函數的對稱性（講+練）含答案

知識儲備：函數的奇偶性、單調性、周期性

同一函數的對稱性

軸對稱點對稱

f(a+%)+f(b—x)=2c

于(a+x)=f(b-x)=>/(x)關于％=以；2對稱

=/(x)關于點(2，cj

對稱

推論

f(a+x)=f{a一x)=/(x)關于％=々對稱/(a+x)+f(a-x)=2b=>/(x)關于點(a,b)對稱

/(x)=f(2a-x)=>/(x)關于x=a對稱/(x)+f(2a-x)=2Z?/(x)關于點(a,〃)對稱

/(-x)=/(2a+x)=/(x)關于x=々對稱f(-x)+/(2a+x)=2/?=/(X)關于點(a,》)對稱

特例

偶函數奇函數

f(x)+f(-x)=0或/?(—x)=-fix')

f(x)=f(-x)=關于x=a(y軸)對"稱

n/(x)關于點(0,0)原點對稱

技巧：內部相反軸對稱，內外均反點對稱

【習題精練】

一、單選題

1.已知定義在A上的奇函數/(X)滿足/(x—4)=-/(X),且在區間［0,2］上單調遞增，則()

A./(2019)=/(2017)B./(2019)=/(2020)

C./(2020)>/(2019)D./(2020)>/(2018)

2.已知/(力是定義域為(HO,+8)的奇函數，滿足/(I-x)=/(l+x).若/⑴=2,則

/(1)+/(2)+/(3)+.+/(50)=()

A.-50B.0C,2D.50

3.已知函數/(%)="-%記4=/(也),b=f(—)9c=/(—),則()

A.h>c>aB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

4.已知函數/(x)=lnx+ln(2-x),則()

A.”X)在(0,2)單調遞增B./(X)在(0,2)單調遞減

C.y=/(x)的圖象關于直線x=l對稱D.y=/0)的圖象關于點(1,0)對稱

5.定義在戶上的偶函數/(x)滿足/(X—2)=—/(x+2),對\/冷々€［0,4］,王工/，都有

以史二￡3.〉0,則有()

X］—x2

A./(1921)=/(2021)</(1978)B./(1921)</(1978)</(2021)

C./(1921)</(2021)</(1978)D./(2021)</(1978)</(1921)

6.已知函數/(%)的定義域為R當x<0時，，(幻=V-］；當一啜Jr1時，/(-%)=-/(%)；當時,

，卜+￡)=小則”6)=()

A.-2B.1C.0D.2

7.已知函數/(x)=l+log2X-log2(4-x),則()

A.y=/(x)的圖象關于直線x=2對稱B.y=/(x)的圖象關于點(2,1)對稱

C./(x)在(0,4)單調遞減D.7(x)在(0,4)上不單調

8.已知定義在上的奇函數y=/(%)滿足〃%+2)=-/(力，若四,七40』且x產々時，都有

%,f(x,)+x2/(x2)>x,/(x,)+^/(x2),則下列結論正確的是()

A.》=/(%)圖象關于直線x=2020對稱B.》=/(%)在［2019,2021］上為減函數

C.》=/(%)圖象關于點(2020,0)中心對稱D.》=/(%)在［2020,2022］上為增函數

二、多選題

9.下列函數中，圖象關于原點對稱的是()

A.f(x)=e'-e-xB./U)=—-1

e+1

C./(x)=ln(x+&+1)D.f(x)=Insinx

3

10.已知函數/(X)及其導函數/'(X)的定義域為此記g(x)=/'(x).若.f(；-2x),g(2+x)均為偶函數,

則()

B.g(-g)=()

A./(0)=0C./(-D=/(4)D.g(—D=g(2)

11.已知/(x)是定義在R上的偶函數，且/(x+3)=/(x—1),若當xe[0,2]時，/(x)=2r-l,則下列

結論正確的是()

A.當xe[—2,0]時，"X)=2-、一1B./(2019)=1

C.y=/(x)的圖像關于點(2,0)對稱D.函數g(x)=/(x)-log2X有3個零點

12.據新華社電，記者3月12日從中國衛星導航系統管理辦公室了解到，北斗三號全球衛星導航系統自2020

年建成開通以來，運行連續穩定可靠，持續提供功能強大的衛星導航服務，高精度、短報文等特色服務能

力已得到充分驗證.北斗導航能實現“天地互通”的關鍵是信號處理，其中某語言通訊的傳遞可以用函數

/。)=的、+工竽+箋上+三上+*^近似模擬其信號，/'(x)為/(x)的導函數，則下列說法正確

的是()

TT

A./(x)為偶函數B.的圖象關于點(萬,0)對稱

C.1@)的最小正周期是乃D.尸(x)的最大值為5

三、填空題

13.定義域為"的偶函數/(x)為周期函數，其周期為8,當xe[y0]時，/(x)=x+l,則/(25)=

14.寫出一個同時滿足下列三個條件的函數/(x)的解析式―—?①/(1+幻=/(1一幻；②

33

/(-+x)=-/(--x)；③/U)在(0,1)上單調遞增.

cos—,0<x,,2

2

15.函數/(%)滿足/(x+4)=/(x)(xeR),且在區間(—2,2］上，/(x)=J；，則,/(./(15))

|xH—|,—2<X,,0

I2

的值為.

