第頁第三章三角函數 1第一節角的概念與任意角的三角函數 2第二節同角三角函數的基本關系式與誘導公式 9第三節三角函數的圖象與性質 16第四節函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及三角函數模型的應用 24第五節和角公式 37第六節倍角公式與半角公式 45第七節正弦定理和余弦定理 53第八節正弦定理、余弦定理的應用舉例 61第三章三角函數知識網絡：學習重點：三角函數是高考命題的重點，分值約占10%～15%，一般是一個小題和一個大題，以中低檔題為主．1．主要考查三角函數的圖象及性質，簡單的三角恒等變換，正、余弦定理及其應用，且題目常考常新．2．客觀題主要涉及三角函數的求值，函數的圖象及性質，解答題主要以三角變換為工具，綜合考查函數的圖象及性質；或以正、余弦定理為工具，結合三角變換考查解三角形的有關知識．3．高考命題中，本章常及平面向量相結合，既可以考查平面向量的運算，又可以考查三角函數式的化簡和三角函數的性質，符合高考命題“要在知識點的交匯處命題”的要求.學法指導：1.立足基礎，著眼于提高．立足課本，牢固掌握三角函數的概念、圖象和性質；弄清每個公式成立的條件，公式間的內在聯系及公式的變形、逆用等．要在靈、活、巧上下功夫，切不可死記硬背．2．突出數學思想方法．應深刻理解數及形的內在聯系，理解眾多三角公式的應用無一不體現等價轉化思想．在解決三角函數的問題時仔細體會拆角、切化弦、三角函數歸一的方法技能．3．抓住關鍵，三角函數的化簡、求值中，要熟練掌握三角變換公式的應用，其中角的變換是解題的關鍵，注意已知及待求中角的關系，力爭整體處理．4．注意三角函數及向量等內容的交匯滲透，這也是命題的熱點之一.第一節角的概念及任意角的三角函數學習目標：1.了解任意角的概念，了解弧度制的概念．2．能進行弧度及角度的互化．3．理解任意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義考點梳理：1．角的有關概念(1)從運動的角度看，角可分為正角、負角和零角．(2)從終邊位置來看，可分為象限角及軸線角．(3)若β及α是終邊相同的角，則β用α表示為β＝2kπ＋α(k∈Z)．2．弧度及角度的互化(1)1弧度的角長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．(2)角α的弧度數在半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對圓心角為αrad，則α＝eq\f(l,r).(3)角度及弧度的換算①n°＝neq\f(π,180)rad；②αrad＝(eq\f(180α,π))°.(4)弧長、扇形面積的公式設扇形的弧長為l，圓心角大小為α(rad)，半徑為r，則l＝rα，扇形的面積為S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r2α.3．任意角的三角函數(1)定義：設α是一個任意角，它的終邊及單位圓交于點P(x，y)，則sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x).(2)三角函數在各象限的符號一全正，二正弦，三正切，四余弦．4．單位圓及三角函數線(1)單位圓：半徑為1的圓叫做單位圓．(2)三角函數線．(3)幾何表示：三角函數線可以看作是三角函數的幾何表示，正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1,0)．思考：1．“角α為銳角”是“角α為第一象限角”的什么條件？【提示】充分不必要條件．2．終邊在直線y＝x上的角的正弦值相等嗎？【提示】當角的終邊一個在第一象限，一個在第三象限時，正弦值不相等．學情自測：1．已知銳角α終邊上一點A的坐標是(2sineq\f(π,3)，2coseq\f(π,3))，則α弧度數是()A．2B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(2π,3)【解析】點A的坐標為(eq\r(3)，1)．∴sinα＝eq\f(1,\r(\r(3)2＋1))＝eq\f(1,2)，又α為銳角，∴α＝eq\f(π,6).【答案】C2．(2012·江西高考)下列函數中，及函數y＝eq\f(1,\r(3,x))定義域相同的函數為()A．y＝eq\f(1,sinx)B．y＝eq\f(lnx,x)C．y＝xexD．y＝eq\f(sinx,x)【解析】函數y＝eq\f(1,\r(3,x))的定義域為{x|x≠0}，選項A中由sinx≠0?x≠kπ，k∈Z，故A不對；選項B中x>0，故B不對；選項C中，x∈R，故C不對；選項D中由正弦函數及分式型函數的定義域確定方法可知定義域為{x|x≠0}，故選D.【答案】D3．若sinα＜0且tanα＞0，則α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解析】由sinα＜0，得α在第三、四象限或y軸非正半軸上，又tanα＞0，∴α在第三象限．【答案】C4．弧長為3π，圓心角為135°的扇形半徑為________，面積為________．【解析】∵l＝3π，α＝135°＝eq\f(3π,4)，∴r＝eq\f(l,α)＝4，S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×3π×4＝6π.【答案】46π5．已知角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸．若P(4，y)是角θ終邊上一點，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，則y＝________.【解析】由三角函數的定義，sinθ＝eq\f(y,\r(16＋y2))，又sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)＜0，∴y＜0且eq\f(y,\r(16＋y2))＝－eq\f(2\r(5),5)，解之得y＝－8.【答案】－8典例探究：例1（角的集合表示）(1)寫出終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合；(2)已知α是第三象限角，求eq\f(α,2)所在的象限．【思路】(1)角的終邊是射線，應分兩種情況求解．(2)把α寫成集合的形式，從而eq\f(α,2)的集合形式也確定．【解答】(1)當角的終邊在第一象限時，角的集合為{α|α＝2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}，當角的終邊在第三象限時，角的集合為{α|α＝2kπ＋eq\f(4,3)π，k∈Z}，故所求角的集合為{α|α＝2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋eq\f(4,3)π，k∈Z}＝{α|α＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}．(2)∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)，∴kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3,4)π(k∈Z)．當k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜2nπ＋eq\f(3,4)π，eq\f(α,2)是第二象限角，當k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋eq\f(3π,2)＜eq\f(α,2)＜2nπ＋eq\f(7,4)π，eq\f(α,2)是第四象限角，綜上知，當α是第三象限角時，eq\f(α,2)是第二或第四象限角,變式訓練1：若角θ的終邊及eq\f(π,3)角的終邊相同，則在[0,2π)內終邊及角eq\f(θ,3)的終邊相同的角為________．【解析】∵θ＝eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(θ,3)＝eq\f(π,9)＋eq\f(2,3)kπ(k∈Z)，當k＝0,1,2時，eq\f(θ,3)＝eq\f(π,9)，eq\f(7π,9)，eq\f(13π,9).【答案】eq\f(π,9)，eq\f(7π,9)，eq\f(13π,9)例2（弧度制的應用）已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長l.(2)若扇形的周長為20cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？(3)若α＝eq\f(π,3)，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面積．