第04講雙曲線

知識點1雙曲線的定義言【知識梳理】

把平面內與兩個定點尸1,尸2的距倍_______，于|尸/2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這

兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.

注：1、集合語言表達式

雙曲線就是下列點的集合:P^{M\\\MFl\-\MF21|=2a,O<2a<|耳工|}.常數要小于兩個定點的距離.

2、對雙曲線定義中限制條件的理解

⑴當IIMFiLIM尸2||=2“>四尸2|時，”的軌跡不存在.

⑵當一|Mb2ll=2a=|尸建2|時，M的軌跡是分別以耳，三為端點的兩條射線.

⑶當IIMF1I—|Mb2||=0,即尸2|時，M的軌跡是線段FiB的垂直平分線.

(4)若將定義中的絕對值去掉，其余條件不變，則動點的軌跡為雙曲線的一支.具體是哪一支，取決于1班1

與1"1的大小.

①若|MF,\>\MF21,則I州I—Ig|〉0,點〃的軌跡是靠近定點F2的那一支;

②若|MFX|<|MF?|,則|MF。ITA/月|>0,點M的軌跡是靠近定點耳的那一支.

知識點2雙曲線的標準方程及簡單幾何性質

y2x2

1砂一戶=1

標準方程a

（?>0,方>0）（a>0,b>0）

圖形

焦點■l（—c,0）,1z（c,0）耳(10,-°),尸2(。，c)

性質焦距—l=2c

范圍xW—〃或x^a,yWRyW-a或

對稱性對稱軸：坐標軸;對稱中心：原點

頂點A］（-a,0）,A，4,。）A1（0,-a）,。2（°，〃）

實軸：線段逛上，長：2a；

軸

虛軸：線段坨為，長：2b；

半實軸長：a,半虛軸長：b

離心率e=，(L+8)

ba

漸近線產土孑尸土講

注：(1)在雙曲線的標準方程中，看f項與V項的系數的正負：若X2項的系數為正，則焦點在X軸上；若

產項的系數為正，則焦點在y軸上，即“焦點位置看正負，焦點隨著正的跑”.

(2)已知雙曲線的標準方程，只要令雙曲線的標準方程中右邊的“1”為“0”就可得到漸近線方程.

(3)與雙曲線^一本=1(。>0，6>0)有共同漸近線的方程可表示為a一l

(4)雙曲線的焦點到其漸近線的距離為反

(5)雙曲線與橢圓的標準方程可統一為4/+8產=1的形式，當A>0,B>0,44B時為橢圓，當A8<0

時為雙曲線.

知識點3雙曲線的焦點三角形

雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形稱為焦點三角形.解決焦點三角形問題常利用雙曲線的定義

和正弦定理、余弦定理.

2

X丫2

以雙曲線=一3=1(。〉0］〉0)上一點尸(xo,yo)UoWO)和焦點Fi(-c,0),入伍,。)為頂點的△「尸1尸2

a"b

中，若/尸IPF2=0,則

⑴雙曲線的定義：||P耳|-|相||=2a

22

⑵余弦定理：|耳工『=|PFi|+|PF2|-2|PFI||PF2|-COS0.

(3)面積公式：SAPFIF2=；|PgIIP尸2卜sin0,

重要結論：SAPFIF2=---萬

C7

tan—

2

推導過程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1F+|PF2|2-2|PF1||PF2卜COS0得

由三角形的面積公式可得

SAPFIF2=—IP^||PF^|sin0

2-

2

-?———?sin8=/‘in"=已22b

21-cos01-cos02sin^e

tan一

22

知識點4等軸雙曲線和共朝雙曲線

1.等軸雙曲線

(1)實軸與虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，等軸雙曲線的一般方程為5—攝=1或營一\=1(。>0).

(2)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，漸近線方程為y=±x,離心率e=dl

(3)等軸雙曲線的方程=入，

2.共甄雙曲線

以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，與原雙曲線是一對共扼雙曲線.其性質如下：

(1)有相同的漸近線；

(2)有相同的焦距；

(3)離心率不同，但離心率倒數的平方和等于常數1.

