基本不等式及不等式的應用

考點一基本不等式及其應用

1.(2015陜西，理9,5分)設f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(?^),，r=1(f(a)+f(b)),則下列關

系式中正確的是（）

A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q

答案C由題意得p=lnV^,q=ln^^，r="|(lna+lnb)=lrr\/^二p；.,0<a<b,

.*.p=r<q.

2.(2015福建理，5,5分)若直源+太1(a>0,b>0)過點(1,1),則a+b的最小值等于()

ab

A.2B.3C.4D.5

答案C因為直線'+*=1(a〉0,b>0)過點(1,1)所以1+:=1.所以a+b=(a+b)/-+^=2+^+-^2+2/--=4,

abab\abJba\ba

當且僅當a=b二2時取"=”，故選C.

3.(2015湖南文，7,5分)若實數a,b滿足工+,屬，則ab的最小值為()

ab

A.V2B.2C.2V2D.4

答案c依題意知a>0,b>0，則%32區=等,當且僅當蘭,即b=2a時，"="成立因為牛=疝,

abyabyababab

所以,即abN24i,所以ab的最小值為,故選C.

4.(2014重慶文，9,5分)若log4(3a+4b)=log2y/ab,則a+b的最小值是()

A.6+2V3B.7+2V3C.6+4V3D.7+4V3

答案D由log4(3a+4b)=log2A/誣，

得3a+4b=ab,且a>0,b>0,

4b

.'.a=---,由a>0，得b>3.

b—3

「.a+b=二b+*匕31+12=（b3）+^^+722^/?^+7=4百+7,即a+b的最小值為7+4班.

0—30—30—3

5.（2014福建，9,5分）要制作一個容積為4m3,高為1m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每

平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是（）

A.80元B.120元C.160元D.240元

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答案C設底面矩形的長和寬分別為am、bm,則ab=4.容器的總造價為20ab+2(a+b)x10=[80+20(a+b)]

元，80+20(a+b)，80+40，^=160(當且僅當a二b時等號成立).故選C.

6.(多選)(2022新高考II,12,5分)若x,y滿足x2+y2-xy=l,則()

A.x+y<lB.x+y>-2

C.N+y2g2D.X2+^2>1

答案BC因為x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,且次”？)，所以(1+y)2-3孫N(x+y)2-^(x+y)2=^(x+y)2,故(x+y)2<4,

444

當且僅當時等號成立，§P-2<x+y<2，故A錯誤,B正確.由次考”得1=/+戶孫*+產專”，即好出丸，

當且僅當九0時等號成立.故C正確，D錯誤，故選BC.

7.(多選)(2020新高考/,11,5分)已知。>0,b>0,且a+b=l,則()

A.a2+Z?2>-B.2a—b>-

22

C.log2fl+log2/?>-2D.Va+Vb<V2

答案ABDa>0,b>0,a+b=l,/.0<?<l,0<Z?<l,b=l-a.

陽*=

對于A選項，a2+b2=a2+(1-a)2=2fl2-2tz+l=2^a—0+[2]當且僅當時，取等號，A正確；

對于B選項，a-b=a-(].-a)=2a-\,TOvavl,.??-1<2小1<1,，畀?2。%?,.二？。"〉[成立，B正確；

對于C選項，*.*0<^Z?<-,a>0,b>0,

；?log2〃+log2b=log2(加勺og2A2,C不正確；

對于D選項，:(仿+Vb)2=a+b+2Vab=1+2Vab<1-^-a+b=2，.二VH+VF<&成立，D正確.

8.(2018江蘇，13,5分)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,ZABC=120°zZABC的平分線

交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為.

答案9

解析本題考查基本不等式及其應用.

依題意畫出圖形，如圖所示.

SAABD_*'SABCD~SAABCI

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Ill

即^csin600+-asin60°=-acsin120°,

11

.,.a+c=ac,-i--1

ac

「.4a+c=(4a+c)(-+c4a、八

一+—29,

\aac

r4Q3

當且僅當『工，即a=3c=3時取

一題多解1作DE〃CB交AB于E,；BD為NABC的平分線,

BA_AD_c_

BCDCa

AD_AE_DE_c

.「DE〃CB

ACABBCa+c

—>d—>—>c—>

..BE=---BA,ED=BC.

a+ca+c

—>a—>c—>

.".BD=---BA+----BC.

a+ca+c

—>2(a—>c—A2

：.BD=—BA+—BC],

\a+ca+c/

,■,1=(-BlV+f—BcV+2?-----—\BA\?,

la+c)la+c/a+ca+cV2/

/.4a+c=(4a+c)(-+-)=5+^+—^9,當且僅當匕的,即,c=3時取.

\acJacac2

一題多解2以B為原點，BD所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系,

則D(1,0).*/AB=c,BC=a.。尊-]

-A,D,C二點共線,.".AD//DCi

,,(1")(一條)號痣-1)=0,

「.ac=a+c,.,.-+-=1,

ac

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/.4a+c=(4a+c)(-+-)=5+-+—^9,當且僅當^二"，即a=|,c=3時取.

\acjacac2

Yv

9.(2017山東，12,5分)若直線-+公1(a>0,b>0)過點Q,2),則2a+b的最小值為.

ab--------

答案8

i7

解析由題設可得一二二1,.「a>0,b>0,

ab

.?.2a+b=(2a+b)C+》2+空+2>4+2上*=8(當且僅當，處即b=2a時,等號成立).

\abJab\ab\ab/

故2a+b的最小值為8.

10.(2015重慶文，14，5分)設a,b〉0，a+b=5,則，a+1+"+3的最大值為.

答案3V2

解析解法一：令t=\a+1+7b+3,

貝!］它=?a+1+7b+3)Ja+l+b+3+2，a+1?+3W9+a+l+b+3=18,

當且僅當，a+1=7b+3,

73

即a=2'上萬時，等號成立.

即t的最大值為3A/2.

解法二:設7a+l=m,\b+3=n，則m,n均大于零，

因為m2+n2^2mn,所以2(m2+n2)2(m+n)2,

所以m+nWV^*7mz+序,

所以+1+7b+3W6*+1+b+3=3&,

當且僅當+1=7b+3,

即a=|,b=|時，"="成立，所以所求最大值為36.

考點二應用基本不等式求解最值

(2019天津文，13,5分)設x>0,y>0,x+2y=4,則回墳空擋的最小值為

xy--------

號室-

口木2

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解析本題主要考查基本不等式的運用.考查學生對基本不等式及其簡單變形使用條件