蕪湖一中2022級高二年級12月份教學質量診斷測試數學試卷滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.準線方程為的拋物線的標準方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意可設拋物線的標準方程為，從而可得，求解即可.【詳解】由拋物線的準線方程為，可知拋物線是焦點在軸負半軸上的拋物線，設其方程為，則其準線方程為，得.該拋物線的標準方程是.故選：D.2.雙曲線的焦點到其漸近線的距離為（）A.4 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】找到焦點與漸近線，利用點到直線的距離求解即可.【詳解】由題可知：雙曲線，其中一個焦點為，其中一條漸近線為，所以焦點到漸近線的距離為，故選:C.3.若無窮等差數列的公差為，則“”是“，”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用等差數列的通項公式和存在量詞的性質即可判斷.【詳解】等差數列的通項公式，當時，，，真命題，即充分行成立；若，則，但，所以，當，時，假命題，必要性不成立.故選：A.4.班級物理社團同學在做光學實驗時，發現了一個有趣的現象：從橢圓的一個焦點發出的光線經橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點處.根據橢圓的光學性質解決下面問題：已知橢圓C的方程為，其左?右焦點分別是，，直線l與橢圓C切于點P，且，過點P且與直線l垂直的直線m與橢圓長軸交于點Q，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由入射光線與反射光線的關系，結合角平分線定理可解.【詳解】由橢圓定義可得，由光學性質可知，為的角平分線，所以.故選：C5.若圓O：過雙曲線的實軸端點，且圓O與直線l：相切，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據圓的方程先求，再利用相切可得，從而可得離心率.【詳解】圓O：的圓心，半徑為，因為圓O：過雙曲線的實軸端點，所以，又圓O與直線l：相切，所以，則，故.所以雙曲線的離心率為．故選:B．6.已知為等差數列，，則（）A.12 B.24 C.26 D.36【答案】A【解析】【分析】根據等差數列的性質即可求解.【詳解】因為,所以．故選：A．7.設是橢圓的上頂點，點在上，則的最大值為（）A.16 B.4 C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】設得，利用，配方后利用的范圍可得答案.【詳解】，設，則，所以，，因為，所以當時，有最大值為.故選：B.8.已知的通項公式為（），若數列為遞減數列，則實數的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據單調數列的定義，，即可求的取值范圍.【詳解】，由數列為遞減數列，則，即恒成立，即，當時，的最小值為，即.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.曲線C的方程為，則下列命題正確的是（）A.若曲線C為雙曲線，則B.若曲線C為橢圓，則，且C.曲線C不可能是圓D.若曲線C為焦點在x軸上的橢圓，則【答案】ABD【解析】【分析】根據的取值結合圓、橢圓、雙曲線方程的特點逐項分析曲線的方程.【詳解】A．因為，所以一正一負，所以曲線是雙曲線，則,故A正確；B．因為，，所以曲線是橢圓，則，且,故B正確；C．因為且，所以曲線是半徑為的圓，故C錯誤；D．因為曲線C為焦點在x軸上的橢圓，,所以，故D正確；故選：ABD.10.設橢圓的右焦點為，直線與橢圓交于兩點，則（）A.為定值B.的周長的取值范圍是C.當時，為銳角三角形D.當時，的面積為【答案】AD【解析】【分析】利用橢圓對稱性及其定義可知A正確，由可知，即可得的周長的取值范圍是，所以B錯誤；利用向量可知角為直角，即可得C錯誤；當時可求得，即可知的面積為，即D正確.【詳解】設橢圓左焦點為，如圖所示：由橢圓對稱性可知，兩點關于軸對稱，可知，所以由橢圓定義可得為定值，即A正確；的周長為，易知當時，，因此周長的取值范圍是，即B錯誤；當時，可得，又，可得，所以，即是直角，即可知為直角三角形，所以C錯誤；當時，易知，頂點到邊的距離為，所以的面積為，即D正確.故選：AD11.已知是拋物線上不同于原點的兩點，點是拋物線的焦點，下列說法正確的是（）A.點的坐標為B.C.若，則直線經過定點D.若點為拋物線的兩條切線，則直線的方程為【答案】ACD【解析】【分析】根據拋物線的方程可得焦點坐標可判斷A，根據焦點弦的性質可判斷B，根據垂直關系得，由兩點坐標求解直線方程即可判斷C，根據切線方程求出切點坐標，進而根據兩點求解直線方程即可求解D.【詳解】因為拋物線，故的坐標為故A正確；由于當直線過焦點時，由拋物線定義可得，但直線不一定過焦點，故B錯誤；若，故，即或（舍去），因為直線，即，得，故直線經過定點，故C正確；設過點的切線方程為，聯立，所以，故或，所以方程的根為，故切線方程中分別為和，故，，可得直線，即，故D正確.故選：ACD.12.若數列滿足，，則稱該數列為斐波那契數列．如圖所示的“黃金螺旋線”是根據斐波那契數列畫出來的曲線．圖中的長方形由以斐波那契數為邊長的正方形拼接而成，在每個正方形中作圓心角為的扇形，連接起來的曲線就是“黃金螺旋線”．記以為邊長的正方形中的扇形面積為，數列的前項和為．