【思路】(1)可直接用弧長公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧長或半徑表示出扇形面積，然后確定其最大值時的半徑和弧長，進而求出圓心角α；(3)利用S弓＝S扇－S△，這樣就需要求扇形的面積和三角形的面積．【解答】(1)l＝10×eq\f(π,3)＝eq\f(10π,3)(cm)．(2)由已知得：l＋2R＝20，所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以R＝5時，S取得最大值25，此時l＝10，α＝2rad.(3)設弓形面積為S弓．由題知l＝eq\f(2π,3)cm，S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×2－eq\f(1,2)×22×sineq\f(π,3)＝(eq\f(2π,3)－eq\r(3))(cm2)變式訓練2：已知半徑為10的圓O中，弦AB的長為10，(1)求弦AB所對的圓心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧長l及弧所在的弓形的面積S.【解】(1)在△AOB中，AB＝OA＝OB＝10，∴△AOB為等邊三角形．因此弦AB所對的圓心角α＝eq\f(π,3).(2)由扇形的弧長及扇形面積公式，得l＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10,3)π，S扇形＝eq\f(1,2)R·l＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(50π,3).又S△AOB＝eq\f(1,2)·OA·OB·sineq\f(π,3)＝25eq\r(3).∴弓形的面積S＝S扇形－S△AOB＝50(eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2)).例3（三角函數的定義）(1)已知角α的終邊經過點P(m，－3)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m等于()A．－eq\f(11,4)B.eq\f(11,4)C．－4D．4(2)已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．【思路】(1)求出點P到原點O的距離，根據三角函數的定義求解．(2)在直線上設一點P(4t，－3t)，求出點P到原點O的距離，根據三角函數的定義求解，由于點P可在不同的象限內，所以需分類討論．【解答】(1)點P到原點O距離|OP|＝eq\r(m2＋9)，∴cosα＝eq\f(m,\r(m2＋9))＝－eq\f(4,5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝16,m＜0))，∴m＝－4.【答案】C(2)在直線3x＋4y＝0上任取一點P(4t，－3t)(t≠0)，則x＝4t，y＝－3t，∴r＝|PO|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(4t2＋－3t2)＝5|t|，當t＞0時，r＝5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,5t)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,5t)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4)；當t＜0時，r＝－5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,－5t)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,－5t)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4).綜上可知，當t＞0時，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).當t＜0時，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).變式訓練3：設90°＜α＜180°，角α的終邊上一點為P(x，eq\r(5))，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，求4sinα－3tanα的值．【解】∵r＝eq\r(x2＋5)，∴cosα＝eq\f(x,\r(x2＋5))，從而eq\f(\r(2),4)x＝eq\f(x,\r(x2＋5))，解得x＝0或x＝±eq\r(3).∵90°＜α＜180°，∴x＜0，因此x＝－eq\r(3).則r＝2eq\r(2)，∴sinα＝eq\f(\r(5),2\r(2))＝eq\f(\r(10),4)，tanα＝eq\f(\r(5),－\r(3))＝－eq\f(\r(15),3).故4sinα－3tanα＝eq\r(10)＋eq\r(15).小結：一條規律三角函數值在各象限的符號規律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦．兩個技巧1.在利用三角函數定義時，點P可取終邊上任一點，如有可能則取終邊及單位圓的交點．2．利用單位圓和三角函數線是解簡單三角不等式的常用技巧．三點注意1.第一象限角、銳角、小于90°的角是三個不同的概念，前者是象限角，后兩者是區間角．2．角度制及弧度制可利用180°＝πrad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．3．注意熟記0°～360°間特殊角的弧度表示，以方便解題．課后作業(十六)角的概念及任意角的三角函數一、選擇題圖3－1－21．(2013·寧波模擬)如圖3－1－2，在直角坐標系xOy中，射線OP交單位圓O于點P，若∠AOP＝θ，則點P的坐標是()A．(cosθ，sinθ)B．(－cosθ，sinθ)C．(sinθ，cosθ)D．(－sinθ，cosθ)【解析】設P(x，y)，由三角函數定義知sinθ＝y，cosθ＝x，故點P的坐標為(cosθ，sinθ)．【答案】A2．已知2弧度的圓心角所對的弦長為2，則這個圓心角所對的弧長是()A．2B．sin2C.eq\f(2,sin1)D．2sin1【解析】由題設，圓弧的半徑r＝eq\f(1,sin1)，∴圓心角所對的弧長l＝2r＝eq\f(2,sin1).【答案】C3．(2013·海淀模擬)若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，則角α及β的終邊的位置關系是()A．重合B．關于原點對稱C．關于x軸對稱D．關于y軸對稱【解析】由題意知角α及角θ的終邊相同，角β及角－θ的終邊相同，又角θ及角－θ的終邊關于x軸對稱，故選C.【答案】C4．若角α的終邊在直線y＝－2x上，且sinα＞0，則cosα和tanα的值分別為()A.eq\f(\r(5),5)，－2B．－eq\f(\r(5),5)，－eq\f(1,2)C．－eq\f(2\r(5),5)，－2D．－eq\f(\r(5),5)，－2【解析】由題意知，角α的終邊在第二象限，在角α的終邊上取點P(－1,2)，則r＝eq\r(5)，從而cosα＝eq\f(－1,\r(5))＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(2,－1)＝－2，故選D.【答案】D5．(2013·昆明模擬)設α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點，且cosα＝eq\f(1,5)x，則tanα＝()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)【解析】由題意知x＜0，r＝eq\r(x2＋16)，∴cosα＝eq\f(x,\r(x2＋16))＝eq\f(1,5)x，∴x2＝9，∴x＝－3，∴tanα＝－eq\f(4,3).【答案】D6．已知點P(sineq\f(3π,4)，coseq\f(3,4)π)在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為()A.eq\f(π,4)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(5π,4)D.eq\f(7π,4)【解析】由已知得P(eq\f(\r(2),2)，－eq\f(\r(2),2))，∴tanθ＝－1且θ是第四象限角，∴θ＝eq\f(7π,4).【答案】D二、填空題7．(2013·濰坊模擬)若角120°的終邊上有一點(－4，a)，則a的值是________．【解析】由題意知－eq\f(a,4)＝tan120°，∴－eq\f(a,4)＝－eq\r(3)，∴a＝4eq\r(3).【答案】4eq\r(3)8．已知角α的終邊落在直線y＝－3x(x＜0)上，則eq\f(|sinα|,sinα)－eq\f(|cosα|,cosα)＝________.