2023-2024學年安徽省高二上冊期末數學(文)模擬試題

一、單選題

1.若“rN”是"尸〃？”的必要條件，則加的一個值可以是()

A.0B.2

C.4D.16

【正確答案】B

【分析】根據命題的必要性可知廣加可推出/N，即可求出機的一個值

【詳解】解:由“xW”和“k-2”能得出“/n”，

所以2滿足條件，選項B正確.

故選:B

本題考查根據命題的必要條件求參數，是基礎題.

2.下列求導運算正確的是()

v

A.(sin工)=cos—B.卜一")=e~C.(log2x)=—In2D.(lnx)'=：

【正確答案】D

【分析】利用基本函數求導法則和復合函數求導法則計算出答案

【詳解】卜山1)=與=0，A錯誤;

(b)’=葭?(-力'=七，，B錯誤；

(log,C錯誤；

2xln2

(Inx\=-,D正確.

x

故選：D

3.設4=3-4，，z,=-2+3z,則4-z2在復平面內對應的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【正確答案】D

【詳解】試題分析:--22=(3-4。-(-2+3，)=5-77,對應的點為(5,-7),在第四象限

復數運算及其相關概念

4.方程（3*-2匕6）[唾心+2了）-3]=0表示的圖形經過點40,-1）,8（2,3）,C（2,0）,

中的（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【正確答案】C

本題先根據x+2y>0,排除A,。兩點，再將8（2,3）,C（2,0）兩點代入滿足方程，即可判

斷選項.

【詳解】由方程x+2y>0,可知A,。兩點不符合題意；對于點8（2,3）,x+2y=8=2\

則有log2（x+2y）-3=0；對于點C（2,0）,3x-2y-6=0.

故選：C.

本題考查方程的圖象過點的問題，是基礎題.

5.已知命題P：對任意xeR,總有--x+lNO：q：若02<〃，則“<6.則下列命題為真

命題的是（）

A.7八qB.p—qc.RArgD.PH

【正確答案】B

【分析】先判斷命題P，命題4的真假，在判斷選項的真假

【詳解】由x2-X+l=（X-/2+j>0

所以命題P為真命題

令。=0,6=-1,則/<〃，但是a>b

所以命題4為假命題

故pAf為真

故選：B.

6.已知函數y=「'（x）的圖象如圖所示（其中知（X）是函數/（X）的導函數）,下列說法正確

①函數/(X)在區間(1,+8)內是增加的;

②函數/(X)在X=-l處取得極大值；

③函數/。)在工=-；處取得極大值；

④函數/(X)在X=1處取得極小值.

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】C

【分析】分析導數的符號變化，利用導數與函數單調性的關系可判斷①；利用導數與函數極

值點的關系可判斷②③④.

【詳解】對于①，當X>1時，/(x)>0,則#(x)>0,故函數/(X)在區間(I,+8)內是增

加的，①對；

對于②，當x<-l時，M'(x)<o,則非(x)>0,

當-l<x<0時，礦(x)>0,貝iJ/'(x)<0,

所以，函數/(X)在(-8,-1)上單調遞增，在(-1,0)上單調遞減，

故函數〃x)在尸-1處取得大值，②對；

對于③，由②可知，函數/(x)在(-1,0)上單調遞減，所以，函數/(x)不在x=-；處取得極

大值，③錯；

對于④，當0<x<l時，l(x)<0,貝則/(x)在(0,1)上單調遞減，

又因為函數/(X)在(1,+8)上單調遞增，所以，函數/(x)在X=1處取得極小值，④對.

故選：C.

7.若z(l+i)=2i,則2=

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【正確答案】D

根據復數運算法則求解即可.

【詳解】z==1+i.故選D.

本題考查復數的商的運算，滲透了數學運算素養.采取運算法則法，利用方程思想解題.

8.設復數z滿足|z-i|=l,z在復平面內對應的點為(x,>),貝I」

A.(x+l)2+y2=1B.(x-l)2+/=1C.x2+(^-l)2=1D.x2+(j；+l)2=l

【正確答案】C

【分析】本題考點為復數的運算，為基礎題目，難度偏易.此題可采用幾何法，根據點(X,

y)和點(0,1)之間的距離為1,可選正確答案C.