知識點5直線與雙曲線的位置關系

1、把直線與雙曲線的方程聯立成方程組，通過消元后化為ax^+bx+c^的形式，在“W0的情況下考察

方程的判別式.

(1)/>0時，直線與雙曲線有兩仝不同的公共點.

(2)/=0時，直線與雙曲線只有二個公共點.

(3)/<0時，直線與雙曲線沒直公共點.

當。=0時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個公共點.

注：直線與雙曲線的關系中：一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支.

2、弦長公式

直線被雙曲線截得的弦長公式，設直線與雙曲線交于4>i，%),5(%，%)兩點，則

(左為直線斜率)

3、通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于A、B兩點,則弦長|A5|=空.

考Qx【考點剖析】程

22

1.(2023春?河北邯鄲?高二校考階段練習)已知雙曲線二-匕=1的一個焦點是(0,2),則實數，"的值是()

m3m

A.1B.-1C.—叵D.叵

55

【答案】B

【分析】先根據焦點坐標判斷焦點所在軸,再由片+〃=C2計算即可.

【詳解】由焦點坐標，知焦點在y軸上，所以

22

可得雙曲線的標準方程為W——-=1,

-3m-m

由。2+》2=/可得—僧—3機=4,可得機=—1.

故選:B.

22

2.（2023春?北京豐臺?高二北京豐臺二中校考階段練習）雙曲線過點（④，指），且離心率為立,

則該雙曲線的標準方程為（）

A.x2-y2=1B.x2-^=l

3

C.y2-x2=lD.=1

'24

【答案】C

【分析】將點（血，6）代入得出。，6關系，由離心率得出關系，結合雙曲線關系式即可求解.

【詳解】將（3悶代入雙曲線標準方程得，=1,又/=，=2,c2=a2+b2,聯立解得片=1萬=1,

故雙曲線的標準方程為V-/=1.

故選：C

22

3.（2023春?重慶沙坪壩?高二重慶一中校考期中）和橢圓上+匕=1有相同焦點的等軸雙曲線方程為（）

95

V,2

A.B.=1

22V2后

C.D-標嘖=1

44

【答案】A

【分析】求出橢圓的焦點坐標，再利用等軸雙曲線性質，求解即可.

22

【詳解】橢圓土+乙=1,《=9為；=5,則02=〃2一牙=4,可得。=2,

95

22

設等軸雙曲線方程為二-與=1,其中a=6,

ab

可得〃+/=4,解得〃="=2

22

所求的雙曲線方程為土-匕=1.

22

故選：A

4.（2023春?江蘇連云港?高二校考期末）已知雙曲線的對稱軸為坐標軸，兩個頂點間的距離為2,焦點在y軸

上，且焦點到漸近線的距離為直，則雙曲線的標準方程是（）

2222

A./一匕=]B.y--—=\C.---y2=1D.--X2=1

222-2

【答案】B

【分析】根據雙曲線定點的定義，求得。，設出雙曲線方程，寫出漸近線方程，利用點到直線距離公式，建

立方程，可得答案.

【詳解】由題意得2a=2,即。=1,設雙曲線的方程為丫2一1=13＞0）,

焦點F（0,c）到其漸近線的距離為4=-j===b=42,

22

雙曲線方程為V=1,綜上，雙曲線的方程為/一q_=L

故選：B.

5.（2023春?江蘇南通?高二統考期中）已知雙曲線C的焦點為片卜若,0）,乙（6,0）,點尸在雙曲線C上,

滿足尸耳，耳耳，尸耳=4,則雙曲線C的標準方程為（）

丫222

A.——丁=1B.尤2上=1c=iD.三一匕=1

44-f423

【答案】B

c=^/5

【分析】由題意可知%44,求解即可

c23=a2+b2

c=y/5

22

|^|=-=4

【詳解】由題意可知雙曲線方程為會-方=1（。＞0,6＞0）且＜2

a

C2=〃2+62

解得=1，

b=2

2

所以雙曲線。的標準方程為爐—匕=1,

4

故選：B

22

6.（2023?全國?高二專題練習）已知雙曲線C：］一方=1（。＞0）的左、右焦點分別為白，總，過點死且

斜率為由的直線/交雙曲線的右支于A,B兩點，若△4耳3的周長為72,則雙曲線C的方程為（）

A.片-$=1B.￡-片=1C.亡=1D.x2-^=l

36510482

【答案】C

【分析】設直線/的方程為丁=百［-島），聯立直線和雙曲線方程，利用韋達定理得到|AB|=16a,然后

利用雙曲線的定義得至“筋|+|砥|=20a,根據的周長為72列方程，解得。=2即可得到雙曲線方程.

