高中數(shù)學(xué)130個快速解題公式

第1章集合

1.有限集合子集個數(shù):子集個數(shù)：2"個,真子集個數(shù)：2"T個；

2.集合里面重要結(jié)論：

①力=②AUB=厶nBG4；③力nBoAUB④厶=4=B

3.同時滿足求交集，分類討論求并集

4.集合元素個數(shù)公式：n(AUB)=n(A)+n(B)—n[AClB)

第2章函數(shù)

5.幾個近似值：V2々1.414,7371.732,75=2.236,兀七3,142,e七2.718,7.389,ln3七1.0986,ln220.693,

6.分數(shù)指數(shù)塞公式：。卷=/

7.對數(shù)換底公式：logab=lo&b=丁^—

BIO，&Q戮Blog^a

8.單調(diào)性的快速法:①.增+增T增;增—減T增;②.減+減T減;減—增T減；

③.乘正加常，單調(diào)不變：④.乘負取倒，單調(diào)不變：

9.奇偶性的快速法:①.奇土奇T奇;偶土偶T偶；

②.奇x(-T)奇T偶;偶X(:)偶->偶；奇X(小)偶T奇；

10.函數(shù)的切線方程："一次)=/'(向)(力一四))

11.函數(shù)有零點

U3)max>0

12.函數(shù)無零點U>/Q)max&0或/Q)min>0

13.函數(shù)周期性：f(a+x)=f(b+x)的周期T=\b-a\；

14.函數(shù)對稱性：/(Q+N)=f(b—G的對稱軸,=°Jb；

15.抽象函數(shù)對數(shù)型:若/(3/)=/(力)+/匂)，則/(力)=1。&2；

16.抽象函數(shù)指數(shù)型:若/Q+g)=/(力)/匂)，則Ai)=a";

17.抽象函數(shù)正比型:若/(z+y)=f(x)+/匂),則/Q)=k±；

18.抽象函數(shù)一次型：若/'Q)=cMlJ/3)=cc+b；

19.抽象函數(shù)導(dǎo)數(shù)型:若r3)=”乃’則”⑼二既立或負⑼二。；

20.兩個重要不等式：｛；：：；：1]=ln(z+1)<宴<無一1(當且僅當z=0時“=”成立)

21.洛必達法則當/"1或號時使用)

SQg(x)工~*ag(x)g(x)U00

22.恒成立問題糕答器之隔:：

23.證明/Q)>gQ)思路:思路1：⑴4⑼=/(⑼-9(H)="⑼>0(常規(guī)首選方法)

思路2:/(x)min>g3)max(思路1無法完成)

第3章數(shù)列

24.等差數(shù)列通項公式：a?=ay+(n—l)d

■291?

25.等差數(shù)列通項公式：&=…廣丿=nat+'4”

26.等比數(shù)列通項公式：飯=&4-

27.等比數(shù)列通項公式：S“=如'”)=吿+a2

1—g1—Q

28.等差數(shù)列的性質(zhì)：若館+九=「+q,則am+an=ap+aq

29.等比數(shù)列的性質(zhì)：若m+72=p+q,則aman=apaq

30.等差中項:若a,4b成等差數(shù)列，則24=Q+6

31.等比中項:若Q,G,b成等比數(shù)列，則守=而

32.裂項相消法3若(]、=丄—一9r，則有乙=1—-9r=Jr

-

33.裂項相消法2：若一/L-----，貝U有Tn=-^-(l4--I--------------L--------jTo)

n(n+2)2\nn4-2/2\2n+1n+2丿

34.裂項相消法3：若」一二)(」——1一),則有方=)■(丄一一1一)

4+1冊d\anan+[/d\Qian+i)

35?裂項相消法4若儂+])&_])=/壯丁爲)，則有霹=4(1一詁T)

36.錯位相減法求和通式：Tn=2+1唄—，)-畢眄

1-q(1-<7)21-q

第4章三角函數(shù)

37.三角函數(shù)的定義：正弦：sina=叟;余弦：cosa=&；正切：tana=豈；其中：r=y/x2+y2

rrx

38.誘導(dǎo)公式：兀倍加減名不變，符號只需看象限;半兀加減名要變，符號還是看象限。

39.和差公式:①sin(a±￡)=sinacos0±cosasin￡(傘科科傘，符號不反)