【解析】因為角α的終邊落在直線y＝－3x(x＜0)上，所以角α是第二象限角，因此sinα＞0，cosα＜0，故eq\f(|sinα|,sinα)－eq\f(|cosα|,cosα)＝eq\f(sinα,sinα)－eq\f(－cosα,cosα)＝1＋1＝2.【答案】29．點P從(1,0)出發，沿單位圓x2＋y2＝1逆時針方向運動eq\f(2π,3)弧長到達Q點，則Q點的坐標為________．【解析】由題意知點Q是角eq\f(2π,3)的終邊及單位圓的交點，設Q(x，y)，則y＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，x＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，故Q(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))．【答案】(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))三、解答題10．已知角θ的終邊上有一點P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ＋cosθ的值．【解】∵θ的終邊過點(x，－1)(x≠0)，∴tanθ＝－eq\f(1,x)，又tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.當x＝1時，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2)，因此sinθ＋cosθ＝0；當x＝－1時，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝－eq\f(\r(2),2)，因此sinθ＋cosθ＝－eq\r(2).11．已知扇形OAB的圓心角α為120°，半徑長為6，(1)求eq\x\to(AB)的長；(2)求eq\x\to(AB)所在弓形的面積．【解】(1)∵α＝120°＝eq\f(2π,3)，r＝6，∴eq\x\to(AB)的長l＝eq\f(2π,3)×6＝4π.(2)∵S扇形OAB＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4π×6＝12π，S△ABO＝eq\f(1,2)r2·sineq\f(2π,3)＝eq\f(1,2)×62×eq\f(\r(3),2)＝9eq\r(3)，∴S弓形＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－9eq\r(3).12．角α終邊上的點P及A(a,2a)關于x軸對稱(a＞0)，角β終邊上的點Q及A關于直線y＝x對稱，求sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ的值．【解】由題意得，點P的坐標為(a，－2a)，點Q的坐標為(2a，a)．所以，sinα＝eq\f(－2a,\r(a2＋－2a2))＝－eq\f(2,\r(5))，cosα＝eq\f(a,\r(a2＋－2a2))＝eq\f(1,\r(5))，tanα＝eq\f(－2a,a)＝－2，sinβ＝eq\f(a,\r(2a2＋a2))＝eq\f(1,\r(5))，cosβ＝eq\f(2a,\r(2a2＋a2))＝eq\f(2,\r(5))，tanβ＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2)，故有sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ＝eq\f(－2,\r(5))·eq\f(1,\r(5))＋eq\f(1,\r(5))·eq\f(2,\r(5))＋(－2)×eq\f(1,2)＝－1.第二節同角三角函數的基本關系式及誘導公式學習目標：1.理解同角三角函數的基本關系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.2．能利用單位圓中的三角函數線推導出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式.考點梳理：1．同角三角函數的基本關系式(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數關系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z)．2．誘導公式組數一二三四五角α＋2kπ(k∈Z)－αα＋(2k＋1)π(k∈Z)α＋eq\f(π,2)－α＋eq\f(π,2)正弦sinα－sin_α－sin_αcos_αcos_α余弦cosαcos_α－cos_α－sin_αsin_α正切tanα－tan_αtan_α口訣函數名不變符號看象限思考：1．有人說sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sinα(k∈Z)，你認為正確嗎？【提示】不正確．當k＝2n(n∈Z)時，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝－sinα；當k＝2n＋1(n∈Z)時，sin(kπ－α)＝sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα.2．sin(－π－α)如何使用誘導公式變形？【提示】sin(－π－α)＝－sin(π＋α)＝sinα.學情自測：1．已知cos(α－π)＝－eq\f(5,13)，且α是第四象限角，則sinα＝()A．－eq\f(12,13)B.eq\f(12,13)C.eq\f(5,12)D．±eq\f(12,13)【解析】∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(5,13)，∴cosα＝eq\f(5,13)，又α是第四象限角，∴sinα＜0，則sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(12,13).【答案】A2．已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|＜eq\f(π,2)，則θ等于()A．－eq\f(π,6)B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,3)【解析】由sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)得－sinθ＝－eq\r(3)cosθ，∴tanθ＝eq\r(3)，又|θ|＜eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,3)，故選D.【答案】D3．sin585°的值為()A．－eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)【解析】sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－eq\f(\r(2),2).【答案】A4．若cosα＝－eq\f(3,5)且α∈(π，eq\f(3π,2))，則tanα＝()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)【解析】∵cosα＝－eq\f(3,5)，且α∈(π，eq\f(3π,2))，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－－\f(3,5)2)＝－eq\f(4,5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3).【答案】B5．(2012·遼寧高考)已知sinα－cosα＝eq\r(2)，α∈(0，π)，則sin2α＝()A．－1B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2)D．1【解析】因為sinα－cosα＝eq\r(2)，所以1－2sinαcosα＝2，即sin2α＝－1.【答案】A典例探究：例1（同角三角函數關系式的應用）(1)(2013·濰坊模擬)已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，則sin2α－sinαcosα的值是()A.eq\f(2,5)B．－eq\f(2,5)C．－2D．2(2)(2013·銀川模擬)已知α∈(π，eq\f(3π,2))，tanα＝2，則cosα＝________.【思路】(1)先根據已知條件求得tanα，再把所求式變為用tanα表示的式子求解；(2)切化弦，結合sin2α＋cos2α＝1求解．【解答】(1)由eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，得eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，即tanα＝2.