景德鎮(zhèn)市2023-2024學年度上學期期末質量檢測卷高一數學本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據集合的基本運算進行求解即可．【詳解】由題得又因為，所以．故選：D2.下列調查方式中，可用普查的是（）A.調查某品牌電動車市場占有率 B.調查2023年杭州亞運會的收視率C.調查某校高三年級的男女同學的比例 D.調查一批玉米種子的發(fā)芽率【答案】C【解析】【分析】根據普查適合調查對象數目較少的情況來判斷即可.【詳解】選項ABD調查對象的數目較多，適合采用抽查；C調查對象的數目較少，適合采用普查.故選：C3.當且時，函數恒過定點（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由指數函數的性質即可求解.【詳解】當時，，與無關，則函數恒過定點．故選：B.4.已知，則下列判斷正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數函數與對數函數的單調性即可得出結果.【詳解】因為，所以．故選：D5.函數的零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據函數零點存在性定理即可求解.【詳解】由題可知，為增函數，再由，所以，根據零點存在定理知，零點在范圍內．故選：B.6.國家高度重視青少年心理健康問題，某校為了調查學生的心理健康狀況，決定從每班隨機抽取5名學生進行調查．若某班有45名學生，將每一學生從01到45編號，從下面所給的隨機數表的第2行第9列的數開始，每次從左向右選取兩個數字，則選取的第三個號碼為（）隨機數表如圖：251263176323261680456011243253270941145720425332373227073607742467624281219137263890014005232617301423102118A.32 B.37 C.27 D.07【答案】C【解析】【分析】利用隨機數表法，按照給定條件一次選取符合要求的號碼即可.【詳解】從隨機數表第2行第9列的數開始，每次從左向右選取兩個數字，去掉超過45和重復的號碼，選取的前3個數依次為32、37、27，故選取的第三個號碼為27.故選：C7.地震的震級直接與震源所釋放的能量大小有關，可以用關系式表達：，其中為震級，為地震能量．2022年11月21日云南紅河發(fā)生了3.6級地震，此前11月19日該地發(fā)生了5.0級地震，則第一次地震能量大約是第二次地震能量的（）倍（參考數據：）A.110 B.115 C.120 D.125【答案】D【解析】【分析】根據題意結合對數運算分析求解.【詳解】第一次，即①，第二次，即②，①②得，，即由題可知，，故選：D．8.已知（且且），則函數與的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由對數的運算性質可得，討論的范圍，結合指數函數和對數函數的圖象的單調性，即可得到答案.【詳解】由，即為，即有；當時，，函數在上為增函數，在為增函數，選項B滿足；當時，，函數在上為減函數，在為減函數，四個圖象均不滿足，在同一坐標系中的圖象只能是B．故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.從某市高一年級考試的學生中隨機抽查2000名學生的數學成績進行統(tǒng)計分析，在這個問題中，下列說法不正確的是（）A.總體指的是該市高一年級考試的全體學生 B.樣本是指2000名學生的數學成績C.樣本容量指的是2000名學生 D.個體指是指2000名學生中的每一名學生【答案】ACD【解析】【分析】從總體，個體，樣本和樣本容量的定義逐項判斷.【詳解】對于A：總體指的是該市高一年級考試全體學生的數學成績，故A錯誤；對于B：樣本是指2000名學生的數學成績，故B正確；對于C：樣本容量指的是2000，故C錯誤；對于D：個體指是指2000名學生中的每一名學生的數學成績，故D錯誤．故選：ACD.10.下列函數為奇函數的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】借助奇偶性的定義逐項判斷即可得.【詳解】對于選項A：定義域，關于原點對稱，，所以為奇函數，故A正確；對于選項B：定義域或，關于原點對稱，，所以為奇函數，故B正確；對于選項C：定義域，關于原點對稱，，所以為偶函數，故C錯誤；對于選項D：定義域，關于原點對稱，，所以為奇函數，故D正確．故選：ABD.11.2023年8月8日是我國第15個“全民健身日”，“全民健身日”提升全民健身意識，讓健身成為一種習慣和風俗，為倡導健康生活方式，某大學社團聯(lián)合學生會倡議全校學生參與“每日萬步行”健走活動．下圖為該校甲、乙兩名同學在同一星期內每日步數的折線統(tǒng)計圖，則下列說法正確的是（）甲、乙步數折線統(tǒng)計圖A.這一星期內甲的日步數的中位數小于乙的日步數的中位數B.這一星期內甲的日步數的平均數大于乙的日步數的平均數C.這一星期內乙的日步數的標準差小于甲的日步數的標準差D.這一星期內乙的日步數的分位數是12400【答案】BC【解析】【分析】根據折線圖得到這一星期內甲，乙的日步數，都從小到大進行排列，得到中位數后即可判斷選項A；根據平均數計算公式，計算出這一星期內甲，乙的日步數的平均數，比較大小即可判斷選項B；根據圖象觀察甲的波動程度較大，故方差較大，從而判斷選項C；把乙一星期內的步數從小到大進行排列，并計算，故第六個數為所求，即可判斷選項D.【詳解】由折線圖可得甲一星期內的步數從小到大的排列為：，所以中位數為12600；由折線圖可得乙一星期內的步數從小到大的排列為：，所以中位數為12600；故這一星期內甲、乙的日步數的中位數都為12600，A錯誤；這一星期內甲的日步數的平均數為：，這一星期內乙的日步數的平均數為：，因為，故B正確；由圖知，甲的波動程度較大，故方差，標準差較大，故C正確；乙一星期內的步數從小到大的排列為：，故這一星期內乙的日步數的分位數是13800，故D錯誤．故選：BC.12.已知函數，下列說法正確的是（）A.B.函數在上單調遞減C.函數存在零點D.