專題01子集、交集、并集、補(bǔ)集之間的關(guān)系式-

【二級(jí)結(jié)論速解】備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)高效速解突

破技巧

專題01子集、交集、并集、補(bǔ)集之間的關(guān)系式

一、結(jié)論

1、子集、交集、并集、補(bǔ)集之間的關(guān)系式：

Nq8=Zn8=〃=/U8=8=〃nG8=0=GZU8=/（其中/為全集）

（1）當(dāng)/=8時(shí)，顯然成立

（2）當(dāng)青8時(shí)，聲〃〃圖如圖所示，結(jié)論正確.

2、子集個(gè)數(shù)問題：若一個(gè)集合/含有“（〃wND個(gè)元素，則集合/的子集有2"個(gè)，非空子集有2"-1

個(gè).

真子集有2"-1個(gè)，非空真子集有2"-2個(gè).

理解Z的子集有2"個(gè)，從每個(gè)元素的取舍來理解，例如每個(gè)元素都有兩種選擇，則”個(gè)元素共有2”種選

擇，該結(jié)論需要掌握并會(huì)靈活應(yīng)用.

二、典型例題（高考真題+高考模擬）

例題1.（2023?山東?濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)集合〃={XWZ|X2<100<2、},則M的所有子集的

個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.8D.16

例題2.(2022?吉林長春?長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/㈤」制:；)的定義域?yàn)?/p>

集合A,關(guān)于x的不等式“x-2a+140(“w0)的解集為8.

⑴當(dāng)”1時(shí)，求(qZ)U8；

(2)若是xeQZ的充分條件，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

例題3.(2022?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測)設(shè)全集U=R,集合/={X|2X2-9X+4W0},

8={X[2-QVX<Q}.

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求。八406)；

(2)若4口8=力，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

例題4.(2022?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知集合4={x|a<x<a+3},B={x\x<-2^x>6}.

(1)若4c6=0,求。的取值范圍；

(2)若4uB=B,求。的取值范圍.

三、針對(duì)訓(xùn)練舉一反三

一、單選題

1.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考一模）滿足等式{0,1}UX={X€R,=X}的集合“共有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.（2023?內(nèi)蒙古赤峰,統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合月=卜：<11,8=k.-2》-34（）},則（）

A.{x|l<x<3|B.{鄧4x43或-14x<0}

C.1x|-l<x<0}D,卜口<x43或-14x<O}

3.（2023?全國?模擬預(yù)測）集合A/={x|x2-4x+340,xeR},N={x|ox-1>0,xeZ},若集合McN只有

一個(gè)子集，則。e（）

A.（1,+℃）B.,+°ojC.（―8,§D.（―℃>,1]

4.（2023?湖南?模擬預(yù)測）已知集合/=卜|"2<工<4+3},8=何（》-1加-4）>0},若NuB=R,則a的

取值范圍是（）

A.（-%1）B.（1,3）C.[1,3]D.[3,+a>）

5.（2023,甘肅?模擬預(yù)測）已知全集。=R,集合M={X|-24X43},N={x\x<-2^x>4},那么集合

（C。M）c（CuN）等于

A.{x13<x<4}B.{x|x<>4}C.{x|3<x<4}D.{x|-l<x<3}

6.（2022?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知非空集合/={x|/（x）Wa},5={x"（/（x））4a},aeR,其中

/（力=》2-3工+3,若滿足5U人貝心的取值范圍為（）

"21A1]3A

A.[3,+8）B.（-ao,l]u[3,+oo）C.—,+<?ID.—,+<?I

7.（2022?陜西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合/={x|Y-3x-4=0},B={x\a<x<a1},若Nc8=0,則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是（）

A.B.[4,+a>）C.（-oo,-l）u（2,4）D.[-l,2]o[4,+co）

8.（2022?江蘇南京?南京市第一中學(xué)校考三模）非空集合力="€"|0<工<3},

B={yEN\y2-my+\<0,meR},A[}B=A{3B,則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）