所以sin2α－sinαcosα＝eq\f(sin2α－sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－tanα,tan2α＋1)＝eq\f(2,5).(2)依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＝\f(sinα,cosα)＝2，,sin2α＋cos2α＝1，))由此解得cos2α＝eq\f(1,5)；又α∈(π，eq\f(3π,2))，因此cosα＝－eq\f(\r(5),5).【答案】(1)A(2)－eq\f(\r(5),5),變式訓練1：(2012·大綱全國卷)已知α為第二象限角，sinα＝eq\f(3,5)，則sin2α＝()A．－eq\f(24,25)B．－eq\f(12,25)C.eq\f(12,25)D.eq\f(24,25)【解析】∵α為第二象限角且sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，∴sin2α＝2sinα·cosα＝2×eq\f(3,5)×(－eq\f(4,5))＝－eq\f(24,25).【答案】A例2（誘導公式的應用）(1)已知tanα＝2，sinα＋cosα＜0，則eq\f(sin2π－α·sinπ＋α·cosπ＋α,sin3π－α·cosπ＋α)＝________.(2)已知α為第三象限角，f(α)＝eq\f(sinα－\f(π,2)·cos\f(3π,2)＋α·tanπ－α,tan－α－π·sin－α－π)，①化簡f(α)；②若cos(α－eq\f(3π,2))＝eq\f(1,5)，求f(α)的值．【思路】(1)先利用誘導公式對原式進行化簡，再根據tanα＝2，結合α的范圍和同角三角函數關系式求解；(2)①直接利用誘導公式化簡約分．②利用α在第三象限及同角三角函數關系的變形式得f(α)．【解答】(1)原式＝eq\f(－sinα·－sinα·－cosα,－sinα·cosα)＝sinα，∵tanα＝2＞0，∴α為第一象限角或第三象限角．又sinα＋cosα＜0，∴α為第三象限角，由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2，得sinα＝2cosα代入sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝－eq\f(2\r(5),5).【答案】－eq\f(2\r(5),5)(2)①f(α)＝eq\f(sinα－\f(π,2)·cos\f(3π,2)＋α·tanπ－α,tan－α－π·sin－α－π)＝eq\f(－cosα·sinα·－tanα,－tanα·sinα)＝－cosα.②∵cos(α－eq\f(3π,2))＝eq\f(1,5)，∴－sinα＝eq\f(1,5)，從而sinα＝－eq\f(1,5).又α為第三象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(6),5)，∴f(α)＝eq\f(2\r(6),5).變式訓練2：(1)(2013·煙臺模擬)sin600°＋tan240°的值等于()A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3)－eq\f(1,2)D.eq\r(3)＋eq\f(1,2)(2)(2013·臺州模擬)已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4(a，b，α，β為非零實數)，若f(2012)＝5，則f(2013)＝()A．3B．5C．1D．不能確定【解析】(1)sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin(180°＋60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－eq\f(\r(3),2)＋eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2).(2)∵f(2012)＝asin(2012π＋α)＋bcos(2012π＋β)＋4＝asinα＋bcosβ＋4＝5，∴asinα＋bcosβ＝1，∴f(2013)＝asin(2013π＋α)＋bcos(2013π＋β)＋4＝－asinα－bcosβ＋4＝－(asinα＋bcosβ)＋4＝－1＋4＝3.【答案】(1)B(2)A例3（sinα±cosα及sinα·cosα的關系）(2013·揚州模擬)已知－π＜x＜0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).(1)求sinx－cosx的值；(2)求eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值．【思路】(1)利用平方關系，設法溝通sinx－cosx及sinx＋cosx的關系；(2)先利用倍角公式、商數關系式化為角x的弦函數，再設法將所求式子用已知表示出來．【解答】(1)由sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，整理得2sinxcosx＝－eq\f(24,25).∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25).又∵－π＜x＜0，∴sinx＜0，又sinx＋cosx＞0，∴cosx＞0，sinx－cosx＜0，故sinx－cosx＝－eq\f(7,5).(2)eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2sinxcosx＋sinx,1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(2sinxcosxcosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq\f(24,175).變式訓練3：已知－eq\f(π,2)＜x＜0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).(1)求sinx－cosx的值；(2)求tanx的值．【解】(1)由sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，即2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25).又∵－eq\f(π,2)＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，sinx－cosx＜0，故sinx－cosx＝－eq\f(7,5).(2)由(1)得sinx－cosx＝－eq\f(7,5)，故由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＋cosx＝\f(1,5),sinx－cosx＝－\f(7,5)))，得sinx＝－eq\f(3,5)，cosx＝eq\f(4,5)，∴tanx＝eq\f(sinx,cosx)＝eq\f(－\f(3,5),\f(4,5))＝－eq\f(3,4).小結：一個口訣誘導公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號看象限．兩個防范1.利用誘導公式進行化簡求值時，要注意函數名稱和符號的確定．2．在利用同角三角函數的平方關系時，若開方，要注意判斷三角函數值的符號．三種方法在求值及化簡時，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)進行弦、切互化．(2)和積轉換法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關系進行變形、轉化．(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)等．課后作業(十七)同角三角函數的基本關系式及誘導公式一、選擇題1．(2013·鄭州模擬)記cos(－80°)＝k，則tan100°＝()A.eq\f(\r(1－k2),k)B．－eq\f(\r(1－k2),k)C.eq\f(k,\r(1－k2))D．－eq\f(k,\r(1－k2))【解析】由cos(－80°)＝k，得cos80°＝k，∴sin80°＝eq\r(1－k2)，∴tan100°＝tan(180°－80°)＝－tan80°＝－eq\f(\r(1－k2),k).【答案】B2．(2013·溫州模擬)若cos(eq\f(π,2)＋θ)＝eq\f(\r(3),2)，且|θ|＜eq\f(π,2)，則tanθ＝()A．－eq\r(3)B.eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)【解析】∵cos(eq\f(π,2)＋θ)＝eq\f(\r(3),2)，∴－sinθ＝eq\f(\r(3),2)，即sinθ＝－eq\f(\r(3),2)，∵|θ|＜eq\f(π,2)，∴θ＝－eq\f(π,3)，∴tanθ＝tan(－eq\f(π,3))＝－eq\r(3).