【詳解】由題知月（一&，。），耳（&,0）,

所以直線/為y=6（X-氐），設A。,％）,鞏工2，%），

（22

三-上7=1

222

由，。2”,x-6-j3ax+1la=0,則石+%=6百a,xtx2=1lo,

y=石卜-6。）

所以欠8|=斤'（玉+々）2-4平2=2川08°2-44片=16a，因為|前|=|然"2。，忸耳|=忸局+2a,

所以|翅|+|即|=|陷|+|%|+上=|AB|+4a=20a,

因為△然2的周長為72,所以|州|+怛耳|+|AB|=72,

所以20a+l6a=72,得a=2,所以雙曲線方程為——=1.

48

故選：C.

考點二雙曲線的焦點三角形

7.（2023春?江西上饒?高二校聯考階段練習）設尸為雙曲線4=1上一點，月,B分別為雙曲線的左，

169

右焦點,若I尸耳1=10,則|尸閭等于（）

A.2B.2或18C.4D.18

【答案】B

【分析】利用雙曲線的定義即可求解.

【詳解】根據雙曲線的定義，歸制-盧鵬=2。=8,即|10-|尸引=8,解得|%|=2或18,均滿足

\PF2\>c-a=5-4=l.

故選：B

8.（2023春?安徽安慶?高二安慶一中校考階段練習）己知雙曲線［-丁=1的左、右焦點分別為耳、F2,點

尸在雙曲線的右支上，|P4|+|尸聞=6及，。為坐標原點，”是時中點，則|。"|=（）

A.6B.20C.3&D.4a

【答案】A

【分析】利用雙曲線的定義和已知條件可得出關于歸娟、歸周的方程組，解出I尸閭的值，利用中位線的性

質可求得|。河|.

【詳解】在雙曲線］一產=1中，a=0,b=l,c=G，

由雙曲線的定義可得|尸周-1尸工|=2日,又因為|「耳|+|尸引=6五,則|尸鳥|=2點,

因為。、"分別為片鳥、尸耳的中點，故|。閭=；忸閭=也.

故選：A.

9.（2023春?河南?高二校聯考階段練習）已知久,后分別是雙曲線C:三-2=1的左、右焦點，P是C上位

44

于第一象限的一點，且尸耳尸邑=0,則的面積為（）

A.2B.4C.272D.2追

【答案】B

【分析】利用勾股定理、雙曲線定義求出1sliPgl，再利用三角形的面積公式計算可得答案.

【詳解】因為尸耳?尸鳥=0,所以|尸￡「+|尸弱「=|4月「=32,

由雙曲線的定義可得歸天-|尸周=%

所以21P用歸用=「用2+|產入「一（「周一「閶）2,解得歸耳卜盧用=8,

故△尸;隹的面積為:|尸/訃|尸詞=4.

故選：B.

22

10.（2023春.吉林四平?高二四平市第一高級中學校考階段練習）已知雙曲線C：一2r=1（。>0,6>0）的

ab

左、右焦點分別為耳，F2,過點F?的直線與雙曲線的右支相交于A,8兩點，忸周=2怛周=4|A月ABF.

的周長為10,則雙曲線C的焦距為（）

A.3B.77C.D.

35

【答案】C

【分析】由雙曲線的定義和三角形的周長解得加的值，再由余弦定理列式可得結果.

【詳解】設|例|=%,\BF^=2m,忸周=4加，

由雙曲線的定義知：IMHM卜忸周一忸閭=2a=2數,

|AF^=3m,a=m,

:?有力+2根+3%+4相=10,解得根=1,

?.,在?A4耳和“8耳心中，cosZFlF2A+cosZFlF2B=0,

由余弦定理得4c?+1-9+4L+4—16=0,解得c=YH,可得雙曲線的焦距為名包.