9.（2022?山西朔州?統(tǒng)考三模）己知集合[={xeZ,<3},B=^xa<x<a+^,若/cB有2個(gè)元素，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.[I,—）B.1卻卜[T，0）51,+8）D.1

10.（2022?江蘇鹽城?江蘇省濱海中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知集合上{2,-2},S=（x|x2-ax+4=0},若

=則實(shí)數(shù)。滿足（）

A.{a|-4<a<4}B.{a\-2<a<2\C.{-4,4}D.{a\-4<a<4]

11.（2022?安徽合肥?合肥市第八中學(xué)校考模擬預(yù)測）己知集合4={xlX2-3X+2=0},

3={X[0<X<6,X€N},則滿足條件A口Cq8的集合C的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

12.（2022?陜西渭南?統(tǒng)考一模）已知集合/={X|X2-X-1240},B={x\2m-l<x<m+i]=B,則

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.[-1,2）B.[-1,3]C.[-2,+8）D.[-1,+8）

二、填空題

13.（2023?上海靜安?統(tǒng)考一模）己知全集為實(shí)數(shù)集R,集合“=卜|、422"256},

N={x|logs（x2-4x）>1},則kcN=.

14.（2023?上海閔行?上海市校考模擬預(yù)測）設(shè)已知集合/={1,3,。},8={1,/-。+1},且8^/1,

則".

15.（2022?上海金山?統(tǒng)考一模）若集合4={（x））|（x+y）2+x+y-240},

B={（x,^）|（x-?/+（jv-2?-1）2<a2-1},且ZC8W0,則實(shí)數(shù)0的取值范圍是.

三、解答題

16.（2022?河南鄭州?鄭州外國語學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合

A—>1|,fl=|x||2x-13|<7|,C=<a}.

⑴求山民（露加8；

⑵若4CCH0,求。的取值范圍.

專題01子集、交集、并集、補(bǔ)集之間的關(guān)系式

一、結(jié)論

1、子集、交集、并集、補(bǔ)集之間的關(guān)系式：

418=Zn3=/=NU8=8=/nG8=0=GZU8=/（其中/為全集）

（1）當(dāng)/=8時(shí)，顯然成立

（2）當(dāng)”8時(shí)，ue〃”圖如圖所示，結(jié)論正確.

2、子集個(gè)數(shù)問題：若一個(gè)集合/含有〃（“wND個(gè)元素，則集合/的子集有2"個(gè)，非空子集有2”-1

個(gè).

真子集有2"-1個(gè)，非空真子集有2"-2個(gè).

理解Z的子集有2"個(gè)，從每個(gè)元素的取舍來理解，例如每個(gè)元素都有兩種選擇，則〃個(gè)元素共有2”種選

擇，該結(jié)論需要掌握并會(huì)靈活應(yīng)用.

二、典型例題（高考真題+高考模擬）

例題1.（2023?山東?濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)集合〃={XWZ|X2<100<2、},則/的所有子集的

個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.8D.16

【答案】C

【詳解】解：解不等式偏<100得-10<x<10,

解不等式100<2,得才>1。82100,

67

i^log22<log2100<log22,

2V

所以，M=[x&7\x<100<2}={XGZ|log2100<x<10}={7,8,9},

所以，川的所有子集的個(gè)數(shù)為2?=8個(gè).

故選：C

【反思】本題考查子集的概念，不等式.本題在求集合個(gè)數(shù)時(shí)，先求出集合〃中的元素個(gè)數(shù)，再根據(jù)集合

元素的個(gè)數(shù)利用公式子集的個(gè)數(shù)為2"個(gè)得到結(jié)論.

例題2.(2022?吉林長春?長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(X)」第二：)的定義域?yàn)?/p>

集合A,關(guān)于x的不等式以-2a+140(“w0)的解集為8.

⑴當(dāng)”1時(shí)，求低力U8；

(2)若是xeQZ的充分條件，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【答案】⑴(4力U8={小41或x23}.