【答案】A3．(2013·濟南模擬)已知α∈(－eq\f(π,2)，0)，sin(－α－eq\f(3π,2))＝eq\f(\r(5),5)則sin(－π－α)＝()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C．－eq\f(\r(5),5)D．－eq\f(2\r(5),5)【解析】∵sin(－α－eq\f(3π,2))＝－sin(eq\f(3π,2)＋α)＝cosα＝eq\f(\r(5),5)，且α∈(－eq\f(π,2)，0)，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\f(5,25))＝－eq\f(2\r(5),5)，∴sin(－π－α)＝－sin(π＋α)＝sinα＝－eq\f(2\r(5),5).【答案】D4．(2013·保定模擬)已知tanθ＝2，則sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝()A．－eq\f(4,3)B.eq\f(5,4)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(4,5)【解析】sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ－2,tan2θ＋1)＝eq\f(4＋2－2,4＋1)＝eq\f(4,5).【答案】D5．(2013·普寧模擬)若eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2，則eq\f(sinθ,cos3θ)＋eq\f(cosθ,sin3θ)的值為()A．－eq\f(817,27)B.eq\f(817,27)C.eq\f(820,27)D．－eq\f(820,27)【解析】∵eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2，∴sinθ＝3cosθ，∴eq\f(sinθ,cos3θ)＋eq\f(cosθ,sin3θ)＝eq\f(3,cos2θ)＋eq\f(1,27cos2θ)＝eq\f(82,27cos2θ)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝3cosθ，,sin2θ＋cos2θ＝1))得cos2θ＝eq\f(1,10)，∴eq\f(sinθ,cos3θ)＋eq\f(cosθ,sin3θ)＝eq\f(820,27).【答案】C6．若sinα是5x2－7x－6＝0的根，則eq\f(sin－α－\f(3π,2)sin\f(3π,2)－αtan22π－α,cos\f(π,2)－αcos\f(π,2)＋αsinπ＋α)＝()A.eq\f(3,5)B.eq\f(5,3)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,4)【解析】方程5x2－7x－6＝0的兩根為x1＝－eq\f(3,5)，x2＝2，則sinα＝－eq\f(3,5).原式＝eq\f(cosα－cosαtan2α,sinα－sinα－sinα)＝－eq\f(1,sinα)＝eq\f(5,3).【答案】B二、填空題7．已知sin(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(\r(3),2)，則sin(eq\f(3π,4)－α)的值為________．【解析】sin(eq\f(3π,4)－α)＝sin[π－(eq\f(π,4)＋α)]＝sin(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(\r(3),2).【答案】eq\f(\r(3),2)8．(2013·青島模擬)已知tanα＝2，則7sin2α＋3cos2α＝________.【解析】7sin2α＋3cos2α＝eq\f(7sin2α＋3cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(7tan2α＋3,tan2α＋1)＝eq\f(7×22＋3,22＋1)＝eq\f(31,5).【答案】eq\f(31,5)9．已知sin(x＋eq\f(π,6))＝eq\f(1,4)，則sin(eq\f(7π,6)＋x)＋cos2(eq\f(5π,6)－x)＝________.【解析】原式＝－sin(eq\f(π,6)＋x)＋cos2(eq\f(π,6)＋x)＝－eq\f(1,4)＋(1－eq\f(1,42))＝eq\f(11,16).【答案】eq\f(11,16)三、解答題10．已知函數f(x)＝eq\f(1－sinx－\f(3π,2)＋cosx＋\f(π,2)＋tan\f(3,4)π,cosx).(1)求函數y＝f(x)的定義域；(2)設tanα＝－eq\f(4,3)，求f(α)的值．【解】(1)由cosx≠0，得x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以函數的定義域是{x|x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}．(2)∵tanα＝－eq\f(4,3)，∴f(α)＝eq\f(1－sinα－\f(3π,2)＋cosα＋\f(π,2)＋tan\f(3,4)π,cosα)＝eq\f(1－cosα－sinα－1,cosα)＝eq\f(－cosα－sinα,cosα)＝－1－tanα＝eq\f(1,3).11．已知tan(α＋eq\f(8,7)π)＝a.求證：eq\f(sin\f(15,7)π＋α＋3cosα－\f(13,7)π,sin\f(20,7)π－α－cosα＋\f(22,7)π)＝eq\f(a＋3,a＋1).【證明】由已知得左邊＝eq\f(sin[π＋α＋\f(8,7)π]＋3cos[α＋\f(8π,7)－3π],sin[4π－α＋\f(8,7)π]－cos[2π＋α＋\f(8,7)π])＝eq\f(－sinα＋\f(8,7)π－3cosα＋\f(8,7)π,－sinα＋\f(8,7)π－cosα＋\f(8,7)π)＝eq\f(tanα＋\f(8,7)π＋3,tanα＋\f(8,7)π＋1)＝eq\f(a＋3,a＋1)＝右邊，所以原等式成立．12．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三個內角．【解】由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\r(2)sinB，①,\r(3)cosA＝\r(2)cosB，②))①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝eq\f(\r(2),2)或cosA＝－eq\f(\r(2),2).(1)當cosA＝eq\f(\r(2),2)時，cosB＝eq\f(\r(3),2)，又A、B是三角形的內角，∴A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，∴C＝π－(A＋B)＝eq\f(7,12)π.(2)當cosA＝－eq\f(\r(2),2)時，cosB＝－eq\f(\r(3),2).又A、B是三角形的內角，∴A＝eq\f(3,4)π，B＝eq\f(5,6)π，不合題意．綜上知，A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(7,12)π.第三節三角函數的圖象及性質學習目標：1.能畫出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象，了解三角函數的周期性．2．理解正弦函數、余弦函數在區間[0,2π]上的性質(如單調性、最大值和最小值以及及x軸的交點等)，理解正切函數在區間(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))內的單調性.考點梳理：1．周期函數和最小正周期對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得定義域內的每一個x值，都滿足f(x＋T)＝f(x)，則函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期．