高三下學期第一次階段性測試數學試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1．已知集合，，則（

）A．B．C． D．2．已知復數，其中為虛數單位，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，，且，則（

）A．2 B．3 C．4 D．4．曲線在點處的切線與直線平行，則（

）A． B． C．1 D．25．已知為等差數列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．6．已知雙曲線的離心率為，則其兩條漸近線所成的銳角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．從三個班級，每班隨機選派兩名學生為代表，這六名同學被隨機安排在一個圓桌會議室進行“深度學習與復習”座談，會議室的圓桌正有好有六個座位，則同一班級的兩名同學恰好被安排在一起相鄰而坐的概率為（

）A． B． C． D．8．趙爽是我國古代著名的數學家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”．亦稱“趙爽弦圖”．如圖1，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．我們通過類比得到圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，若圖2中，，則（

）

A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題，每小題5分，共15分。全部選對得5分，部分選對得部分分，有錯誤選項得0分）9．已知，則（

）A．B．C． D．10．如圖，正方體中，，P為線段上的動點，則下列說法正確的是（

）

A． B．平面C．三棱錐的體積為定值 D．的最小值為11．如圖，點是函數的圖象與直線相鄰的三個交點，且，則（

）A．B．C．函數在上單調遞減D．若將函數的圖象沿軸平移個單位，得到一個偶函數的圖像，則的最小值為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．在的展開式中的系數為.13．動點與兩個定點，滿足，則點到直線：的距離的最大值為.14．設函數的定義域為．若，則實數的取值范圍是．四、解答題（本大題共5題，共77分）15．（13分）（甲、乙兩支女子排球隊進行排球比賽，每場比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊先勝3局即獲勝，比賽結束），假設在每局比賽中，甲隊獲勝的概率為，乙隊獲勝的概率為，各局比賽的結果相互獨立．(1)求乙隊獲勝的概率；(2)設比賽結束時甲隊和乙隊共進行了局比賽，求隨機變量的分布列及數學期望．16．（15分）在遞增的等比數列中，，，為等差數列的前項和，，.（1）求、的通項公式；（2）求數列的前項和.17．（15分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD是菱形，是正三角形，，是AB的中點．

(1)證明：．(2)求二面角的余弦值．18．（17分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)設，過點作直線交橢圓于不同于的兩點，直線的斜率分別為，試問：是否為定值？若是，求出定值，若不是，請說明理由.19．（17分）已知函數的圖象在點（為自然對數的底數）處的切線的斜率為3.（1）求實數的值；（2）若對任意成立，求實數的取值范圍；（3）當時，證明：.參考答案：1．D【詳解】由，即，，.2．B【詳解】結合題意：，所以.3．A【詳解】由，，所以，因為，所以，得，所以。4．C【詳解】因為曲線在點處的切線與直線平行，故曲線在點處的切線的斜率為2，因為，所以，所以，5．B【詳解】設公差為d，由兩式作差可得，，故，由得1，故，故，所以.6．A【詳解】因為C的離心率為，所以它的漸近線方程為，即漸近線的斜率分別為，，即直線的傾斜角大于，則可取兩條漸近線上的向量，，漸近線所成的銳角即這兩個向量的夾角，.7．C【詳解】由題意可知，個元素圓桌環形排列的所有情況為，故所有的情況數是種，同一班級的兩名同學恰好排在一起相鄰而坐的情況數為：首先三個班的兩名同學捆綁，形成新的三個元素，環排共有種，又每個班兩名同學可以排序，則有種，同一班級的兩名同學恰好被安排在一起相鄰而坐的概率為.8．C【詳解】在中，，而，所以，，由正弦定理得，，即，解得，所以，在中由余弦定理，即，所以，，所以.9．AB【詳解】對A：由，故，則，即，故A正確；對B：由，且為定義域上的單調遞增函數，故，故B正確；對C：當，時，有，，此時，故C錯誤；對D：當，時，有，，此時，故D錯誤.10．ACD【詳解】對于A中，如圖（1）所示，在正方體中，連接，連接，在正方形中，可得，由平面，平面，所以，因為且平面，所以平面，又因為平面，所以，連接，同理可證平面，因為平面，所以，因為且平面，所以平面，因為平面，所以，所以A正確；對于B中，當點不與重合時，過點作，因為，所以，所以平面即為平面，如圖所示，在正方形中，與不垂直，所以與平面不垂直，所以B不正確不正確；對于C中，分別連接，在正方體，因為，平面平面，所以平面，同理可證：平面，因為且平面，所以平面平面，因為平面，所以平面，又因為是上的一動點，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，且為定值，因為的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以C正確；對于D中，將繞著展開，使得平面與平面重合，如圖（2）所示，連接，當為和的交點時，即為的中點時，即時，取得最小值，因為正方體中，，可得，，在等邊中，可得，在直角中，可得，所以的最小值為，所以D正確.

11．ACD【詳解】令得，或，，由圖可知：，，，所以，，所以，所以，故A選項正確，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B錯誤.當時，，因為在為減函數，故在上單調遞減，故C正確；將函數的圖象沿軸平移個單位得，（時向右平移，時向左平移），為偶函數得，，所以，，則的最小值為，故D正確.12．【詳解】結合題意可得：所以的系數為.13．【詳解】令，則，整理得，所以的軌跡是圓心為，半徑為2的圓上，又直線：可化為，易知過定點，由，故點在圓外，則圓心與定點所在直線與直線垂直，圓心與直線距離最大，所以點到直線距離的最大值為.14．【詳解】，即，令，則．令，則，則在上遞增，所以，即．所以原題等價于在上是增函數，所以在上恒成立，即對恒成立，而的值域是，所以．15．（1）由題意知，比賽三局且乙隊獲勝的概率，比賽四局且乙隊獲勝的概率為，比賽五局且乙隊獲勝的概率為，所以乙隊獲勝的概率為．（2）依題意隨機變量的可能取值為，，，則，，，所以隨機變量的分布列為345所以．16．（1）設遞增的等比數列的公比為，等差數列的公差為，因為，，所以，即，解得或（舍去），故，，因為，，所以，，，故，，（2）因為，所以，，則，，故，故.17．（1）

證明：取AD的中點，連接EF，PF，BD，因為是正三角形，所以．又平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD．因為平面ABCD，所以．因為是AB的中點，所以．又底面ABCD是菱形，所以，從而．因為，平面，所以平面PEF．因為平面PEF，所以．（2）解：連接BF，因為，所以是正三角形，所以．以F為坐標原點，FA，FB，FP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．令，則，，，則，．設平面CEP的法向量為，則，令，則，，得．由題可知，是平面ACE的一個法向量．，由圖可知，二面角為銳角，則二面角的余弦值為．18．（1）解：由已知得，，解得，則橢圓的方程為．（2）解：當直線的斜率不存在時，得，得當直線的斜率存在時，設直線的方程為，令由得則.………①，………②

而………③將