(2)[T,0)U(0,；

“、logd(3—x)f3—x>0

(1)解：要使函數(shù)〃x)=片/有意義,則°,C，解得-2<x<3,

，2x+4[2x+4>0

所以“={x|-2<x<3},所以44={x|x4-2或x23},

iCRA

當(dāng)a=l時(shí),5={x|x<l},

所以(Q/"8={x|x41或x23}.

B

c#___________________________CRA

(2)解：由⑴得"={x|-2<x<3},Q/={x|xW-2或x23}

因?yàn)槭堑某浞謼l件，則8=4工，

①當(dāng)4>0時(shí)，5=jx|x<2—]=則2—<—2,所以0<a4：：

aIa4

-2

②當(dāng)"0時(shí)，8=,則2-。1之3,所以—14口<0；

綜上所述，實(shí)數(shù)0的取值范圍是[T,0)U(0，5.

【反思】對(duì)于本例第1問，可以通過借助數(shù)軸，畫出對(duì)應(yīng)范圍，結(jié)合圖形求交集，并集，補(bǔ)集，注意端點(diǎn)

處是實(shí)心還是對(duì)應(yīng)空心.

對(duì)于本例第2問，由于集合8表示ax-2a+140(ax0)的解集，需要討論①。〉0,②。<0,再結(jié)合數(shù)軸求

解.

例題3.(2022?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測)設(shè)全集t/=R,集合/={X|2X2-9X+440},

B={x[2-a<x<a}.

⑴當(dāng)4=2時(shí)，求C0(Zu8)；

(2)若4口8=/，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【答案】⑴(_8,0]34，+8)

⑵(4,+oo)

⑴解：當(dāng)“=2時(shí)，8={x[0<x<2},A=^x\2x2-9x+4<0}=Ix|(x-4)(2x-l)<0|=<x<41

所以/U8=(O,4]

又全集U=R

所以「,(1118)=(-哂0]U(4,+8)

(2)解：由(1)知，4=卜B=[y\2-a<x<a\

由/口8=4可得：A=B,則

B

2-a

2-〃<5,解得:

a>4

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為：a?4,+oo)

【反思】對(duì)于本例第2問，由=/=4=利用數(shù)軸得到變量的取值范圍.

例題4.(2022?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知集合Z={xla4x4a+3},8={x|x4-2或xN6}.

(1)若4cB=0,求。的取值范圍；

⑵若AuB=B,求a的取值范圍.

【答案】(1)-2<a<3；(2)a<-5^a>6.

【詳解】(1)因?yàn)榧?={x|aVx4a+3},8={x|x4-2或x?6},且/c8=0,

(a>—2

所以、，，解得-2<a<3；

a+3<6

￡7+36

(2)因?yàn)?口8=8,所以4勺8,

因?yàn)椤?lt;。+3恒成立，所以/W0,

所以。+32或。26,

解得aW-5或a26.

BAB

a+3

【反思】本例第2問中，AuB=B=A=B,解題時(shí)注意討論①/=0,②.再借助數(shù)軸解題.

三、針對(duì)訓(xùn)練舉一反三

一、單選題

1.（2023廣東深圳?統(tǒng)考一模）滿足等式{0,1}。X=卜€(wěn)昨3=》}的集合、共有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【詳解】解：方程的實(shí)數(shù)根有x=O,x=l,x=-l,解集構(gòu)成的集合為{0,1,7},

即{0,1}UX={0,1,-1},則符合該等式的集合丫為萬={-1},X={0,l},X={0,-l},X={0,l,-l},

故這樣的集合X共有4個(gè).

故選：D.

2.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合力=卜,<1}，8=卜卜2-2》-3叫，則（）

A.{x|l<x<3|B.{x“4x43或-14x<0}

C.1x|-l<x<0|D.{x[l<x43或-14x<0}

【答案】D

[詳解】集合A=卜上<11=卜,（0或x〉l},5={X|X2-2X-3<0）={X|-1<X<3）.

所以/仆8={x[l<x43或-14x<0}.