【詳解】z=x+yi,z—i=x+[y—Y)i,\z-i\=y]x2+(y-1)2=1,貝！Ix2+(y—=1.故選C.

本題考查復數的幾何意義和模的運算，滲透了直觀想象和數學運算素養.采取公式法或幾何

法，利用方程思想解題.

9.為了激發同學們學習數學的熱情，某學校開展利用數學知識設計/og。的比賽，其中某位

同學利用函數圖象設計了如圖的/og。，那么該同學所選的函數最有可能是()

A./(X)=xsinx-cosxB./'(x)=sinx-xcosx

C./(x)=x2+2cosxD./(x)=2sinx+x2

【正確答案】A

【分析】將圖形置于直角坐標系中，結合奇偶性和單調性即可得結果.

【詳解】將圖形置于直角坐標系中，如圖所示：

由圖易知該函數為偶函數，

對于選項B,滿足/(-x)=-sinx+xcosx=-/(x),即/(x)為奇函數，故可排除;

對于選項D,滿足/(-x)=-2sinx+x2,即/(x)為非奇非偶函數，故可排除；

對于選項C,/'(x)=2x-2sinx,

令g(x)=/'(X)=2x-2sinx,所以g'(x)=2-2cosxN。在(0,+s)恒成立，

所以/'(x)=2x-2sinx在(0,+功單調遞增，

所以/'(x)>/'(0)=0在(0,+8)恒成立，

即〃》)=/+28$工在(0,+8)單調遞增，故排除;

故選：A.

【正確答案】C

【詳解】由x2-y2=2,a2=2,b2=2,c2=a2+b2=4,

/-a=V2,c=2.

XV|PFi|-|PF2|=2a,|PFi|=2|PF2|,

，|PFi|=4總PF2|=2五.

又；|FIF2|=2C=4,

，由余弦定理得cos/RPF」叫+［匈T、：.

2x4后x2近4

故選C.

11.已知點P是拋物線/=2x上的一個動點，則點P到點4（0,2）的距離與點P到該拋物線

的準線的距離之和的最小值為（）

姮9

2C

A.B.D.2-

【正確答案】A

【分析】利用拋物線定義得到|，訓+|"|即為點P到點“（0,2）的距離與點P到該拋物線的準

線的距離之和，連接E4,最小值為|力尸|,求出答案.

【詳解】設拋物線的焦點坐標為尸弓則點P到該拋物線的準線的距離等于歸尸|的長,

歸國+/可即為點P到點力（0,2）的距離與點P到該拋物線的準線的距離之和，

連接E4交拋物線于點P，此點即為點P到點”（°，2）的距離與點P到該拋物線的準線的距離

之和的最小值，故最小值為|力尸|,

其中所=引1耍

故選：A

12.已知函數/(x)="-lnx,若/(x)>l在區間(1,內)內恒成立，則實數。的取值范圍是.

A.B.C.(1,+<?)D.[1,+<?)

【正確答案】D

【詳解「??/(x)=ax—lnx,/(x)>l在(1，+8)內恒成立，???。>匕皿在(1，+8)內恒成立,

X

設g(x)="In"，x￡(l,+8)時，g'(x)=-^p<0,即g(x)在(L+oo)上是單調遞減的,

XX

.?.g(x)<g(l)=l，...“21,即a的取值范圍是口，+8),故選D.

點睛：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，由/可》)>0,得函數單調遞增，

r(x)<o得函數單調遞減；考查恒成立問題，正確分離參數是關鍵，也是常用的一種手段.通

過分離參數可轉化為“>Mx)或。<Mx)恒成立，即a>叫呼(x)或。<hmm(x)即可，利用導

數知識結合單調性求出%1t(x)或勾“(x)即得解.

二、填空題

4

13.中心在坐標原點，焦點在x軸上且焦距是8,離心率等于《的橢圓的標準方程為

【正確答案】—+^=1

259

【分析】先求出c,再根據離心率求出“，最后利用a1,c的關系求出62,即可求出橢圓的標

準方程.