4c8c33

故選：C.

考點三雙曲線定義的應用

22

11.(2023春?吉林四平?高二四平市第一高級中學校考階段練習)若方程」丁-上=1表示焦點在y軸上

4-m1+m

的雙曲線，則實數根的取值范圍為()

A.(―co,—2)B.(―2,—1)

C.(-2,2)D.(—1,1)

【答案】A

?尤2f—1—ZTt>0

【分析】原方程可變形為」-----A=l,根據已知有“2C，解出即可.

-m-1m2-4[-4+m1>0

22

【詳解】因為方程上方--=1表示焦點在y軸上的雙曲線，

4-m1+m

—-上=1可變形為上-----J=L

4-m1+m-m-1m-4

—1—m>0m+1<0

所以有即解得mv-2.

-4+m2>0m2—4>0

故選：A.

12.(2023春?廣東佛山?高二統考階段練習)對于常數a,b,“必<0”是“方程加+外？=1對應的曲線是雙

曲線”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可

尤2+/

=1

【詳解】解："2+分2=1可整理成

=1

當“b<0,則a>0且6<0或a<0且6>0,止匕時方程即依2+勿2=1表示的曲線為雙曲線，則充

分性成立;

—=1]J

若方程m表示的曲線為雙曲線，貝即a匕<0,則必要性成立，

故選：C

22

13.（2023?四川南充?統考三模）設。€（0,2兀），貝『，方程二+3—=1表示雙曲線，，的必要不充分條件為（）

34sin6

A.6^G（0,7i）B.。w

C.匹卜普）D.96

【答案】B

22

【分析】求出方程工+-^=1表示雙曲線的必要不充分條件e的范圍可得答案.

34sin8

22

【詳解】由。武0,2兀），方程二+二^=1表示雙曲線，

34sin8

則sin<9<0,所以。￡（兀,2兀）,

22

根據選項，“方程上+^^=1表示雙曲線”的必要不充分條件為B.

34sin6（

故選：B.

22

14.（2023春?江蘇揚州?高二揚州中學校考階段練習）已知4（0,4）,雙曲線?一三=1的左、右焦點分別為

久，與，點尸是雙曲線右支上一點，則|%|+|尸耳|的最小值為（）

A.5B.7C.9D.11

【答案】C

【分析】根據雙曲線的方程，求得焦點坐標，由雙曲線的性質，整理|上4|+|尸居利用三角形三邊關系，可

得答案.

22

【詳解】由雙曲線土一2=1,貝|4=44=5,即/=/+/=9,且耳（-3,0）,乙（3,0）,

45

由題意，作圖如下：

\P^+\PF\=\P^+2a+\PF^>\AF^\+2ra=A/32+42+4=9,當且僅當AR區共線時，等號成立.

故選：C.

22

15.（2023?全國?高二專題練習）已知雙曲線C：A-,=1的下焦點為尸，43,7）,尸是雙曲線C上支上的

動點,則|尸尸|-|到的最小值是（）

A.-2B.2C.1D.-1

【答案】D

【分析】根據雙曲線定義得「司-|啊=4+忸￡|-|上4|,則利用三角形任意兩邊之差小于第三邊求出

|尸耳|-1叢I的最小值即為平周.

【詳解】由題意得雙曲線焦點在y軸上，a2=4,b2=5,C2=a2+b2=9,

所以下焦點“。,-3）,設上焦點為耳，則耳（0,3）,

根據雙曲線定義：||尸尸1-1尸甲=2a=4,尸在上支，娟=2a=4

\PF\=4+\PF1\,|PF|-|B4j=4+|P^|,

在△心人中兩邊之差小于第三邊，.?.|「制-|斜2-|A^|,

|A^|=7（3-0）2+（7-3）2=5,

.-.|PF|-|R4|>4-5=-l.

故選：D.

考點四雙曲線的軌跡方程

16.（2023?四川?高二統考）已知y軸上兩點耳（0,-5）,耳（0,5）,則平面內到這兩點距離之差的絕對值為8

的動點的軌跡方程為（）

【答案】B

【分析】根據給定條件，利用雙曲線的定義求出軌跡方程作答.