故選：D

3.（2023,全國?模擬預(yù)測）集合M={x|x2_4x+340,xeR},N={x|依-1>O,xeZ},若集合McN只有

一個(gè)子集，則“e（）

A.（1,+8）B.（；，+8）C.18,gD.

【答案】C

【詳解】由"={x|x?-4X+340,XGR}得A/={x|14x43},

又汽={x|ax-l>O,xeZ}且集合McN只有一個(gè)子集，則A/cN=0.

當(dāng)。=0時(shí)，集合汽=0,則滿足McN=0,滿足題意；

當(dāng)。<0時(shí)，集合N={x|ax-l>O,xeZ}={x|x<：,xez},則滿足McN=0,滿足題意；

當(dāng)”>0時(shí)，集合N={x|ax-1>0,xeZ}={x|x>1,xez),若滿足A/cN=0,則：N3,0<a<1.

綜上，則有

故選：C

4.(2023?湖南?模擬預(yù)測)已知集合/=卜,-2<工<.+3},8=卜|(》-1)口-4)>0},若AuB=R,則”的

取值范圍是()

A.(-8,1)B.(1,3)C.[1,3]D.[3,”)

【答案】B

[詳解]因?yàn)?=卜卜_1)(》_4)>0}=,k<]或x>4},A=[x\a-2<x<a+3]

又Zu8=R,

ftz-2<1

所以只需{,.解得

[a+3>4

故選：B.

5.(2023?甘肅?模擬預(yù)測)已知全集。=1<,集合M=*|-24x43},N={x\x<-2^x>4}9那么集合

C，M)c(CuN)等于

A.{x13<x<4}B.{x|x<>4}C.{x13<x<4}D.{x|-l<x<3}

【答案】A

【詳解】={x|x<-2或x>3},C"N={x|-24x44},

.?.(Ct,M)n(Cy?/)={x|3<x<4}.

故選A.

6.(2022?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知非空集合/={x|/(x)4a},8={x]/(/(x))4a},aeR,其中

/(x)=f—3x+3,若滿足8=/,則a的取值范圍為()

A.[3,+00)B.(-a>,l]u[3,+oo)C.得收)D.^,+00]

【答案】A

【詳解】A={x\x2-3x+3<a],

因?yàn)锳非空，故可設(shè)4={x|再4x4%}，則x”當(dāng)為方程/-3x+3-a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

設(shè)g(x)=x2-3x+3-a,

又8={x|X1</(x)<x,}c{x|x1<%<%,),

A=9-4(3-a)>0

3

因?yàn)?u4，故々4a,所以，a>—，解得a>3.

2

a2-3a-^3-a>0

故選：A.

7.(2022?陜西?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知集合/={x|》2-3x-4=0),B={x\a<x<a2},若力c8=0,則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是()

A.(-oo,-l]B.[4,+oo)C.(-oo,-l)u(2,4)D.[-l,2]u[4,+oo)

【答案】D

【詳解】解:由題知4={X|X2-3X-4=0}={-I,4},

因?yàn)?c3=0,

2

所以，當(dāng)8=k|4<、<。2}=0時(shí)，a>af解得OWaWl,

a2<4,

(q>4

當(dāng)3={x[a<x<a2}#0時(shí)，心-1或J"〉/解得ae[T0)U(l,2]U[4,+8),

a2>a1

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是11,2]口[4,+8).

故選：D

8.(2022?江蘇南京?南京市第一中學(xué)校考三模)非空集合力={xeN[0<x<3},

B={yGN\y2-my+\<0,meR},/仆8=/118,則實(shí)數(shù)”?的取值范圍為()

(510121712101(517'

123JI4JI3J124J

【答案】A

【詳解】解：由題知/={xeN|0<x<3}={l,2},

因?yàn)閆n8=/U8,所以/=8,

所以8={yeN一叼+1<0,meR}={1,2},

故令函數(shù)/(x)=x2-加x+1,

所以，如圖，結(jié)合二次函數(shù)的圖像性質(zhì)與零點(diǎn)的存在性定理得:

7(3)>0[10-3*0

</(2)<0,即5-2加<0,解得9<加工12,

/(1)<02-w<0

所以，實(shí)數(shù)”?的取值范圍為他與.