X

16.已知函數y=/(x+2)為奇函數，且/(x+3)=/(3-x),當XG［0,1］時,/(x)=2+log4(x+l)-l,

給出下列四個結論：

①/(x)圖象關于(—2,0)對稱；

②/(x)圖象關于直線x=1對稱；

③/(2021)=；；

@f(x)在區間(2021,2022)單調遞減.

其中所有正確結論的序號是—

1X1220212022

17.若/(九)=—+k)g2(q),則/(—^)+/(上)+…+/(巴)+〃*)=

八'2*2\-x2023202320232023

答案和解析

1.【答案】A

2.【答案】C

【解答】

解：函數是奇函數，故有/(x)=-/(-x),/(0)=0，

又函數滿足了(I一幻=/(1+幻，即有/(x+2)=-/(x),進而得到了(%+4)=-/(%+2)=/(%),

二函數/(x)是周期為4的函數，

若/(1)=2,可得/(3)=/(-1)=-/(1)=-2,

〃2)=-〃0)=0,/(4)=/(0)=0,

.-./(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0

.??/(I)+/(2)+/(3)+…+/(50)=/(1)+/(2)=2,

故選C.

3.【答案】A

解：函數=尸圖象關于直線x=l對稱，則/(乎)=/(匕等)，

函數在(tq』)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減，立〈上逅<X3<i，

222

則Z?>c>a

故選A.

4.【答案】C

解：由題意得函數/(x)的定義域為(0,2),

f(x)=Inx+ln(2—x)

-ln(-x2+2x)=ln[-(x-l)2+IJ,

所以函數f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減，故選項4,8錯.

由于函數y=—(x—l)2+1,XG(0,2)的圖像關于直線x=l對稱，

所以函數/(x)=Inx+ln(2-x)的圖像關于直線x=1對稱.

故選C.

5.【答案】B

解：因為函數/(x)滿足/(x—2)=—/(x+2),

所以/'@)=-〃x+4),/(x+4)=-/(%+8),得/(x)=/(x+8),

則函數f(x)是周期為8的函數，

所以/(1921)=/(240x8+1)=/⑴，

/(2021)=/(253x8-3)=/(-3),

/(1978)=/(247x8+2)=/(2),

又函數f(x)為偶函數，

|J/(2021)=/(-3)=/(3),

又對任意司,電6［。，4］且斗聲/，都有二">0，

玉一々

則函數/(%)在區間［0,4］上為增函數，

進而有/(D</(2)</(3),

即/(1921)</(1978)</(2021).

故選B.

6.【答案】D

解：因為當時，/(x+-)=/(%--)

222

故y(x+i)=/(x),

所以當x>,時，周期為1,

2

所以/(6)=/(1),

當—啜Ik1時，/(-%)--/(%),

所以/(—D=—/⑴，

因為當x<0時，/(x)=x3-1,

所以/(—D=-2,

故八6)=/⑴=2

故選D

7.【答案】B

［x>0

解：根據題意，函數/(x)=l+log2X-1唯(47),有“C，解可得0cx<4,即函數的定義域為(0,4),

［4—X〉U

/(4-x)=1+log2(4-x)-log2(4-4+x)=l+log2(4-x)-log2x,

有/(4-x)w/(x),則y=/(x)的圖象關于點(2,1)對稱，不關于直線x=2對稱，8正確,4錯誤，

y=l+log2%在(0,4)上為增函數，y=log2(4-x)在區間(0,4)上為減函數，

則/5)=1+1。82犬一1。8式4一為在(0,4)上為增函數，a〃都錯誤，

故選：B.

8.【答案】C

解：函數/(x)為〃上奇函數，.??/(—x)=—/(x),f(x+2)=-f(x),

f(-x)=f(x+2),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

???函數/(x)的一個對稱中心為(0,0),一條對稱軸為x=l,4是函數的一個周期.

對于4根據周期性及對稱性知函數的一條對稱軸為x=2021或x=2019,1選項錯誤；

對于8,e［0,l］且%產w時，都有占/(西)+々/(%)>為/(%)+為，(工2),

且x產々，都有(%-X2)［/(%)一/(%)］>0,

函數/(%)在［0,1］上單調遞增，由奇偶性知函數/(x)在上單調遞增，

???函數/(X)在［—1,1］上單調遞增，再由周期性知函數/(X)在［2019,2021］上單調遞增，6錯誤；

對于G/(2020)=/(0)=0,函數圖象關于點(2020,0)中心對稱，C正確；

對于4x=2021是函數的一條對稱軸，所以函數在［2020,2022］上不單調，〃錯誤.

故選C.

