題

13.已知/(108力=6+1，貝U/(4)=.

【正確答案】10

【分析】令Iog3X=4,解得x,計算即可得出結果.

4

【詳解】/(log3x)=^+l,令l%x=4,解得:%=3=81.

"4)=病+1=10.

故10.

14.函數/(幻=111卜2-2》-3)的單調遞減區間為.

【正確答案】(-北一1)

【分析】令，=x2-2尤-3,則y=lnf.根據復合函數單調性的判斷方法即可得出答案.

【詳解】令f=V_2x_3,貝l」y=lnf,

由f>0,得x<-l或x>3,故函數的定義域為(9,—1)=(3,女).

因為y=ln，在（0,+e）單調遞增，一2工一3在（T?,T）單調遞減,

所以函數/（1）=広任一21-3）的單調遞減區間為（華,-1）.

15.利用隨機數表法對一個容量為90,編號為00,01,02,89的產品進行抽樣檢驗,

抽取一個容量為10的樣本，若選定從第2行第3列的數開始向右讀數（下面摘取了隨機數

表中的第1行至第5行），根據下圖，讀出的第3個數是

18180792454417165809798386196206765003105523640506

26623897758416074499831146322420148588451093728871

23424064748297777781074532140832989407729385791075

52362819955092261197005676313880220253538660420453

37859435128339500830423407968854420687983585294839

【正確答案】75

【分析】根據隨機數表法進行抽樣即可.

【詳解】從隨機數表的第2行第3列的數開始向右讀數，第一個編號為62,符合；第二個

編號為38,符合；第三個編號為97,大于89,應舍去；下一個編號為75,符合.

所以讀出的第3個數是：75.

故75.

四、雙空題

16.已知/⑺="厶2+1若"。）=2,則/（一。）=；若

/\

flog,x2-l>0,則實數X的取值范圍是.

k3>

【正確答案】一2岑］

【分析】先判斷函數的奇偶性，由/（。）=2求解；再根據函數的單調性，由/“ogiY-lJwO

求解.

【詳解】因為f（x）的定義域為R,且

22~x-l1-2X

/(-x)=In^Vx+1-xj4-H--------

2一"+12A+1

=-ln^TTTl+xj+1;—J=-/（x）,所以f（x）是奇函數，

又/（a）=2,則a）=-2；

因為y=In（GTT+尤）,y=1一9]■在（0,卄）上是增函數，

所以/（X）在（0,+8）上是增函數，又/（力是R上的奇函數，

所以/（加4厶117+q+1_套1在R上遞增，且f（0）=0,

所以由flog,x-1>0,得bg產2-藤°,

即logix-21ogI彳，所以，

33

解得-34x<0或0<x43,

33

所以實數x的取值范圍是-理,0

故-2,

五、解答題

17.計算求值

213

⑴logs27xlog96+log166+e"

⑵log48-log丄3-loge4

【正確答案】（1）11

⑵-2

【分析】（1）根據對數的運算性質計算即可；

（2）根據對數的運算性質計算即可.

2ln3ln9

【詳解】（1）log827xlog,64-logl66+e=log23x1log36x4log62+e

=2log23xI。-2+9=21og23xlog32+9=11.

唸3

⑵log48-log|3-log^4=|log22,^log33_41og^^2=|+l_4=_2

18.已知集合A={x|a+14x43a-5},集合B={x|141og2x44}

⑴當“=4時，求他A)c3；

(2)若,求實數。的取值范圍.

在①Ac@B)=0；②“xeA”是“xeB”的充分條件；8)這三個條件中任選一

個，補充到本題第(2)問的橫線處，并解答.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【正確答案】⑴低A)cB={x|2Vx<5或7<xW16}

⑵447

【分析】(1)根據集合的補集與交集定義運算即可；

(2)選①②③中任何一個，都可以轉化為A=討論A=0與A00求解即可.

【詳解】⑴化簡集合8={卻勺0氏彳44}有8={目2<x<16}

當a=4時，A=1A|5<X<7J,則。4={川尤<5或x>7}

故低A)cB={x[24x<5或7<xW16}

(2)選①②③中任何一個，都可以轉化為A=B

(i)當A=0時，“+1>3。-5,即a<3時，AcB

(ii)當AX0時，

+1?3。-5

若則L+l>2,解得34aK7

[3?-5<16

綜上(i)(ii),實數。的取值范圍是a<7.

19.已知函數/(x)=x2.

⑴當時，不等式/(x)<(2-a)x—l+a恒成立，求實數〃的取值范圍；

(2)解關于x的不等式."X)<Mx-l)+x(Ze/?)