②cos(tz土產(chǎn))=cosacos/3+sinasin￡(科科傘傘，符號相反)

③tan(a±0)=；悪;駕(上同下相反)

1十tandftanp

40.二倍角公式:①sin2a=2sinacosa

②cos2a=cos%—sin2a=1—2sin2a=2cos2a—1

③tan2a=2tana

1-tan2a

41.降裏公式：①.sinacosa=，仔°②.sin2a=-—③.cos2a=1+

42.輔助角公式：asintui+bcoswx=Va2+b2sin(wa;+0).(tan0=0)

Q=b

43.正弦定理:盡=2R

sin力sinB

44.余弦定理:①cosA=0+篇——?a2=fe24-c2-26ccosA

2bc

②cosB=+仔-----<=>b2=a24-c2—2accosB

2ac

(3)cosC=。甘；°<=>c2=a2+62—2abcosC

2ab

45.三角形最值原理:三角形中一個角及其對邊已知時.另外兩邊或兩角相等時周長取得最小值，面積取得最大值;

?292?

第5章向量

46.向量加法的作圖:上終下起，中間消去；也+后方=態(tài)

47.向量減法的作圖:起點相同，倒回來讀：反方一屈=削

48.向量平行的判定：⑴向量法：五〃云01=爲；⑵向量法：a//xxy-2-x2yi—0

49.向量垂直的判定：⑴向量法：五丄，=5?，=0;(2)向量法：五丄，0力的+夕演=0

50.向量的數(shù)量積公式：(1)向量法：日?征=同同cos。；⑵向量法：a-b=XiX2+yiy2

51.向量的夾角公式：(1)向量法：cos。=旦?自;(2)向量法：cos。=^巡2[能^

同間/旳+心/曷+必

52.五方向上的單位向量：(1)向量法：3=咅；(2)向量法：3=餐=(

53.證明A.B.C三點共線兩種方法：

(1)兩個向量荏，方方共線且有一個公共點4；

(2)PA=xPB4-yPC(x+y=1)

第6章立體幾何

出力

54.線線角向量法公式：COS0=—pr

\a\\b\

\a-m\

55.線面角：⑴向量法公式：頃“=9卷；⑵幾何法公式：頃皿=hx

a

56.二面角：⑴向量法公式：cos9=土；⑵幾何法公式：cosJ=

H網(wǎng)S原圖

埠料；(2)幾何法公式：瓦=學(xué)

57.點面距：(1)向量法公式：瓦=

\m\6

3V

58.多面體的內(nèi)切球半徑：/=

Si+SzH-----1~Sn

59.長方體的外接球半徑：27?=Va2+624-c2

2

60.直棱錐的外接球半徑:

2r=^A

\R2=r2+(h—Ft)2

61.正棱錐的外接球半徑：°g

sin力

62.正三角形的性質(zhì)：髙：拉=空用面積：S=興心

63.正三角形與圓：內(nèi)切圓半徑：r=艱a,外接圓半徑：R=屮a,且且=?

63r1

64.正四面體的高:斜高：晩=緊a，正高：無正=乎a

厶J

65.正四面體與球：內(nèi)切球半徑r,外接球半徑R,且?=[■且r+R=無正

第7章解析幾何

-293?

66.圓的定義：若P4丄PB,則P的軌跡為以AB為直徑的圓

67.橢圓的定義：若PE+PE=2a（2a>|N￡|）,則P的軌跡為以回用為焦點,2a為長軸的橢圓

68.雙曲線的定義：若|PR|—|P￡|=2a（2aV|月見I）,則P的軌跡為以理毎為焦點,2a為實軸的雙曲線

69.拋物線的定義:到定點R招,0）和到定直線：/=一5的距離相等的點P的軌跡為為雙曲線

70.直線的縱斜截式方程：y=kx+b；直線過y軸上點為3（0,b）且不豎直于x軸

71.直線的橫斜截式方程：2=叫+a：直線過x軸上點為A（a,0）且不平行于。軸

72.直線平行：Zj〃Z20kl=%（瓦7b2）；或AlB2-A2Bl=0

73.直線垂直：厶丄I?。卜1卜2=-1；或44+85=0

74.點點距公式：=/（電一為）2+（例一4）2

75.點線距公式：d=與軍

y/^+B2

76.線線距公式：d=

y/A下2+B-

77.點差法的斜率公式：媼=—孕，版=學(xué)，如="