若在所有周期中，存在一個最小的正數，則這個最小的正數叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質函數y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{x|x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R單調性遞增區間是[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)；遞減區間是[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)](k∈Z)遞增區間是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；遞減區間是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)遞增區間是(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)最大值和最小值ymax＝1；ymin＝－1ymax＝1；ymin＝－1無最大值奇偶性奇函數偶函數奇函數對稱性對稱中心(kπ，0)，k∈Z(kπ＋eq\f(π,2)，0)，k∈Z(eq\f(kπ,2)，0)，k∈Z對稱軸x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Zx＝kπ，k∈Z無對稱軸最小正周期2π2ππ思考：1．是否每一個周期函數都有最小正周期？【提示】不一定．如常數函數f(x)＝a，每一個非零數都是它的周期．2．正弦函數和余弦函數的圖象的對稱軸及對稱中心及函數圖象的關鍵點是什么關系？【提示】y＝sinx及y＝cosx的對稱軸方程中的x都是它們取得最大值或最小值時相應的x.對稱中心的橫坐標都是它們的零點．學情自測：1．函數y＝tan3x的定義域為()A．{x|x≠eq\f(3,2)π＋3kπ，k∈Z}B．{x|x≠eq\f(π,6)＋kπ，k∈Z}C．{x|x≠－eq\f(π,6)＋kπ，k∈Z}D．{x|x≠eq\f(π,6)＋eq\f(kπ,3)，k∈Z}【解析】由3x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z得x≠eq\f(π,6)＋eq\f(kπ,3)，k∈Z，故選D.【答案】D2．函數f(x)＝2cos(x＋eq\f(5π,2))是()A．最小正周期為2π的奇函數B．最小正周期為2π的偶函數C．最小正周期為2π的非奇非偶函數D．最小正周期為π的偶函數【解析】f(x)＝2cos(x＋eq\f(5,2)π)＝2cos(x＋eq\f(π,2))＝－2sinx，故f(x)是最小正周期為2π的奇函數．【答案】A3．(2012·福建高考)函數f(x)＝sin(x－eq\f(π,4))的圖象的一條對稱軸是()A．x＝eq\f(π,4)B．x＝eq\f(π,2)C．x＝－eq\f(π,4)D．x＝－eq\f(π,2)【解析】法一∵正弦函數圖象的對稱軸過圖象的最高點或最低點，故令x－eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴x＝kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z.取k＝－1，則x＝－eq\f(π,4).法二x＝eq\f(π,4)時，y＝sin(eq\f(π,4)－eq\f(π,4))＝0，不合題意，排除A；x＝eq\f(π,2)時，y＝sin(eq\f(π,2)－eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)，不合題意，排除B；x＝－eq\f(π,4)時，y＝sin(－eq\f(π,4)－eq\f(π,4))＝－1，符合題意，C項正確；而x＝－eq\f(π,2)時，y＝sin(－eq\f(π,2)－eq\f(π,4))＝－eq\f(\r(2),2)，不合題意，故D項也不正確．【答案】C4．比較大小：sin(－eq\f(π,18))________sin(－eq\f(π,10))．【解析】∵－eq\f(π,2)＜－eq\f(π,10)＜－eq\f(π,18)＜0，∴sin(－eq\f(π,18))＞sin(－eq\f(π,10))．【答案】＞5．函數y＝2－3cos(x＋eq\f(π,4))的最大值為________，此時x＝________.【解析】當cos(x＋eq\f(π,4))＝－1時，函數有最大值5，此時，x＋eq\f(π,4)＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝eq\f(3,4)π＋2kπ，k∈Z.【答案】5eq\f(3,4)π＋2kπ，k∈Z典例探究：例1（三角函數的定義域和值域）(1)(2012·山東高考)函數y＝2sin(eq\f(πx,6)－eq\f(π,3))(0≤x≤9)的最大值及最小值之和為()A．2－eq\r(3)B．0C．－1D．－1－eq\r(3)(2)函數y＝eq\f(1,tanx－1)的定義域為________．【思路】(1)先確定eq\f(πx,6)－eq\f(π,3)的范圍，再數形結合求最值；(2)由tanx－1≠0且x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z求解．【解答】(1)∵0≤x≤9，∴－eq\f(π,3)≤eq\f(π,6)x－eq\f(π,3)≤eq\f(7π,6)，∴sin(eq\f(π,6)x－eq\f(π,3))∈[－eq\f(\r(3),2)，1]．∴y∈[－eq\r(3)，2]，∴ymax＋ymin＝2－eq\r(3).(2)要使函數有意義，必須有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx－1≠0，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4)＋kπ，k∈Z，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z.))故函數的定義域為{x|x≠eq\f(π,4)＋kπ且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}．【答案】(1)A(2){x|x≠eq\f(π,4)＋kπ且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z},變式訓練1：(1)函數y＝eq\r(2sinx－1)的定義域為________．(2)當x∈[eq\f(π,6)，eq\f(7π,6)]時，函數y＝3－sinx－2cos2x的最小值是________，最大值是________．【解析】(1)由2sinx－1≥0得sinx≥eq\f(1,2)，∴2kπ＋eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，故函數的定義域為[2kπ＋eq\f(π,6)，2kπ＋eq\f(5,6)π](k∈Z)．(2)∵x∈[eq\f(π,6)，eq\f(7,6)π]∴－eq\f(1,2)≤sinx≤1，又y＝3－sinx－2cos2x＝2sin2x－sinx＋1＝2(sinx－eq\f(1,4))2＋eq\f(7,8)，∴當sinx＝eq\f(1,4)時，ymin＝eq\f(7,8)，當sinx＝1或－eq\f(1,2)時，ymax＝2.【答案】(1)[2kπ＋eq\f(π,6)，2kπ＋eq\f(5π,6)](k∈Z)(2)eq\f(7,8)2例2（三角函數的單調性）(2012·北京高考)已知函數f(x)＝eq\f(sinx－cosxsin2x,sinx).(1)求f(x)的定義域及最小正周期；(2)求f(x)的單調遞減區間．【思路】(1)求定義域時考慮分母不為零，然后對f(x)解析式進行化簡，轉化成正弦型函數的形式，再求周期；(2)求單調遞減區間時利用整體代換，把ωx＋φ當作一個整體放入正弦的減區間內解出x即為減區間，不要忽略對定義域的考慮．【解答】(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定義域為{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因為f(x)＝eq\f(sinx－cosxsin2x,sinx)＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))－1，所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)函數y＝sinx的單調遞減區間為[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)](k∈Z)．由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋eq\f(3π,8)≤x≤kπ＋eq\f(7π,8)(k∈Z)．所以f(x)的單調遞減區間為[kπ＋eq\f(3π,8)，kπ＋eq\f(7π,8)](k∈Z)．變式訓練2:(2013·武漢模擬)已知函數y＝sin(eq\f(π,3)－2x)，求：(1)函數的周期；(2)求函數在[－π，0]上的單調遞減區間．【解】由y＝sin(eq\f(π,3)－2x)可化為y＝－sin(2x－eq\f(π,3))．(1)周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π.