北京市西城區2022-2023學年度第一學期期末試卷

高一數學2023.1

本試卷共6頁，共150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案寫在答題卡上，在試

卷上作答無效。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分,共40分。每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項。

(1)已知集合1={劉-5=》41},B^{x\x9},則4U8=

(A)[-5,3](B)(-3,1]

(C)[-3,1)(D)[-3,3]

2

(2)已知命題p:lv<l,x,則-1P為

(A)Vx&1,x2>1(B)<1,x2>1

(C)Vx<1,x2>1(D)3x51,x2>1

(3)如圖，在平行四邊形/BCD中，

(A)CB

(C)BD

(4)若a>b,則下列不等式一定成立的是

(A)-<-(B)a2>b2

ab

(5)不等式在士Iwl的解集為

x—2

(A)[-3,2](B)(-<x>,-3]

(C)[-3,2)(D)(-OO,-3]U(2,+8)

UUlUI

(6)正方形N8c。的邊長為1,則|48+2/

(A)1(B)3(OG(D)y/5

（7）某物流公司為了提高運輸效率，計劃在機場附近建造新的倉儲中心.已知倉儲中心建

造費用C（單位：萬元）與倉儲中心到機場的距離s（單位：km）之間滿足的關系為

C=—+2S+2000,則當C最小時，s的值為

S

(A)20(B)20V2(C)40(D)400

I+21,

(8)設log23=a,則2=

(A)8(B)11

(C)12(D)18

（9）已知a為單位向量，則“|a+b|-|"=l"是''存在力>0,使得分=癡”的

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

（10）近年來，踩踏事件時有發生，給人們的生命財產安全造成了巨大損失.在人員密集

區域，人員疏散是控制事故的關鍵，而能見度x（單位：米）是影響疏散的重要因

素.在特定條件下，疏散的影響程度左與能見度x滿足函數關系：

0.2,x<0.1,,

A;=<ax*+1.4,O.lwxwlO,（a,b是常數）

1,x>10,

如圖記錄了兩次實驗的數據，根據上述函數“

0.2*?

模型和實驗數據，b的值是J.?

0110r

（參考數據：lg3?0.48）

（A）-0.24（B）-0.48

(C)0.24(D)0.48

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)函數/(x)=睢式]-x)+6的定義域是

(12)某高校調查了200名學生每周的自習時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分

布直方圖，其中自習時間的范圍是[12.5,25],

樣本數據分組為[12.5,15),[15,17.5),[17.5,20),

[20,22.5),[22.5,25].根據頻率分布直方圖，這

200名學生中福周的自習時間不少于20小時的

人數是.

(13)寫出一個同時滿足下列兩個條件的函數/(x)=.

①對Vx1,x2e(0,+oo),有f(x,x2)=f(xt)+f(x2)；

②當X€(4,+8)時，/(x)>l恒成立.

(14)已知函數=若。=一4,貝的解集為____；

[ax,x<0,

若X/xeR,/(x)>0,則。的取值范圍為.

(15)函數f(x)的定義域為R,且VxeR,都有給出下列四個結論:

/(X)

①"0)=1或-1；

②/(x)一定不是偶函數：

③若/(X)>0,且/(X)在(-co,0)上單調遞增,則/(%)在(0,+oo)上單調遞增;

④若/(x)有最大值，則/(x)一定有最小值.

其中，所有正確結論的序號是____.

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

(16)(本小題13分)

某射手打靶命中9環、10環的概率分別為0.25,0.2.如果他連續打靶兩次，且每次打靶

的命中結果互不影響.

(I)求該射手兩次共命中20環的概率；

(II)求該射手兩次共命中不少于19環的概率.

(17)(本小題15分)

已知函數/(x)==J.

x2+1

(I)判斷函數“X)的奇偶性，并證明你的結論；

(II)證明函數/(X)在。,+8)上是減函數;

(III)寫出函數“X)在(-8,-1］上的單調性(結論不要求證明).

(18)(本小題14分)

甲和乙分別記錄了從初中一年級(2017年)到高中三年級(2022年)每年的視力值,

如下表所示.

2017年2018年2019年2020年2021年2022年

甲4.944.904.954.824.804.79

乙4.864.904.864.844.744.72

(I)計算乙從2017年到2022年這6年的視力平均值：

(11)從2017年到2022年這6年中隨機選取2年，求這兩年甲的視力值都比乙高0.05以

上的概率；

(III)甲和乙的視力平均值從哪年開始連續三年的方差最小？(結論不要求證明)

(19)(本小題15分)

函數/(x)=|l-lgx|-c,其中ceR.

(I)若c=0,求/(x)的零點：

(II)若函數有兩個零點占,七區＜x?),求4占+々的取值范圍?

（20）（本小題13分）

某商貿公司售賣某種水果.經市場調研可知：在未來20天內，這種水果每箱的銷售利

潤廠（單位：元）與時間，（1W/W20,/sN,單位：天）之間的函數關系式為r=L+10,

4

且日銷售量O（單位：箱）與時間t之間的函數關系式為p=120-27.

（I）求第幾天的日銷售利潤最大？最大值是多少？

（II）在未來的這20天中，在保證每天不賠本的情況下，公司決定每銷售1箱該水果就捐

贈m（〃好N,）元給“精準扶貧”對象，為保證銷售積極性，要求捐贈之后每天的利潤

隨時間，的增大而增大，求加的取值范圍.

（21）（本小題15分）

設函數〃x）的定義域為。，對于區間/=口力］（a<4/§。），若滿足以下兩條性質之

一，則稱/為/（x）的一個“。區間”.

