高中數學北師大版必修第一冊第1課時函數的單調性第二章函數3函數的單調性和最值課標闡釋思維脈絡1.理解函數單調性的概念.(數學抽象)2.會根據函數的圖象判斷函數的單調性.(直觀想象)3.能夠根據函數單調性的定義證明函數在某一區間上的單調性.(邏輯推理)激趣誘思我們知道,“記憶”在我們的學習過程中扮演著非常重要的角色,因此有關記憶的規律一直都是人們研究的課題.德國心理學家艾賓浩斯曾經對記憶保持量進行了系統的實驗研究,并給出了類似右圖所示的記憶規律.如果我們以x表示時間間隔(單位:h),y表示記憶保持量,則不難看出,圖中y是x的函數,記這個函數為y=f(x).這個函數反映出記憶具有什么規律?你能從中得到什么啟發?知識點撥一、增函數、減函數的定義

增函數減函數條件設函數y=f(x)的定義域是D:如果對于任意的x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)結論稱函數y=f(x)是增函數稱函數y=f(x)是減函數條件特別地,當I是定義域D上的一個區間時結論稱函數y=f(x)在區間I上單調遞增稱函數y=f(x)在區間I上單調遞減圖象特征自左向右圖象逐漸上升自左向右圖象逐漸下降名師點析x1,x2的三個特征:(1)同區間性,即x1,x2∈I;(2)任意性,即不可用區間I上的兩個特殊值代替x1,x2;(3)有序性,即需要區分大小,通常規定x1<x2.微練習若函數f(x)的定義域為(0,+∞),且滿足f(1)<f(2)<f(3),則函數f(x)在(0,+∞)上(

)A.為增函數B.為減函數C.先增后減D.單調性不能確定解析由于函數單調性的定義突出了x1,x2的任意性,所以僅憑區間內幾個有限的函數值的關系,是不能作為判斷單調性的依據的,故選D.答案D微拓展單調性的等價結論二、單調性、單調區間如果函數y=f(x)在區間I上單調遞增或單調遞減,那么就稱函數y=f(x)在區間I上具有單調性.此時,區間I為函數y=f(x)的單調區間.名師點析自變量的大小與函數值的大小關系:(1)若f(x)在區間I上單調遞增,則x1<x2?f(x1)<f(x2),x1>x2?f(x1)>f(x2).(2)若f(x)在區間I上單調遞減,則x1<x2?f(x1)>f(x2),x1>x2?f(x1)<f(x2).即可以利用單調遞增、單調遞減的定義實現自變量的大小關系與函數值的大小關系的直接轉化.微練習根據下圖寫出在每一單調區間上,函數是單調遞增還是單調遞減.解函數在[-1,0]上單調遞減,在[0,2]上單調遞增,在[2,4]上單調遞減,在[4,5]上單調遞增.微思考函數y=的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),能否說函數y=在區間(-∞,0)∪(0,+∞)上單調遞減?提示不能.不連續的單調區間必須分開寫,中間用“,”或“和”連接,不能用符號“∪”連接.如y=在區間(-∞,0)和(0,+∞)上單調遞減.探究一判斷函數的單調性1.利用圖象判斷函數的單調性例1根據函數圖象直觀判斷下列函數的單調性:(1)y=|x2+2x-3|;(2)y=-x2+2|x|+1.分析本題中所給出的兩個函數解析式中均含有絕對值,可以采取去絕對值的方法,將函數轉化為分段函數再畫出函數的圖象,也可以通過圖象變換得到函數圖象.通過圖象觀察判斷函數的單調性.解(1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.作出f(x)的圖象,保留其在x軸上及x軸上方部分,將位于x軸下方的部分翻折到x軸上方,得到y=|x2+2x-3|的圖象,如圖所示.由圖象可得原函數在區間[-3,-1]和[1,+∞)上單調遞增,原函數在區間(-∞,-3]和[-1,1]上單調遞減.函數圖象如圖所示,原函數在區間(-∞,-1]和[0,1]上單調遞增,在區間[-1,0]和[1,+∞)上單調遞減.反思感悟圖象法判斷函數單調性的注意點圖象法判斷函數的單調性主要用于常見函數(如一次函數、一元二次函數、反比例函數等)的單調性判斷,或應用于能通過常見函數圖象的平移、翻折等變換得到所給函數的圖象,從而進行單調性的判斷.變式訓練1已知x∈R,函數f(x)=x|x-2|,試畫出y=f(x)的圖象,并結合圖象判斷函數的單調性.圖象如右圖所示.由圖象可知,函數在區間(-∞,1],[2,+∞)上單調遞增;在區間[1,2]上單調遞減.2.利用單調函數的運算性質判斷函數的單調性