9.【答案】ABC

解：由/(x)=e，—er可得，/(—x)=eT-e'=—/(x),刀右兄二函數為奇函數，圖象關于原點對稱；

2\-ex［~e~xex-1

由/(x)=---------1=——可得，f(-x)=——-=—/(x)，XWR，???函數為奇函數，圖象關于

e'+1e'+1ex+1e*+1

原點對稱；

由/(尤)=ln(x++1)可得,/(-%)=ln(-x+V-X2+1)=In------,=-f(x),xw兄.?.函數為奇函

x+\jx"+1

數，圖象關于原點對稱；

由/(x)=lnsinx知，sinx>0,所以2Z%<x<2左"+?，keZ,定義域不關于原點對稱，則函數為非

奇非偶函數，圖象不關于原點對稱，

故選ABC.

10.【答案】a

【解答】解：由f(=3-2x)為偶函數可知/3(x)關于直線x=?對稱，

由g(2+x)為偶函數可知g(x)關于直線x=2對稱，

結合g(x)=/'(x)，根據g(x)關于直線x=2對稱可知/(x)關于點(2,。對稱，

33

根據/(x)關于直線X、對稱可知：g(x)關于點份,0)對稱，

綜上，函數/'(X)與g(x)均是周期為2的周期函數，所以有/(0)=/(2)=r,所以/不正確;

/(-I)=/(1),./(4)=/(2),/(1)=/(2),故/(—1)=/(4),所以。正確.

13

g(-/)=g(])=0，g(-D=g(D,所以6正確；

又g(l)+g(2)=0,所以g(-l)+g(2)=0,所以〃不正確.

11.【答案】ABD

解：/(x)是定義在??上的偶函數，當xe[0,2]時，f(x)=2x-\,

.?.當xe[-2,0]時，-XG[0,2],

/(x)=/(-x)=2-r-l,故4正確；

函數戶＞)滿足/(x+3)=/(x-1),

/(x+4)=/(%),即函數/(x)的周期函數，周期為4,

.?./(2019)=/(505X4-1)=/(-1)=/(1)=2'-1=1,故3正確；

/(x+3)=/(x-l),函數/(x)為偶函數，

.?..f(x+2)=〃x-2)=〃2-x),

則函數關于x=2對稱，故C錯誤；

由題意，作出函數y=/(x)與y=log2X的圖像，

由圖像得交點個數為3,即函數g(x)=/(x)-log2X有3個零點，故〃正確.

故選

12.【答案】18

解：對于力選項，函數/(x)的定義域分關于原點對稱，

”、，、cos3(-x)cos5(-x)cos7(-x)cos9(-x)cos3xcos5xcoslxcos9x?、

f(-x)=cos(—x)+—-—+—-—+―-—+——=esx+^—+^—+—^―+—^―=/z?,

所以函數/(X)為偶函數，故月正確；

、cos3(x+^r)cos5(x+^)cos7(x+^)cos9(x+%)、

對于8選項，/(x+萬)=cos(x+/)+————-+-----——-+---1——-+————-=-f(x),

即/(x+乃)+.f(x)=O,

又了(x)為偶函數，故/(x+m+/(-x)=o,

故函數/(X)的圖象關于點(三,0)對稱，即6正確；

2

對于。選項，f'M=-sinx-sin3x-sin5x-sin7x-sin9x,

f\x+4)=-sin(x+7T)-sin3(x+%)—sin5(x+不)-sin7(x+4)-sin9(x+兀)=-f\x)

所以對于函數/(%)定義域中任意一個自變量％r(x+?)=r(x)不恒成立,

因此其最小正周期不是"，故。錯誤；

對于〃選項，

f\x)=-sinx-sin3x-sin5x-sin7x-sin9x,

當sinx,sin3x,sin5x,sin7x,sin9x同時取最小值一1時，/'(x)取最大值5,

37r貝ljsin3(,+

當sinx=-l時，x=-——I-2k7r,keZ

2

即sinx,sin3x不能同時取最小值-1，故f'(x)取不到最大值5,即〃錯誤.

13.【答案】0

解：定義域為7?的偶函數/(x)為周期函數，其周期為8,

當xe[-4,0]時，f(x)=x+1,

.-./(25)=/(8x3+l)=/(I)=/(-1)=-1+1=0.

故答案為：0.

14.【答案】/(x)=-COSG(答案不唯一)

33

解：因為/(l+x)=/(D,fE+x)=-fG-x),

3

所以函數/(x)的對稱軸為x=1,函數f(x)的對稱中心為(-,0),

2

易知該函數可以是余弦型函數，

不妨取/(X)=-COS7TX,

當X=1時，"D=_COS乃=1；當X=3時,/(-1)=—COS-1^-=(),

則函數/(X)=-COS兀X滿足條件①②；

因為xe(0,l),則7rxe(0,萬)，

易知函在(0,萬)上單調遞減，

所以函數/(X)=-COSTTX在(0,1)上單調遞增，滿足條件③，

所以函數/(X)=-cosnx.

故答案為：/(x)=-cos4X(答案不唯一，滿足條件即可).

15.【答案】—

2

解：由/(x+4)=/(x)得函數是周期為4的周期函數，

則/(15)=/(16-1)=/(-I)=|一1+g|=g，

/(1)=cos(gx：)=cosgg,

22242

即/(7(15))=孝，

故答案為：注.

2

16?【答案】①②④

解：根據題意，因為y