【詳解】由焦點在x軸上且焦距是8,可得c=4,

由離心率等于二4可得±c二4;，解得。=5,

5a5

所?以力*2*45=a2—c2=25-16=9?

所以，橢圓的標準方程為《+己=1.

259

14.函數y=xe，在其極值點處的切線方程為.

【正確答案】y=~-

e

【詳解】y=/'（X）=xdn-（X）=（l+x）e",令/'（x）=O=>x=-l,此時/（一1）=一1

e

函數y=在其極值點處的切線方程為y=-l

e

導數的幾何意義.

15.己知某生產廠家的年利潤了（單位：萬元）與年產量x（單位：萬件）的函數關系式為

^=-1X3+81X-234,則使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為萬件.

【正確答案】9

【詳解】由y=-；Y+8Ix-234得;/=-f+81,

由-/+81=0得再=-9（舍去），%=9,

當xe（O,9）時，/>0,函數y=-；/+81x-234為增函數，

當xe（9,+8）時，y'<0,函數y=+81x-234為減函數，

所以當x=9時，函數有最大值為-$93+81x9-234=252（萬元），

使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為9萬件.

故9.

16.從橢圓］+￡=15>6>0）上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點E，/是橢圓與x

軸正半軸的交點，8是橢圓與'軸正半軸的交點，且N8〃0P（。是坐標原點），則該橢圓的

離心率是.

【正確答案】立

2

【詳解】由已知，點P（-c,y）在橢圓上，且在第二象限，代入橢圓方程，得

pf-c,—I.VJ5Z/0P,：.kAB=kOP,即一2=-;L,則人:心.?./=〃+〃=2-則￡=

Va）aaca

巨,即該橢圓的離心率是也.

22

答案：交

2

點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a,b,c的方

程或不等式，再根據a,b,c的關系消掉b得到a,c的關系式，建立關于a,b,c的方程

或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.

三、解答題

17.已知函數/(X)=3X3-9X+5.

(1)求函數/(x)的單調區間：

(2)求函數/(x)在［-3,3］上的最大值和最小值.

【正確答案】(1)遞增區間為(—,-1),。,+8):遞減區間為(T,l)

(2)最大值為59,最小值為-49

【分析】(1)求定義域，求導，解不等式，得到單調區間；

(2)求出極值和端點值，比較后確定最值.

【詳解】(1)/⑶的定義域為R,且/(x)=9d-9=9(x+l)(x-l),

令/'(x)>0得x<-l或x>l,令/'(x)<0得

所以遞增區間為。,+8),遞減區間(7,1)；

(2)

X-3(-3,-1)-1(-1.1)1(1，3)3

/(X)+0-0+

y=/(x)-49單調遞增極大值11單調遞減極小值-1單調遞增59

所以函數/(x)在卜3,3］上的最大值為59,最小值為-49.

18.已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，且長軸長為12,離心率為(

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)已知雙曲線E過點(2百,-J5),且雙曲線E的焦點與橢圓C的焦點重合，求雙曲線E

的標準方程.

【正確答案】(1)1+4=1(2)—-j2=l

【分析】(1)根據橢圓的性質得出方程即可；

(2)設出雙曲線的方程，根據橢圓的焦點坐標得出a；=4,將點(26,-G)代入雙曲線

方程，聯立方程求解即可得出雙曲線的標準方程.

【詳解】解：(1)由題意知，2a=12,￡=：

a3

所以4=6,C=2,所以從=/一/=32

又因為橢圓C的焦點在X軸上，所以橢圓C的方程為1+4=1

3632

22

(2)雙曲線￡的標準方程為彳x一a=1(%>0e>0)

由題可知雙曲線E的焦點坐標為(2,0),(-2,0),所以“；+月=4

又雙曲線E過點(26,-6),所以/一記=1，解得。；=3，b：=l

所以雙曲線E的標準方程為二=1

3

本題主要考查了由。,6,c求橢圓的方程以及雙曲線的方程，屬于中檔題.