【詳解】點片（0,-5）,耳（0,5）,令尸為軌跡上任意點，則有||產用一|「工||=8<10=|4二

因此動點尸的軌跡是以耳（0,-5）,耳（0,5）為焦點，實軸長為8的雙曲線，

即雙曲線的實半軸長。=4,而半焦距c=5,則虛半軸長b=后京=3,

22

所以所求軌跡方程為匕-'=1.

169

故選：B

17.（2023春?遼寧鞍山?高二校聯考階段練習）已知尸是圓耳：（x+3y+y2=i6上的一動點，點區（3,0）,線

段PK的垂直平分線交直線P片于點Q,則。點的軌跡方程為（）

'/A

B/9

D.-----------------1

49

2222

C.上一匕=1D.--^=l(x>0)

4545V7

【答案】C

【分析】由題意有|。?=|。閭，從而有耳HOKRP娟=4,根據雙曲線的定義得點。的軌跡為是以尸人

仍為焦點的雙曲線.再寫出其方程即可.

【詳解】如圖所示:

???尸是圓月上一動點，點B的坐標為（3,0）,線段尸耳的垂直平分線交直線尸片于點Q,

.?.依斗=依閶，|依耳|一|。聞=|。耳曰。尸|=歸周，

???尸是圓月上一動點，.」所|=4,.」|。胤一|。司=4,

.?.丹（3,0）,￡（—3,0）,國閭=6>4,

???點。的軌跡為以入、八為焦點的雙曲線，且。=2,c=3,得b=#,

點。的軌跡方程為片-￡=1.

45

故選：C.

18.（2023春?陜西渭南?高二期末）一動圓P過定點M（T,0）,且與已知圓N：+V=16相切，則動

圓圓心P的軌跡方程是（）

Af丁

A.——+—=1B.1

412412

/一

c.匚JiD.----------------1

412412

【答案】C

【分析】由兩圓相切分析可知|PM-PN|=4,符合雙曲線的定義，可得2a=4,2c=8,根據雙曲線中a,

b,c的關系，即可求出動圓圓心尸的軌跡方程.

【詳解】解：已知圓N：（》一4）2+產=16圓心雙（4,0）,半徑為4,

動圓圓心為尸，半徑為廠，

當兩圓外切時：PM=r,PN=r+4,所以PAf-PN=-4；

當兩圓內切時：PM=r,PN=r-4,所以PM-PN=4；

即|R0-PN|=4,表示動點尸到兩定點的距離之差為常數4,符合雙曲線的定義，

所以。在以M、N為焦點的雙曲線上，且為=4,2c=8,

b=yjc2—a2=J16-4=2c，

22

所以動圓圓心P的軌跡方程為：—-2-=1,

412

故選：C.

19.（2023?全國?高二專題練習）已知兩圓C］：（x+4y+y2=9,C2：（x-4）2+y2=9,動圓C與圓G外切，且和

圓cZ內切，則動圓C的圓心C的軌跡方程為（）

【答案】D

【分析】通過動圓C與圓C1外切，且和圓C,內切列出關于圓心距的式子，通過變形可得雙曲線的方程.

【詳解】如圖，

設動圓C的半徑為R,貝?CG|=3+R,|CCz|=R-3,

則|CG|-|CC2卜6<8=|CC|,

所以動圓圓心c的軌跡是以￡,G為焦點，以6為實軸長的雙曲線的右支.

因為2。=6,2。=8,

所以〃=3,C=4,/?2=02_〃2=7

22

故動圓圓心。的軌跡方程為土-匕=1（x23）.

97v7

故選：D.

考點五雙曲線的離心率

(-)求雙曲線的離心率

22

20.(2023春?河北唐山?高二校聯考階段練習)雙曲線C:2-二=l(a>0,b>0)的一條漸近線方程為

ab

x-s/3y=0,則C的離心率為()

A.空B.逑C.2D.73

33

【答案】C

【分析】根據漸近線得到處=無，得到離心率.

b3

【詳解】因為C的一條漸近線方程為=所以q=立，

b3

所以。的禺心率e==2.