反思感悟利用單調函數的運算性質判斷函數單調性的思路當函數解析式通過變換、轉化之后,是由幾個基本函數的解析式構成的,則可分析這幾個基本函數的單調性,看是否符合單調函數運算性質的規律,若符合,可直接得出結論,否則,不能用這種方法判斷函數的單調性.此外,研究函數的單調性時,一定要堅持“定義域優先”的原則.探究二利用定義證明函數的單調性反思感悟利用定義法證明或判斷函數的單調性的步驟

特別提醒作差變形的常用技巧:(1)因式分解.當原函數是多項式函數時,作差后通常進行因式分解.(2)通分.當原函數是分式函數時,作差后往往進行通分,然后對分子進行因式分解.(3)配方.當所得的差式是含有x1,x2的二次三項式時,可以考慮配方,便于判斷符號.(4)分子有理化.當原函數是根式函數時,作差后往往考慮分子有理化.解任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2,探究三函數單調性的應用例4已知函數f(x)在區間(0,+∞)上單調遞減,試比較f(a2-a+1)與f的大小.分析要比較兩個函數值的大小,需先比較自變量的大小.解析因為函數f(x)在R上單調遞增,所以f(x)在(-∞,1)上單調遞增,故a>0.設y=ax-1,x∈(-∞,1),因為a>0,所以y<a-1.而當x≥1時,f(x)=x2+1單調遞增,且此時f(x)min=12+1=2,故只需a-1≤2,即a≤3即可.所以a的取值范圍是(0,3].答案(0,3]反思感悟1.利用函數的單調性可以比較函數值或自變量的大小.在利用函數的單調性比較函數值大小時,要注意將對應的自變量轉化到同一個單調區間內.2.利用函數的單調性解函數值的不等式就是利用函數在某個區間內的單調性,去掉對應關系“f”,轉化為自變量的不等式,此時一定要注意自變量的限制條件,以防出錯.3.由分段函數單調性求參數范圍時,一般從兩個方面思考:一方面每個分段區間上函數具有相同的單調性,由此列出相關式子;另一方面是考慮端點處的銜接情況,由此列出另一相關式子,求解即可.變式訓練4已知函數g(x)的定義域是[-2,2],且在[-2,2]上單調遞增,g(t)>g(1-3t),求t的取值范圍.素養形成復合函數單調性的判斷對于復合函數f(g(x)),設t=g(x)在區間[a,b]上是單調函數,且y=f(t)在區間[g(a),g(b)]或區間[g(b),g(a)]上也是單調函數,那么f(g(x))在區間[a,b]上的單調性如何呢?下面我們來探討一下.(1)若t=g(x)在區間[a,b]上單調遞增,且y=f(t)也單調遞增:任取x1,x2∈[a,b],x1<x2,因為t=g(x)在區間[a,b]上單調遞增,所以g(x1)<g(x2),又y=f(t)也單調遞增,所以有f(g(x1))<f(g(x2)),則根據增函數的定義知f(g(x))在區間[a,b]上單調遞增.(2)若t=g(x)在區間[a,b]上單調遞增,y=f(t)單調遞減:任取x1,x2∈[a,b],x1<x2,因為t=g(x)在區間[a,b]上單調遞增,所以g(x1)<g(x2),又y=f(t)單調遞減,所以有f(g(x1))>f(g(x2)),則根據減函數的定義知f(g(x))在區間[a,b]上單調遞減.類似地,我們不難發現:當t=g(x)在區間[a,b]上單調遞減,且y=f(t)單調遞增時,則f(g(x))在區間[a,b]上單調遞減;當t=g(x)在區間[a,b]上單調遞減,且y=f(t)單調遞減時,則f(g(x))在區間[a,b]上單調遞增.根據上面的探討,y=f(g(x))在區間[a,b]上的單調性如下表所示,簡記為“同增異減”.t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增減減減增減減減增若一個函數是由多個基本函數復合而成的,則此復合函數的單調性由基本函數中減函數的個數決定.若減函數有偶數個,則這個復合函數為增函數;若減函數有奇數個,則這個復合函數為減函數.典例已知函數f(x)在定義域[0,+∞)上單調遞減,則f(1-x2)的單調遞減區間為

.