19.已知函數〃x)=lnx_6?匚.

(1)求該函數在點處的切線方程；

(2)證明：當x>l時，/(x)<x-l.

【正確答案】(i)x-y-i=o

⑵證明見解析

【分析】(1)求出/(I)、/'(I)的值，利用導數的幾何意義可得出所求切線的方程；

(2)令g(x)=lnx-；/+g,其中x>l,利用導數分析函數g(x)在區間(1,+8)上的單調性

可證得結論成立.

【詳解】(1)解：因為〃x)=lnx-JL，該函數的定義域為(0,+功，則/'(x)='-(x-l),

2x

所以，/(i)=o,r(i)=i.

因此，曲線y=/(x)在點(1J。))處的切線方程為y=x-l,即x_y_i=o.

(2)解：令g(x)=/(x)-(x-l)=lnX：fR,則glx)=1-x=^^,

當x>l時，g'(x)<0,則函數g(x)在(1,+CO)上為減函數，

故當X>］時，g(x)<g(l)=o,則

20.已知拋物線_/=2px(p>0)的焦點為尸，點A是拋物線上橫坐標為4,且位于x軸上方

的點，點A到拋物線準線的距離等于5,過A作48垂直于》軸于點B,線段08的中點為M.

(1)求此拋物線的方程；

(2)己知K(3,0),以點M為圓心，MB為半徑作圓“，試判斷直線4K與圓M的位置關系并

說明理由.

【正確答案】(l)V=4x

(2)相離,理由見解析

【分析】(1)利用拋物線的定義，求出P,即可求得拋物線的方程；

(2)先求出直線4K的方程，結合圓心"(0,2)到直線ZK的距離，判斷出d〉r,從而可

知直線ZK與圓〃相離.

【詳解】(1)因為A是拋物線上橫坐標為4、且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的

距離等于5,所以4+^=5,所以p=2,

所以拋物線方程為：y2=4x.

(2)由題意得,K(3,0),點A的坐標為(4,4),點B的坐標為(0,4),圓M的圓心是點(0,2),半

徑為2.

所以直線力K的方程為y=4(x-3),即為4x-y-12=0,

圓心M(0,2)到直線4K的距離"=交空=」±=*叵＞廠，

V16+1由17

故直線4K與圓/相離；

V.22

21.設耳,工分別是橢圓］+4=1伍＞6＞0)的左、右焦點，M,N分別為其短軸的兩個端

點，且四邊形M寫入外的周長為4,設過耳的直線/與E相交于力，8兩點，且|4B|=:

(1)求|力6|?忸巴|的最大值；

(2)若直線/的傾斜角為45。求△48名的面積.

【正確答案】(1)1

【分析】(1)由橢圓的定義、恒川求出以周+忸國，再由基本不等式可得答案；

(2)設/的方程為y=x+c,代入橢圓方程，設省占,必)，8(X2,為)，由韋達定理代入

=可求出〃、c以及/的方程，再利用點到直線的距離公式可得用至心

的距離，由三角形面積公式可得答案.

【詳解】(1)四邊形M耳性為菱形，周長為4,

由橢圓的定義可知|阿|+|嶼|+|明|+|叫|=4"4,；.斫1,

M=p周+忸周+M用+忸制=4,

Q

??.I盟|+|%|=9

中用?此4她普到

k2/9

當且僅當|同=忸曰=：時，等號成立，即|網?此的最大值為替

(2)直線/的傾斜角為45”,.?.可設/的方程為V=x+c,其中c=?^，

由(1)知橢圓E的方程為一+，=1,

直線方程代入橢圓方程，化簡可得(1+/>2)X2+2cx+l-2/=0,

-2c\-2b2

設/(%,必)，B(x2,y2),則％+%

-2cA,1-2Z)

-----r-4x------r-

\+b2Ji+b2

...小…咚

I的方程為y=x+

S=—\A^\xl=—x—xl=—.

‘A％BF?233

22.已知函數/(x)=；/+inx.

2

⑴求證：在區間(l,+8)上