故選：C

21.(2023春?云南昆明?高二昆明市第三中學校考階段練習)已知雙曲線C：J-/=l(a>0,%>0),過點尸(3,6)

的直線/與C相交于A2兩點，且AB的中點為N(12/5),則雙曲線C的離心率為()

A.2B.-C.辿D.男

252

【答案】B

【分析】由點差法得出勺=2,進而由離心率公式求解即可.

a24

【詳解】設A(再,3),B(x2,y2),由AB的中點為N(12,15),則芯+%=24,%+%=30,

(22

&-與=1

由“，兩式相減得：+…2),

x；￡"b-

L2b2

mil%-%_?&+%)_4b2

刻一—2~/\~~~T，

無「馬礦(%+%)5a2

22

由直線AB的斜率左=1三5~-61=1,?..4竺br=l,則h勺=5:

12-35a2a24

雙曲線的離心率e=￡=Jl+《=3,

a\cr2

3

，雙曲線c的離心率為5，

故選：B.

22

22.(2023春.黑龍江哈爾濱.高二哈九中校考階段練習)已知雙曲線C:亍-%=1(°>0,"0)的右焦點為F,

關于原點對稱的兩點43分別在雙曲線的左、右兩支上，AFFB=0,FC=2BF,且點C在雙曲線上，則雙

曲線的離心率為()

2A/3

AVnRVio?N

3223

【答案】A

【分析】根據已知條件及雙曲線的定義，再利用矩形的性質及勾股定理，結合雙曲線的離心率公式即可求

解.

【詳解】如圖所示

設怛同=/,則但C|=2乙\BF'\=2a+t,\F'C\=2a+2t,

因為AF-EB=0，所以AF_LFB，

則四邊形ATOP'是矩形,

在Rt」印匕中，忸/「+忸c「=|尸C『，即(2a+ry+(3f)2=(2a+2f)2,解得/=?,

在RtABF戶中，忸尸丫+所/中即,+引+(引=船2,于是有17/=—

解得e=姮，

3

所以雙曲線的離心率為姮.

3

故選：A.

22

23.(2023?全國?高二專題練習)已知雙曲線C:/躲=1(6>0)的左、右焦點分別為耳B，點M在C的左

支上，過點加作C的一條漸近線的垂線，垂足為N,若的最小值為9,則該雙曲線的離心率為

25

A.四B.布C.D.

23

【答案】A

【分析】由題意可知〃=3,根據雙曲線的對稱性畫出圖形，由雙曲線的定義可知|MEI+|MN|...WN|+6,當

且僅當點冗，M,N三點共線時，等號成立，從而得到+的最小值為b+6,求出b的值，得到

雙曲線的離心率.

【詳解】解：根據雙曲線的對稱性，僅作一條漸近線,

22

因為雙曲線c：］-%=ig>。），

..a=3f

由雙曲線的定義可知，IMBIT町l=2a=6,

:.\MF2\+\MN\=\MFt\+\MN\+6^FiN\-^>,

當且僅當點片，M,N三點共線時，等號成立,

b

漸近線方程為＞即樂-?=0,且耳（-c,0）,

a

be,

...此時相土若曇=一="

c

：\MF2\+\MN\的最小值為b+6,

..〃+6=9,:.b=3,

所以c=yja2+62=3A/2

廠?離心率e=￡=V2,

a

故選:A.

r2v2

24.（2023春?海南?高二校考階段練習）設耳，「2分別為雙曲線C：a-方=1（。＞0,6＞0）的左、右焦點，A

為雙曲線的左頂點，以「鳥為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于M,N兩點，且NM4N=135。，（如圖）,

則該雙曲線的離心率為（）

A.V2B.6C.2D.75

【答案】D

【分析】聯立-+y2=/與y=±x求出M（a,b）,進而NM4O的正切可求，得出。與b的關系，從而進一步

解出答案.

【詳解】依題意得，以線段耳耳為直徑的圓的方程為/+丁2=/,

b

雙曲線C的一條漸近線的方程為〉='工

a

_b

由aX，以及4+b2=c2,

x2+y2=c2,

x=a,Ix=-a,

解得y=匕或jy=一4

不妨取M（a,b）,則N（—a,—6）.