(2)令2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z.所以x∈R時，y＝sin(eq\f(π,3)－2x)的減區間為[kπ－eq\f(π,12)，kπ＋eq\f(5π,12)]，k∈Z.取k＝－1,0可得函數在[－π，0]上的單調遞減區間為[－π，－eq\f(7π,12)]和[－eq\f(π,12)，0].例3（三角函數的奇偶性、周期性和對稱性）設函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))，給出以下四個論斷：①它的最小正周期為π；②它的圖象關于直線x＝eq\f(π,12)成軸對稱圖形；③它的圖象關于點(eq\f(π,3)，0)成中心對稱圖形；④在區間[－eq\f(π,6)，0)上是增函數．以其中兩個論斷作為條件，另兩個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題________(用序號表示即可)．【思路】本題是一個開放性題目，依據正弦函數的圖象及單調性、周期性以及對稱性逐一判斷．【解答】若①、②成立，則ω＝eq\f(2π,π)＝2；令2·eq\f(π,12)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，且|φ|＜eq\f(π,2)，故k＝0，∴φ＝eq\f(π,3).此時f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3))，當x＝eq\f(π,3)時，sin(2x＋eq\f(π,3))＝sinπ＝0，∴f(x)的圖象關于(eq\f(π,3)，0)成中心對稱；又f(x)在[－eq\f(5π,12)，eq\f(π,12)]上是增函數，∴在[－eq\f(π,6)，0)上也是增函數，因此①②?③④，用類似的分析可得①③?②④.因此填①②?③④或①③?②④.【答案】①②?③④或①③?②④,變式訓練3：已知函數f(x)＝sin(πx－eq\f(π,2))－1，則下列說法正確的是()A．f(x)是周期為1的奇函數B．f(x)是周期為2的偶函數C．f(x)是周期為1的非奇非偶函數D．f(x)是周期為2的非奇非偶函數【解析】周期T＝eq\f(2π,π)＝2，f(x)＝sin(πx－eq\f(π,2))－1＝－cosπx－1，因此函數f(x)是偶函數，故選B.【答案】B小結：兩條性質1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則(1)f(x)為偶函數的充要條件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)為奇函數的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．2．對稱性：正、余弦函數的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形且最值點在對稱軸上，正切函數的圖象只是中心對稱圖形．三種方法求三角函數值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；(2)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范圍，根據正弦函數單調性寫出函數的值域；(3)換元法：把sinx或cosx看作一個整體，可化為求函數在區間上的值域(最值)問題．課后作業(十八)三角函數的圖象及性質一、選擇題1．(2013·銀川模擬)下列函數中，最小正周期為π，且圖象關于直線x＝eq\f(π,3)對稱的函數是()A．y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))B．y＝2sin(2x－eq\f(π,6))C．y＝2sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,3))D．y＝2sin(2x－eq\f(π,3))【解析】根據函數的最小正周期為π，排除C，又圖象關于直線x＝eq\f(π,3)對稱，則f(eq\f(π,3))＝2或f(eq\f(π,3))＝－2，代入檢驗知選B.【答案】B2．函數y＝tan(eq\f(π,4)－x)的定義域是()A．{x|x≠eq\f(π,4)}B．{x|x≠－eq\f(π,4)}C．{x|x≠kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z}D．{x|x≠kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z}【解析】y＝tan(eq\f(π,4)－x)＝－tan(x－eq\f(π,4))，由x－eq\f(π,4)≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x≠nπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，故選D.【答案】D3．函數y＝sin2x＋sinx－1的值域為()A．[－1,1]B．[－eq\f(5,4)，－1]C．[－eq\f(5,4)，1]D．[－1，eq\f(5,4)]【解析】f(x)＝(sinx＋eq\f(1,2))2－eq\f(5,4)，∵sinx∈[－1,1]，∴－eq\f(5,4)≤f(x)≤1，∴f(x)的值域為[－eq\f(5,4)，1]．【答案】C4．(2013·日照質檢)函數y＝sin2x的圖象向右平移φ(φ＞0)個單位，得到的圖象關于直線x＝eq\f(π,6)對稱，則φ的最小值為()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(11π,6)C.eq\f(11π,12)D．以上都不對【解析】函數y＝sin2x的圖象平移后所得圖象對應的函數解析式為y＝sin2(x－φ)＝sin(2x－2φ)，其圖象關于x＝eq\f(π,6)對稱，所以2·eq\f(π,6)－2φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得φ＝－eq\f(k,2)π－eq\f(π,12)(k∈Z)，故當k＝－1時，φ的最小值為eq\f(5π,12).【答案】A5．(2013·北京模擬)已知函數f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx，設a＝f(eq\f(π,7))，b＝f(eq\f(π,6))，c＝f(eq\f(π,3))，則a，b，c的大小關系是()A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a【解析】∵f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx＝2sin(x＋eq\f(π,3))，∴函數f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(π,6)對稱，從而f(eq\f(π,3))＝f(0)，又f(x)在[0，eq\f(π,6)]上是增函數，∴f(0)＜f(eq\f(π,7))＜f(eq\f(π,6))，即c＜a＜b.【答案】B6．已知函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期為6π，，且當x＝eq\f(π,2)時，f(x)取得最大值，則()A．f(x)在區間[－2π，0]上是增函數B．f(x)在區間[－3π，－π]上是增函數C．f(x)在區間[3π，5π]上是減函數D．f(x)在區間[4π，6π]上是減函數【解析】∵T＝6π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,6π)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(1,3)×eq\f(π,2)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，∴φ＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．∵－π＜φ≤π，∴令k＝0得φ＝eq\f(π,3).∴f(x)＝2sin(eq\f(x,3)＋eq\f(π,3))．令2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(x,3)＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，則6kπ－eq\f(5π,2)≤x≤6kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.易知f(x)在區間[－2π，0]上是增函數．【答案】A二、填空題7．