故選：A

9.（2022?山西朔州?統(tǒng)考三模）已知集合力={xeZ,<3},8=卜<x<a+g},若有2個(gè)元素,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

B.1~1'。卜.’T，0)D(L+8)D.

【答案】D

【詳解】解：因?yàn)楣?卜€(wěn)2,2<3}={_1,0/},B=Ua<x<a+^

a<-\-1<<0

若Zc8有2個(gè)元素，則〈0<“+乜1或'3?，解得一二<。<一1或一不<。<0，

a+->l22

22

所以，實(shí)數(shù)”的取值范圍是

故選：D.

10.（2022?江蘇鹽城?江蘇省濱海中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知集合上任，-2},5=1,7+4=0},若

=則實(shí)數(shù)。滿足（）

A.{a|-4<a<4}B.{a\-2<a<2\C.{-4,4}D.{fl|-4<a<4}

【答案】D

【詳解】因?yàn)?口8=/，所以8。4,當(dāng)5=0時(shí)，△=/一16<0，即-4<a<4,滿足題意；

當(dāng)3x0時(shí)，若△=/-16=0，則a=-4或4,當(dāng)a=-4時(shí)，B={-!],滿足題意；當(dāng)。=4時(shí)，8={2},

滿足題意；

若公=片-16>0，貝以2,2是方程/-辦+4=0的兩根，顯然-2x2=-4x4,故不合題意,

綜上：實(shí)數(shù)a滿足{a|-44a44}.

故選：D

11.（2022?安徽合肥?合肥市第八中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知集合/={x|f-3x+2=0},

B={X\0<X<6,XGN},則滿足條件AiC=8的集合C的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】C

【詳解】因?yàn)椤?{x|X2-3X+2=0}={1,2},8={x|0<x<6,xeN}={l,2,3,4,5},

且AC三B

所以集合C的個(gè)數(shù)為2,-1=7

故選：C

12.（2022?陜西渭南?統(tǒng)考口模）已知集合/={X|X2-X-12V0},5={x|2m-l<x<m+l}.且“模8=8,則

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.[-1,2）B.[-1,3]C.[-2,+8）D.[-1,+8）

【答案】D

【詳解】由》2-1240,得-34x44.

即/=[-3,4].

由力=即

當(dāng)夕=。時(shí)，滿足條件，則2w-1>m+1解得m>2.

〃？+1>2ni-1

當(dāng)5工。時(shí)，要使得8=4,則2加一12-3.

+1<4

解得：一1?加<2.

綜上滿足條件的用的范圍是：〃?之T.

故選：D.

二、填空題

13.（2023?上海靜安?統(tǒng)考一模）已知全集為實(shí)數(shù)集R,集合22*42561,

2

Af={x|log5（x-4x）>1},則而cN=.

【答案】（-8,-2）=（5,+8）

【詳解】不等式2422,4256可整理為y442獲42%所以-442x48,解得-24x44,所以

M={x\-2<x<4|,M={x[x<-2或x>4},

不等式1。85卜2-4耳>1可整理為1。85卜2—4》）>1。855,所以X2-4X>5,HP（x-5）（x+l）>0,解得x<-l或

x>5,所以N={x[x<-1或x>5},A/nN=（-8,-2）U（5,+8）.

故答案為：（-00,-2）U（5,+00）,

14.（2023?上海閔行?上海校考模擬預(yù)測）設(shè)已知集合力={1,3,48={1,“2-。+1},且Bq/,

貝.

【答案】-1或2

【詳解】丁8q4，/一。+1=3或/一〃+1=〃.

①由T—a+1=3得〃2—。—2=0解得。=—1或。=2,當(dāng)〃=—1時(shí)，[={1,3,—1},5={1,3},滿足8=4,

當(dāng)。=2