不等式的解集為【答案】BD【解析】【分析】計算即可得A，結合復合函數的單調性的判斷方式可得B，由可得C，結合單調性可得不等式，解出可得D.【詳解】對于A，的定義域為，，故A錯誤；對于B，，當時，、，且都上單調遞增，在上單調遞減，故函數在上單調遞減，故B正確；對于C，，函數沒有零點，故C錯誤；對于D，由前可知，不等式滿足或或，解得，故D正確.故選：BD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數的定義域是______．【答案】【解析】【分析】結合對數函數定義域解不等式即可求解.【詳解】由題意結合對數函數定義域可知，解不等式得，因此函數的定義域是.故答案為：.14.某校有高級教師90人，中級教師150人，其他教師若干人．為了了解教師的健康狀況，從中抽取60人進行體檢．已知高級教師中抽取了18人，則從中級教師中抽取的人數是______．【答案】30【解析】【分析】由題意可先計算抽樣比，再由抽樣比求出結果．【詳解】由題意知，抽取的比例為，則中級教師抽取人.故答案為：3015.已知函數，且滿足，則實數的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】判斷的奇偶性和單調性，再結合一元二次不等式的求解方法，求解即可.【詳解】易知的定義域，關于原點對稱，又，故為奇函數，，又均為上的增函數，故為上的增函數，又為奇函數，故為上的增函數；即，故．故答案為：.16.已知函數定義域為，對于任意，當時，（其中為自然對數的底數），若，則實數的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】將轉化為，構造函數，說明其在單調遞減，又將化為，令，則，又，從而利用函數單調性即可求得答案.【詳解】因為函數的定義域為，所以，則,又因為，，所以，則，令，則，又，所以在內單調遞減函數.因為，所以可變?yōu)椋储伲睿瑒t①可變?yōu)棰冢忠驗椋盛谧優(yōu)椋衷趦葐握{遞減函數，則．故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵在于根據，變形為，從而構造函數，并說明其為單調減函數，由此可解決問題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：（1）（2）【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）應用指數冪的運算法則運算即可；（2）應用對數運算法則運算即可.【小問1詳解】.【小問2詳解】.18.已知函數（1）在給出的坐標系中畫出函數的圖象．（2）根據圖象寫出函數的單調區(qū)間和值域．【答案】（1）圖見解析；（2）函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，值域為.【解析】【分析】（1）利用指數函數和一次函數的圖象特征即可畫出所求分段函數的圖象；（2）根據圖象觀察可知即可得出結果.【詳解】（1）利用指數函數和一次函數的圖象特征即可畫出分段函數的圖象為：（2）由函數的圖像可知，函數的單調遞增區(qū)間為單調遞減區(qū)間為，函數的值域為19.文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者．某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值和樣本成績的四分位數；（2）已知落在的平均成績是65，方差是11，落在的平均成績?yōu)?5，方差是16，求兩組成績的總平均數和總方差．【答案】（1），65，75，84（2）71，38【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質即可求解；（2）由和組的平均數和方差即可求得總平均數和總方差.【小問1詳解】利用每組小矩形的面積之和為1可得，，解得．四分位數分別第25百分位數，第50百分位數，第75百分位數，設第百分位數為，則；設第百分位數為,則；設第百分位數為,則；所以該數據的四分位數分別為65，75，84.【小問2詳解】由圖可知，成績在的市民人數為，成績在的市民人數為，所以；由樣本方差計算總體方差公式可得總方差為．20.已知函數，（，且）．（1）當時，求函數的單調區(qū)間；（2）是否存在實數，使得函數在區(qū)間上取得最大值2？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為（2）存在，或【解析】【分析】（1）根據對數型復合函數單調性即可求解.（2）先令，并求值域，再分別對進行分類求的最大值，進而求的值.【小問1詳解】由題意可得，即函數的定義域為.當時，令，則，對數函數的單調性可知函數在內單調遞增.函數圖象的對稱軸為直線當，函數在上遞增，在上遞減．所以，由復合函數的單調性可得函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.【小問2詳解】，（，且）.令，由，得，則的值域為.（ⅰ）時，在上單調遞減，所以函數在上的最大值為，則，，滿足題意.（ⅱ）時，在上單調遞增，所以函數在區(qū)間上的最大值為，則，滿足題意．綜上所述：的值為或.21.芯片是現代科技發(fā)展的重要組成部分，它的出現和發(fā)展對科技領域產生了深遠影響．芯片的應用非常廣泛，從智能手機、電腦、平板電腦到汽車、醫(yī)療設備、航空航天等領域有著廣泛的應用，為進一步激勵國內科技巨頭加大科技研發(fā)投入的力度．根據市場調查某科技公司生產某款電子產品的年固定成本為50萬元，每生產1萬部還需另投入10萬元．若該科技公司一年內共生產該款電子產品萬部并能全部銷售完；平均每萬部的銷售收入為萬元，且（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬部）的函數解析式；（2）當年產量為多少萬部時，公司在該款電子產品的生產中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．【答案】（1）（2）當產量為40萬部時，利潤最大，最大利潤為550萬元【解析】【分析】（1）由，再根據條件即可求出結果；（2）利用分段函數的最值，先求出和范圍內的最值