性質1：對任意xe/,有/（X）G/；

性質2:對任意X€/,有/（X）任/.

（I）分別判斷區間［1,2］是否為下列兩函數的“。區間”（直接寫出結論）；

①y=3-x；②y=3；

X

（II）若。句（機>0）是函數/。）=-/+2、的“。區間”，求機的取值范圍；

（III）已知定義在R上，且圖象連續不斷的函數滿足：對任意且玉片2，

有‘<T.求證：存在“。區間”，且存在x°eR,使得/不屬于“X）

X2-Xj

的所有“。區間”.

北京市西城區2022-2023學年度第一學期期末試卷

高一數學答案及評分參考2023.1

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.

1.A2.C3.B4.C5.C

6.D7.A8.D9.B10.A

二、填空題：本大題共5題，每小題5分，共25分.

11.[0,1)12.60

13.log2x(答案不唯一，對數函數的底數ae(l,4]即可)

14.(-8,0)U(2,+8),-l<a<0

15.①③

注：第14題第一問2分，第二問3分：第15題全部選對得5分，不選或有錯選得0分,

其他得3分.

三、解答題：本大題共6小題，共85分.其他正確解答過程，請參照評分標準給分.

16.(本小題13分)

解：記事件4：某射手第，?次打靶，命中9環，B,：某射手第z?次打靶，命中10環，

其中i=l,2,則尸(4)=P(4)=0.25,尸(8J=尸(%)=0.2.

(1)因為8”與相互獨立，所以

尸(4B2)=P(B\)P(S2)=0.2X0.2=0.04.

即連續打靶兩次，命中20環的概率為0.04.

(II)連續打靶兩次，命中不少于19環，可能第一次命中9環，第二次命中10環，

可能第一次命中10環，第二次命中9環，還可能兩次都命中10環，

即4—+—+用功.

因為4與4，4與4，片與與相互獨立，且同鳥，B&,與層互斥，因此

尸(4一+—+用4)=

P(AIB2)+P(B,A2)+P(B、B2)

=P(AJP(B2)+P(4)P(4)+P(B1)P(B,)

=0.25X0.2+0.2X0.25+0.2x0.2=0.14.

即連續打靶兩次，命中不少于19環的概率為0.14.

17.(本小題15分)

解：(I)因為函數的定義域為R,所以xeR時，-xeR.

又因為/(-x)==-/(幻，所以函數/(X)是奇函數.

(II)任取司,工2￡[L+8),且王<工2，則

+芭一-工2_（芯42—1）（%2—%）

（x；+l）（x；+l）_―（x；+l）（x；+l）

因為1WX]<工2，所以工2-玉>0，x\x2-1>0，

所以/(石)-/(x2)>0,即仆)>f(x2).

根據函數單調性定義，〃x)=f—在[1,+00)上是減函數.

%?+1

(III)/(X)在(-00,-1]上是減函數.

18.(本小題14分)

解：(I)乙從2017年到2022年這6年的視力平均值為

4.86+4.90+4.86+4.84+4.74+4.72

(II)甲的視力值比乙高().05以上的年份有：2017年、2019年、2021年、2022年.

從2017年到2022年這6年中隨機選取2年，所有可能的結果有15種，它們是：

(2017,2018),(2017,2019),(2017,2020),(2017,2021),(2017,2022),(2018,2019),

(2018,2020),(2018,2021),(2018,2022),(2019,2020),(2019,2021),(2019,2022),

(2020,2021),(2020,2022),(2021,2022).

用力表示“這兩年甲的視力值都比乙高0.05以上”這一事件，則A中的結果

有6個，它們是：

(2017,2019),(2017,2021),(2017,2022),(2019,2021),(2019,2022),(2021,2022),

所以，所求得概率P(4)=^=|.

(Ill)甲和乙的視力平均值從2017年開始連續三年的方差最小.

19.(本小題15分)

解：(I)當c=0時，/(%)=|1-lgx|,^|l-lgx|=O,解得力=10,

所以函數零點為x=10.

1-lgx-c,OvxwlO,

(II)由已知，/(%)=

lgx-1-c,x>10,

當C〉0時，/(X)有兩個零點看,％2(石＜%2)'

1+c

1-lgXj=c,lgx2-1=c,所以玉=10J,x2=10,

40

所以4%+x,=4x10?+10,+c=—+10xl0c

1210c

^2^^xl0xl0"=40.

當且僅當片=10x10，，即c=lg2時，等號成立,

所以4芭+w￡[40,4-oo).

20.(本小題13分)

解：(I)設第t日的銷售利潤為/(f),則

/(/)=rp=(；/+10)(120-2t)=-1z2+10Z+1200=-1(/-10)2+1250.

當f=10時,m11ax=1250.

所以第10天的銷售利潤最大，最大值是1250元.

(II)設捐贈之后第f日的銷售利潤為g?),則

g?)=(?+10-⑼。20-2。=-；/+(10+2m)t+1200-120m.

依題意，，"應滿足以下條件：

①加￡N"；

(2)10+2??>19+20=19.5,即機>4.75；

2

@m^-t+10對于1wtW20,feN均成立，即mw10.25.

4

綜上5wmW10,且awN*.

21.(本小題15分)

解：(I)①是，②不是.

(II)ia/=[0,m],S={f(x)\xel},注意到/(0)=0w[0,〃“，

因此，若/為函數/⑴的〃。區間〃，則其不滿足性質②，必滿足性質①,

即SU/.

f(x)=-x2+2x=-(x-I)2+1.