解析∵f(x)的定義域為[0,+∞),∴1-x2≥0,即x2≤1,解得-1≤x≤1.令u=1-x2(u≥0),則f(1-x2)=f(u).當x∈[0,1]時,u=1-x2單調遞減,則f(1-x2)單調遞增;當x∈[-1,0]時,u=1-x2單調遞增,則f(1-x2)單調遞減.故f(1-x2)的單調遞減區間為[-1,0].答案[-1,0]要點筆記對于復合函數y=f(g(x)),把函數y=f(g(x))通過中間變量t分解為兩個函數:外層函數y=f(t)和內層函數t=g(x),內層函數的值域是外層函數定義域的子集.要先確定復合函數的定義域,再確定單調區間.當堂檢測1.若函數y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是減函數,則實數k的取值范圍是(

)解析當2k+1<0,即k<-時,函數y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是減函數.答案D2.函數y=f(x),x∈[-4,4]的圖象如圖所示,則函數y=f(x)的所有單調遞減區間為(

)A.[-4,-2] B.[1,4]C.[-4,-2]和[1,4] D.[-4,-2]∪[1,4]答案C3.若函數f(x)=x2+3ax+5在區間(-∞,5)上單調遞減,則實數a的取值范圍是(

)答案A4.下列函數不在區間(0,+∞)上單調遞增的是(

)A.y=2x+1 B.y=3x2+1C.y=

D.y=|x|解析由一次函數、一元二次函數、反比例函數及y=|x|的圖象與性質知,只有選項C中的函數符合題意.故選C.答案C5.已知函數f(x)是定義在區間[-1,1]上的增函數,且f(x-2)<f(1-x),則x的取值范圍為

.

高中數學北師大版必修第一冊第2課時函數的最值第二章函數3函數的單調性和最值課標闡釋思維脈絡1.理解函數的最大值和最小值的概念及其幾何意義.(數學抽象)2.能借助函數的圖象和單調性,求一些簡單函數的最值(或值域).(直觀想象)3.能利用函數的最值解決有關的實際應用問題.(數學建模)激趣誘思某超市銷售一種飲料,每瓶進價為9元,經市場調查表明,當售價在10元到14元之間(包含10元,14元)浮動時,每瓶飲料售價每增加0.5元,日均銷售量減少40瓶;當售價為每瓶12元時,日均銷售量為400瓶.那么當銷售價格定為每瓶多少元時,所得日均毛利潤最大?最大日均毛利潤是多少元?同學們,你能幫助超市完成定價嗎?知識點撥函數的最值1.定義名稱前提條件圖象函數的最大值M設函數y=f(x)的定義域是D.若存在實數M,對所有的x∈D都有f(x)≤M且存在x0∈D,使得f(x0)=M函數的最大值對應其圖象最高點的縱坐標函數的最小值M都有f(x)≥M函數的最小值對應其圖象最低點的縱坐標2.函數的最大值和最小值統稱為最值.名師點析函數的最值和值域的聯系與區別(1)聯系:函數的最值和值域反映的都是函數的基本性質,針對的是整個定義域.(2)區別:①函數的值域一定存在,而函數的最大(小)值不一定存在;②若函數的最值存在,則最值一定是值域中的元素;③若函數的值域是開區間(兩端點都取不到),則函數無最值;若函數的值域是閉區間,則閉區間的端點值就是函數的最值.微思考若函數y=f(x)是定義在區間[a,b]上的增(或減)函數,這個函數有最值嗎?如果是區間(a,b)呢?提示若y=f(x)是定義在區間[a,b]上的增函數,則其最小值為f(a),最大值為f(b);若為減函數,最大值為f(a),最小值為f(b).若為區間(a,b),則沒有最值,但可以說值域為(f(a),f(b))(或f(b),f(a)).微練習已知函數f(x)在[-2,2]上的圖象如圖所示,則該函數的最小值、最大值分別是(

)A.f(-2),0

B.0,2C.f(-2),2 D.f(2),2解析由題圖可知,該函數的最小值為f(-2),最大值為f(1)=2.答案C探究一利用函數的圖象求最值例1已知函數y=-|x-1|+2,畫出函數的圖象,確定函數的最值情況,并寫出值域.分析去絕對值→分段函數→作圖→識圖→結論由圖象知,函數y=-|x-1|+2的最大值為2,沒有最小值.所以其值域為(-∞,2].反思感悟圖象法求最值的基本步驟

(1)畫出f(x)的圖象;(2)利用圖象寫出該函數的最大值和最小值.解(1)函數f(x)的圖象如圖所示.(2)由圖象可知f(x)的最小值為f(1)=1,無最大值.探究二利用函數的單調性求最值例2已知函數