ayoaryQDo

22

78.通用弦長公式：1=Vl+fcV+x-2）,—ixtX-2,1=+表）［（廿+他產(chǎn)-4加納］

79.圓的弦長公式：l=力

80.焦半徑公式（帶坐標）：

（1）橢圓中：|MR|=a±eg,：⑵雙曲線：|MF|=eg土a,⑶拋物線：\MF\=x0+^-

81.焦半徑公式（傾斜角）：

⑴橢圓中：舟兩；⑵雙曲線：而裊彳⑶拋物線：T±^

82.焦點弦公式（傾斜角）：

⑴橢圓中：.之號；⑵雙曲線：2?⑶拋物線：_2^_

83.拋物線的焦點弦長：/=61+旳+0='j_2p=2P

廠k2smo

2

84.橢圓的焦點三角形面積：S^PF=bta,n-^-

85.雙曲線焦點三角形面積：Ss^Ecot號

86.雙曲線的焦?jié)u距為：b（虛半軸）

87.橢圓的離心率公式：e=—=.11—Ar

aNa~

88.雙曲線的離心率公式：e=*~=Jl++k淪

89.圓錐曲線的離心率公式：|ecosa|=耳二^

M+l|

?294?

90.橢圓.雙曲線通徑公式：爐。1=岑

91.拋物線的通徑公式：|FQ|=2p

92.拋物線焦點弦圓：以拋物線焦點弦為直徑的圓必與準線相切；

93.拋物線焦點弦性質(zhì)：a'+=1，

94.拋物線焦點直線的韋達定理：。四2=±i+g='；2p,=-p-,%+仍=半

95.解析幾何中的向量問題：OA-OB=XtX2+ygOA+OB=(電+旳,伊+佻)

96.向量與夾角問題：(1)乙4OB鈍角?麗V0;

(2)乙4OR銳角o?方>0;

(3)ZAOB直角(OA丄OB)=?赤=0

97.向量與圓的問題：P與以為直徑的圓的位置關(guān)系：

(1)P在圓內(nèi)：乙4P3鈍角oQ彳?麗<0;

(2)P在圓上：乙4PB直角。戸4?麗=0;

(3)P在圓外：NAPB銳角=西?屈>0;

98.坐標軸平分角問題：fci=-k2<=>fci+fc2=0

第8章概率統(tǒng)計

99.頻方圖的頻率=小矩形面積:力=S=yxd=黃;頻率=頻數(shù)/總數(shù)

100.頻方圖的頻率之和：力+病+…+上=1；同時S1+S2+-+Sn=1；

101.頻方圖的眾數(shù):最高小矩形底邊的中點。

102.頻方圖的平均數(shù)：了=式中小+2中加+4中述H-Hrr中歷=z中S+c中2s2+①中3s3H-----F*中,國

103.頻方圖的中位數(shù):從左到右或者從右到左累加，面積等于0.5時加的值。

2

104.頻方圖的方差：$2=(h中］一x)/i+Q中2-元)，+…+(工中?一針九

105.古典概型公式：P(A)=出

106.幾何概型公式：P(A)=￡=m=號

107.常見的排列問題:任職問題.數(shù)字問題.排隊照相問題.逐個抽取問題

108.排列公式：A；：l=n(n-1)-(n-m+1)

109.常見的組合問題:產(chǎn)品抽查問題.一次性抽取問題

n(n—1)???(n—m+1)

no.組合公式：cr=

m(m-1)???3x2x1

111.均值公式：E(x)=±1P1+42P2T-卜①nPn

22

112.方差公式：D(X)=[xt—E(x)]pi^-E-E(c)]2P2H-卜[xn—E(x)]pn

113.互斥事件概率公式：P(A+⑻=P(A)+P⑻

114.對立事件概率公式：P(A)=1-P(A)

115.獨立事件概率公式：P(AB)=P(A)P(B)

?295?

116.獨立事件至少有一個發(fā)生概率公式：P(A+B)=1—P(AB)

117.超幾何分布的概率公式：P(x=k)="注

CN

118.二項分布的概率公式：P(rc=