因為A（—q,0）,/M4N=135,

所以ZM4O=45.

b

又tan/MAO=—,

la

所以1=Fb，

2a

所以Z?=2。，

所以該雙曲線的離心率6=,[5=出.

Va

故選：D.

22

25.（2023春?河南?高二校聯考階段練習）已知雙曲線C:「-3=l（a>0,b>0）,尸為C的下焦點.。為坐

ab

標原點，4是C的斜率大于0的漸近線，過尸作斜率為3的直線/交4于點A,交無軸的正半軸于點2,若

3

\OA\=\OB\f則。的離心率為（）

A.2B.6C.友D.B

32

【答案】C

【分析】分別表示出42坐標，利用10Al=1。0求得a=技，即可求出離心率.

22

【詳解】因為尸為雙曲線C:與-J=l（a>0,b>0）的下焦點，不妨設尸（0?）,

ab

所以過廠作斜率為坐的直線y=^x-c,所以網&,。）.

因為4是C的斜率大于。的漸近線，所以可設小y=

b

[6

y=-x-c

3bc3ac

由3聯立解得:A

ay/3b-3a'y/3b-3aJ

y=-x

[b

3bc

因為|。4|二|。為，所以解得:

yf3b-3a

12A/3

所以離心率e=￡yjcr+b2b

a一版一3

故選：c

（-）求雙曲線離心率的取值范圍

26.（2023?重慶沙坪壩?重慶八中校考模擬預測）已知雙曲線C：y2=1g＞（））的右焦點為F,點A（0,-a）,

a

若雙曲線的左支上存在一點P,使得|必+|尸盟=7,則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

A.1,4B.（1,石]C.—,+＜?D.[6,+（?）

I2」L2）

【答案】C

【分析】根據雙曲線定義可得，仍曰=|西|+2。，即|，訓+|西|=7-2a,進而推得|尸川+|尸周21A娟=7717,

得到不等式/一14〃+2420,求解即可得到。的取值范圍，進而求得離心率的范圍.

設雙曲線左焦點為小因為點尸在雙曲線左支上，所以有|尸尸耳|=2即

即|尸典=|尸耳|+2a.

7

由已知得，存在點尸，使得|必+盧臼=7,即|R4|+|/￥；|=7—2a,顯然7-2“＞0,所以a＜j

又|網+|兩以做|=，即當點尸位于圖中匕位置時，等號成立，

所以Va2+c2<7-2a>又c2=/+1，

所以—整理可得，/一14。+2420,解得aW2或（舍去）,

所以。＜心，則。/4,吟1，所以/槳=1+5今

故選：C.

/V2

27.（2023春?江蘇南京碣二校聯考階段練習）已知尸為雙曲線,方=1（。＞0,方＞0）的左焦點，直線/過點廠

與雙曲線交于A,2兩點，且|A8|最小值為竺，則雙曲線離心率取值范圍為。

a

A.(1,2)B.(1,V2)C.(1,2]D.(1,72]

【答案】D

【分析】分別討論經過焦點r的直線與雙曲線的交點在同一支上和

直線與雙曲線的交點在兩支上這兩種情況，列出不等式，計算即可得到范圍.

【詳解】①當經過焦點廠的直線與雙曲線的交點在同一支上，可得雙曲線的通徑最小,

22

設雙曲線=-2=1的左焦點為p(-c,o),過尸的直線與雙曲線左支相交于4(占,%),3(七,%),

ab

當直線AB斜率不存在時，直線AB的方程為x=-G可得y=土/=土/，即有

Vaa

\AB\=—,

當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為y=Mx+c),

y=%(x+c)

聯立<工2y2,消去y,得僅2一〃2左2)X2一左2兀一左2一片人2=0,

V-F=1

2a2ck2a2c2k2+a2b2

X+%=~---=-----------------z—z-,

12b2-a2k212b2-a2k2

A=(2a2ck2)2-4伊_〃2左2乂_。2c2%2一〃2力2)>。

2〃2cz2八

bb

由＜X1+%2=^37F<0，解得上＞—或左,