(2013·延吉模擬)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(α)＝A，f(β)＝0，|α－β|的最小值為eq\f(π,3)，則正數ω＝________.【解析】由|α－β|的最小值為eq\f(π,3)知函數f(x)的周期T＝eq\f(4,3)π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)8．已知函數f(x)＝3sin(ωx－eq\f(π,6))(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對稱軸完全相同，若x∈[0，eq\f(π,2)]，則f(x)的取值范圍是________．【解析】依題意得ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x－eq\f(π,6))．因為x∈[0，eq\f(π,2)]，所以2x－eq\f(π,6)∈[－eq\f(π,6)，eq\f(5,6)π]，所以sin(2x－eq\f(π,6))∈[－eq\f(1,2)，1]，所以f(x)∈[－eq\f(3,2)，3]．【答案】[－eq\f(3,2)，3]9．已知函數f(x)＝cosxsinx(x∈R)，給出下列四個命題：①若f(x1)＝－f(x2)，則x1＝－x2；②f(x)的最小正周期是2π；③f(x)在區間[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]上是增函數；④f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(3π,4)對稱．其中真命題是________．【解析】f(x)＝eq\f(1,2)sin2x，當x1＝0，x2＝eq\f(π,2)時，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命題；f(x)的最小正周期為π，故②是假命題；當x∈[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]時，2x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，故③是真命題；因為f(eq\f(3π,4))＝eq\f(1,2)sineq\f(3,2)π＝－eq\f(1,2)，故f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(3,4)π對稱，故④是真命題．【答案】③④三、解答題10．已知函數f(x)＝sinxcosx＋sin2x，(1)求f(eq\f(π,4))的值；(2)若x∈[0，eq\f(π,2)]，求f(x)的最大值及相應的x值．【解】(1)∵f(x)＝sinxcosx＋sin2x，∴f(eq\f(π,4))＝sineq\f(π,4)coseq\f(π,4)＋sin2eq\f(π,4)＝(eq\f(\r(2),2))2＋(eq\f(\r(2),2))2＝1.(2)f(x)＝sinxcosx＋sin2x＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(1,2)(sin2x－cos2x)＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sin(2x－eq\f(π,4))＋eq\f(1,2)，由x∈[0，eq\f(π,2)]得2x－eq\f(π,4)∈[－eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)]，所以，當2x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(3,8)π時，f(x)取到最大值為eq\f(\r(2)＋1,2).11．設函數f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)圖象的一條對稱軸是直線x＝eq\f(π,8)，(1)求φ；(2)求函數y＝f(x)的單調增區間．【解】(1)∵直線x＝eq\f(π,8)是函數f(x)圖象的一條對稱軸，∴2×eq\f(π,8)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，即φ＝eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，∴φ＝－eq\f(3,4)π.(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－eq\f(3,4)π)，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(3,4)π≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得eq\f(π,8)＋kπ≤x≤eq\f(5π,8)＋kπ，k∈Z.因此y＝f(x)的單調增區間為[eq\f(π,8)＋kπ，eq\f(5,8)π＋kπ]，k∈Z.12．(2013·濰坊模擬)已知向量a＝(Asinωx，Acosωx)，b＝(cosθ，sinθ)，f(x)＝a·b＋1，其中A＞0，ω＞0，θ為銳角．f(x)的圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為eq\f(π,2)，且當x＝eq\f(π,12)時，f(x)取得最大值3.(1)求f(x)的解析式；(2)將f(x)的圖象先向下平移1個單位，再向左平移φ(φ＞0)個單位得g(x)的圖象，若g(x)為奇函數，求φ的最小值．【解】(1)f(x)＝a·b＋1＝Asinωx·cosθ＋Acosωx·sinθ＋1＝Asin(eq\a\vs4\al(ωx)＋θ)＋1，∵f(x)的圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為eq\f(π,2)，∴T＝π＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝2.∵當x＝eq\f(π,12)時，f(x)的最大值為3，∴A＝3－1＝2，且有2·eq\f(π,12)＋θ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．∴θ＝2kπ＋eq\f(π,3)，∵θ為銳角，∴θ＝eq\f(π,3).∴f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,3))＋1.(2)由題意可得g(x)的解析式為g(x)＝2sin[2(x＋φ)＋eq\f(π,3)]，∵g(x)為奇函數，∴2φ＋eq\f(π,3)＝kπ，φ＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)(k∈Z)，∵φ＞0，∴當k＝1時，φ取最小值eq\f(π,3).第四節函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及三角函數模型的應用學習目標：1.了解函數y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數A，ω，φ對函數圖象變化的影響．2．了解三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型，會用三角函數解決一些簡單實際問題.考點梳理：1．y＝Asin(ωx＋φ)的有關概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一個振動量時振幅周期頻率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ2.用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內的簡圖用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內的簡圖時，要找五個關鍵點，如下表所示x－eq\f(φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3,2)π－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.由y＝sinx的圖象變換得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的圖象(1)先平移后伸縮(2)先伸縮后平移思考：1．五點作法作y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，首先確定哪些數據？【提示】先確定ωx＋φ，即先使ωx＋φ等于0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，然后求出x的值．2．在圖象變換時運用“先平移后伸縮”及“先伸縮后平移”兩種途徑，向左或向右平移的單位個數為什么不一樣？【提示】可以看出，前者平移|φ|個單位，