【正確答案】(1)[2,內)；

(2)答案見解析.

【分析】(1)由題設可得進而可知在恒成立，即

可求參數范圍.

(2)題設不等式等價于討論￡1的大小并根據一元二次不等式的解法求

解集即可.

【詳解】(1)當x€(―1,1)時/(x)<(2—a)x-l+。，得x?+(a—2)x+1—a<0,即

(x-l)[x-(l-a)]<0.

由xe(—1,1),貝ij一2<x-l<0,

x>\-a,即x-l>-a,

/.-2>-a,即。22,

實數”的取值范圍是[2,E).

(2)由B|Jx2-^k+l)x+k<0,g|J(x-l)(x-/:)<0,

①當左?-8,1)時，不等式的解集為化1)；

②當k=l時，不等式的解集為0；

③當Ze(l,+?>)時，不等式的解集為(1?).

綜上，當荘(口』)時，不等式的解集為(火/)；當％=1時，不等式的解集為；當壯。,用)時,

不等式的解集為(1次).

20.新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學生充分的自由選擇權.新高考地區某

校為了解本校高一年級將來高考選考歷史的情況，隨機選取了100名高一學生，將他們某次

歷史測試成績(滿分100分)按照[。,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,1(刈分成5組,

制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求圖中?的值并估計這100名學生本次歷史測試成績的中位數.

(2)據調查，本次歷史測試成績不低于60分的學生，高考將選考歷史科目；成績低于60分

的學生，高考將不選考歷史科目.按分層抽樣的方法從測試成績在［0,20),［80,100］的學生

中選取5人,再從這5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考歷史科目的概率.

【正確答案】(1)0.0075；準

頻率“

【分析】(1)根據旃*組距=頻率和頻率總和為1計算出a的值；頻率分布直方圖中中位

數左右兩邊的直方圖面積相等都為0.5,由此列式即可計算出中位數;

(2)根據頻率分布直方圖計算出成績在［0,20),［80,100］的學生頻數，根據分層抽樣規則計

算出對應區間人數，最后列式計算或用列舉法即可得出答案.

【詳解】(1)(0.005+0.01+0.015+0.0125+?)x20=l,解得a=0.0075

設中位數為x,因為學生成績在［0,40)的頻率為20X(0.005+0.01)=0.3<0.5,在［0,60)的頻

率為20x(0.005+0.01+0.015)=0.6>0.5

所以中位數滿足等式0.005x20+0.01x20+0.015x(x-40)=0.5,解得x=?

故這100名學生本次歷史測試成績的中位數為號.

(2)成績在［0,20)的頻數為0.005x20x100=10

成績在［80,100］的頻數為O.(X)75x2()xl(X)=15

按分層抽樣的方法選取5人，則成績在［0,20）的學生被抽取生5=2人，在［80,100］的學生

被抽取擠5=3人

從這5人中任意選取2人，都不選考歷史科目的概率為"1=白，故這2人中至少有1人高

C5

19

考選考歷史科目的概率為尸=1一5=..

21.2021年新冠肺炎仍在世界好多國家肆虐，并且岀現了傳染性更強的“德爾塔”變異毒株、

拉姆達”變異毒株，盡管我國抗疫取得了很大的成績，疫情也得到了很好的遏制，但由于整

個國際環境的影響，時而也會出現一些散發病例，故而抗疫形勢依然艱巨，日常防護依然不

能有絲毫放松.在日常防護中，口罩是必不可少的防護用品.已知某口罩的固定成本為200

萬元，每生產x萬箱，需另投入成本p（x）萬元，x為年產量（單位：萬箱）；已知

1,八

—9+360x,0<x<60

2

P(x)=，.通過市場分析，如若每萬箱售價400萬元時，該廠年內

410x+^^-3000,x>60

X

生產的商品能全部售完.（利潤=銷售收入-總成本）

（1）求年利潤與y（萬元）關于年產量M萬箱）的函數關系式;

（2）求年產量為多少萬箱時，該口罩生產廠家所獲得年利潤最大.

—x~+40x200,04x<60

2

【正確答案】（l”h

-l0x-^^+2800,尤260

x

(2)90萬箱

【分析】（1）分04x<60,xN60兩種情況，結合利潤=銷售收入-總成本公式，口卩可求解.

（2）根據已知條件，結合二次函數的性質，以及基本不等式，分類討論求得最大值后比較

可得.

【詳解】（1）當04x<60時，

1,1,

y=400%——x2-360^-200=——x2+40x-200,

22

當xN60時，

y=400x-410x-^^+3000-200=-10x-+2800,

xX

--x2+40x-200,0<x<60

故y關于x的函數解析式為y={