下列結論正確的是（）A. B.是奇數C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據數列遞推關系以及特征，即可判斷選項AB，利用累加法即可判斷選項C，利用定義直接求解，表示出，即可判斷選項D.【詳解】該數列為，所以，A正確；由斐波那契數列得每三個數中，前兩個為奇數后一個為偶數，且是奇數，B正確；由，得：，，，累加得，C錯；由，得：，所以，，D對.故選：ABD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在中，，，，則頂點的軌跡方程是__________.【答案】【解析】【分析】由正弦定理化角為邊后確定點軌跡，由雙曲線的標準方程求解．【詳解】∵，，∴，∵，∴由正弦定理得，即，，所以點軌跡是以為焦點的雙曲線的右支(除去頂點)．該雙曲線的半焦距為，實半軸長為，虛半軸長為，所以軌跡方程為．故答案為：．14.一個正實數的小數部分的2倍，整數部分和自身成等差數列，則這個正實數是______.【答案】或【解析】【分析】根據等差數列的知識列方程，化簡求得這個正實數.【詳解】設這個正實數的小數部分是，整數部分是（），自身是，則，所以，由于，，當時，；當時，；當時，，不符合.綜上所述，這個正實數是或.故答案為：或15.已知橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點坐標是，則橢圓的離心率是________．【答案】【解析】【分析】先利用點差法應用弦中點，再求橢圓離心率.【詳解】設直線與橢圓交于兩點，其中，將兩點代入橢圓可得，兩式作差可得，即，又中點坐標是，所以，所以，令，則，所以，所以，故答案為：16.已知拋物線的方程為，過其焦點F的直線交此拋物線于M、N兩點，交y軸于點E，若，，則___________.【答案】【解析】【分析】設直線的方程為，與拋物線方程聯立，由，，分別表示出，利用根與系數關系即可算得答案.【詳解】由拋物線的方程為，得，由題意可得直線的斜率存在且不等于零，則可設直線的方程為，，聯立，消得，則恒成立，則，故，由直線，令，得，則，由，得，所以，所以，由，得，所以，所以，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數列是等差數列，且，．（1）求的通項公式；（2）若數列的前項和為，求及其最小值．【答案】（1）（2），最小值為【解析】【分析】（1）設的公差為，即可得到關于、的方程組，解得、，從而求出其通項公式；（2）根據等差數列求和公式計算可得.【小問1詳解】設的公差為，則，解得，所以．【小問2詳解】由（1）可得，所以當或時，取得最小值，最小值為．18.已知點與點，是動點，且直線與的斜率之積等于（1）求動點的軌跡方程;（2）點為原點，當時，求第二象限點的坐標【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設的坐標為，根據斜率公式把條件表示出來，化簡即可，要注意斜率存在的條件；（2）可以轉化為求兩曲線的交點問題解決.【詳解】（1）設點的坐標為，由題意得（），化簡得.故動點的軌跡方程為（2）∵，故①又由（1）知②由①②得，又點在第二象限內，∴點的坐標為.19.已知動圓與圓外切，與圓內切．（1）求動圓圓心的軌跡方程；（2）求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用圓與圓的位置關系結合橢圓的定義可知，動圓圓心的軌跡是橢圓，求出、、的值，結合橢圓焦點的位置可得出動圓圓心的軌跡方程；（2）設點，則，利用兩點間的距離公式求出的取值范圍，利用橢圓的定義結合二次函數的基本性質可求得的取值范圍.【小問1詳解】解：圓的圓心為，半徑．圓的圓心為，半徑，，所以圓內含于圓．設動圓圓心為，動圓半徑為，由于，所以點的軌跡是以、為焦點，長軸長為的橢圓，從而，，所以，所以點的軌跡方程為．【小問2詳解】解：設點，則，則，則，所以，，所以，，.所以的取值范圍為．20.已知過點的直線與拋物線（）交于，兩點，且當的斜率為時，恰為中點．（1）求的值；（2）當經過拋物線的焦點時，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直線方程后設出交點坐標，代入拋物線方程即可求解；（2）給出直線方程后和拋物線方程聯立，韋達定理結合面積公式即可求解.【詳解】（1）當斜率為時，由得，恰好經過坐標原點，不妨設，則為拋物線上的點．代入拋物線的方程得，解得．（2）由（1）可知拋物線的焦點．當經過時，其方程為．將其與拋物線的方程聯立得．設，，則，．因此的面積．21.已知數列的前項和.（1）求的通項公式；（2）設，為數列的前項和，求證：.【答案】21.22.證明見解析【解析】【分析】（1）利用數列的通項和前n項和之間的關系求解；（2）由，利用裂項相消法求解.【小問1詳解】解：當時，，當時，，當時，不適合上式，所以；【小問2詳解】由（1）知：，當時，，顯然成立；當時，，則，，.結論成立.22.在平面直角坐標系中，橢圓＋，過點的動直線與橢圓相交于兩點.（1）求面積的最大值；（2）是否存在與點不同的定點，使恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）設直線l為與橢圓方程聯立，將表達為k的函數，由基本不等式求最大值即可.（2）先討論直線水平與豎直情況，求出，設點關于y軸的對稱點，證得三點共線得到成立.【小問1詳解】依題意，設，直線的斜率顯然存在，故設直線，聯立，消去，得，因為直線