(1)判斷f(x)在區間[1,2]上的單調性;(2)根據f(x)的單調性求出f(x)在區間[1,2]上的最值.分析(1)證明單調性的流程:取值→作差→變形→判斷符號→結論;(2)借助最值與單調性的關系,寫出最值.解(1)任取x1,x2∈[1,2],且x1<x2,∵x1<x2,∴x1-x2<0.當1≤x1<x2≤2時,x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0.∴f(x1)>f(x2),即f(x)在區間[1,2]上單調遞減.(2)由(1)知f(x)的最小值為f(2),f(2)=2+=4;f(x)的最大值為f(1),f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值為4,最大值為5.反思感悟函數的最值與單調性的關系(1)若函數f(x)在區間[a,b]上單調遞增(或單調遞減),則f(x)在區間[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函數f(x)在區間[a,b]上單調遞增(或單調遞減),在區間(b,c]上單調遞減(或單調遞增),則f(x)在區間[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個.(3)若函數f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的線,則函數f(x)在區間[a,b]上一定有最值.(4)求最值時一定要注意所給區間的開閉,若是開區間,則不一定有最大(小)值.延伸探究本例已知條件不變,判斷f(x)在區間[1,3]上的單調性,并求f(x)在區間[1,3]上的最值.解任取x1,x2∈[1,3],且x1<x2,由本例知,f(x1)-f(x2)=.當1≤x1<x2≤2時,f(x1)>f(x2),f(x)在區間[1,2]上單調遞減;當2<x1<x2≤3時,x1x2>0,4<x1x2<9,即x1x2-4>0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在區間(2,3]上單調遞增.探究三與最值有關的應用問題例3某租賃公司擁有汽車100輛,當每輛車的月租金為3000元時,可全部租出,當每輛車的月租金每增加50元時,未租出的車將會增加一輛,租出的車每輛每月需要維護費150元,未租出的車每輛每月需要維護費50元.(1)當每輛車的月租金為3600元時,能租出多少輛?(2)當每輛車的月租金為多少元時,租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?分析讀題→提取信息→建模→解模→解決實際問題所以當x=4050,即每輛車的月租金為4050元時,租賃公司的月收益最大,最大月收益是307050元.反思感悟1.本題建立的是一元二次函數模型,應利用配方法求函數的最值.2.解函數應用題的一般步驟是:(1)審題.弄清題意,分清條件和結論,理順數量關系.(2)建模.將文字語言轉化成數學語言,用數學知識建立相應的數學模型.(3)求模.求解數學模型,得到數學結論.(4)還原.將用數學方法得到的結果還原為實際問題的結論.(5)反思回顧.對于數學模型得到的數學解,必須驗證這個數學解對實際問題的合理性.變式訓練2某公司生產一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產一臺儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數:R(x)=其中x(單位:臺)是儀器的產量.(1)將利潤表示為產量的函數f(x);(2)當產量為何值時,公司所獲利潤最大?最大利潤為多少元?(總收益=總成本+利潤)當x>400時,f(x)=60000-100x單調遞減,f(x)<60000-100×400<25000.∴當x=300時,f(x)max=25000.即產量為300臺時利潤最大,最大利潤為25000元.素養形成利用數形結合思想與分類討論思想求一元二次函數的最值典例求函數y=x2-2ax-1在區間[0,2]上的最值.分析可變對稱軸x=a→與定區間[0,2]的相對位置關系→結合單調性與圖象求解解y=(x-a)2-1-a2.當a<0時,函數在[0,2]上單調遞增,如圖①.故函數在x=0處取得最小值-1,在x=2處取得最大值3-4a.當0≤a≤1時,結合函數圖象(如圖②)知,函數在x=a處取得最小值-a2-1,在x=2處取得最大值3-4a.當1<a≤2時,結合圖象(如圖③)知,函數在x=a處取得最小值-a2-1,在x=0處取得最大值-1.當a>2時,函數在區間[0,2]上單調遞減,如圖④.函數在x=0處取得最大值-1,在x=2處取得最小值3-4a.綜上,當a<0時,函數在區間[0,2]上的最小值為-1,最大值為3-4a;當0≤a≤1時,函數在區間[0,2]上的最小值為-a2-1,最大值為3-4a;當1<a≤2時,函數在區間[0,2]上的最小值為-a2-1,最大值為-1;當a>2時,函數在區間[0,2]上的最小值為3-4a,最大值為-1.反思感悟1.探求一元二次函數在給定區間上的最值問題,一般要先作出y=f(x)的圖象,再根據函數的單調性進行研究.特別要注意一元二次函數圖象的對稱軸與所給區間的位置關系,它是求解一元二次函數在已知區間上最值問題的主要依據.一元二次函數圖象的對稱軸與所給區間的位置關系通常有三種:(1)對稱軸在所給區間的右側;(2)對稱軸在所給區間的左側;(3)對稱軸在所給區間內.2.對于一元二次函數f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在區間[m,n]上的最值可作如下討論:對稱軸x=h與[m,n]的位置關系f(x)的單調性最大值最小值h<m在[m,n]上單調遞增f(n)f(m)h>n在[m,n]上單調遞減f(