2023-2024學年湖北省區域聯考高一下冊期中數學模擬試題

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.一條弦的長等于半徑,則這條弦所對的圓心角為()

___π_π

A.1B.2C.-D.--

36

2.已知在復平面內,。是原點,向量方,而對應的復數分別為3-5，,-2+41,那么向量而對應的復

數的虛部是()

4.己知|i=4,工為單位向量,當向量Z工的夾角α為與-,則向量Z在向量)上的投影向量為()

A.aB.eC?-IeD.—e

5.設/(x)是定義在(-8,0)U(0,+∞)上的奇函數,對任意的xl,x2e(0,+∞)滿足―)-"&)<O且

陽F

八2)=4,則不等式/*)>2》的解集為()

A.(-2,0)U(2,+∞)B.(-2,0)U(0,2)

C.(-00,-2)U(2,+∞)D.(―∞,—2)U(0(2)

6.宜昌奧林匹克體育中心為了迎接4月12日湖北省第十六屆運動會開幕式,將中心內一塊平面四邊

3τz^

形ABCD區域設計燈帶.已知燈帶AB=CD=10米,BC=20米，AD=TOe米，且=彳，

則cosZBCD=()

3

A.-B.0

5

4D逮

C.一

510

7.在?ABC中,已知AB=4,NABC=?,外接圓半徑為2尹,點M,N分別是AC,AB的三等分點

(CM=g04AN=；AB),BM與CN相交于點P,則/MPN的余弦值為()

8.已知/(X)=CoS(0X+令在0,y上的最小值為則O的解有()個

A.lB.2C.3D.4

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知平面內四點4B,C,r＞可構成平行四邊形,其中/(7,3),8(2,l),C(-3,-2),則點。的坐標可能

為()

A.(0,-4)B.(-6,l)C.(-6,0)D.(4,6)

10.下列函數中,以乃為最小正周期,且在區間('7)上單調遞增的是()

A.y=tanxB.y=∣sinx∣C.?=cos2xD.y=-SinXCoSX

11.在A48C所在的平面上存在一點P,萬=X+〃就(Z〃eR),則下列說法錯誤的是()

A.若2+"=l,則點P的軌跡不可能經過ZUBC的外心

B.若丸+〃=-2,則點P的軌跡不可能經過ZUBC的垂心

C.若；l+〃=g,則點尸的軌跡可能經過A48C的重心

D.若2=〃，則點P的軌跡可能經過ZUBC的內心

12.已知AABC是邊長為2的等邊三角形,平面ABC內有兩動點M,N滿足

MN=xMA+yMB+zMC(x+y+z=l,x,y,z≥0).若IMNI=2,則面.礪的值可能為()

A.—1B.2C.6—4^3D.0

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

已知tanα=5,7<α<°乃,貝IJcos2a

13.

2

14.若平面內不共線的三個向量a,b,c兩兩的夾角相等,且IZI=2,∣hI=2,∣c∣=5,則

?a+2h-c?=.

15.在MBC中,已知tan8,tanC是X的一元二次方程加/_%十百=。的兩個實根,則

4=

π

+a?x?19x1≤--^x≥-

己知函數/(X)=222,若函數吟兒外)］卡有5

16.個零點,則實數。的取值

ππ

t3∏X,-----<X<—

22

范圍是______

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本題滿分10分)

已知∕=(1,O),B=(-2,1).

(1)若方=2+瓦元=d-w5,且48,C三點共線,求加的值.

(2)當實數％為何值時,G-防與-31+2萬垂直？

18.(本題滿分12分)

要得到函數/(x)=2Sinl2x+等)的圖象,可以從正弦函數或余弦函數圖象出發,通過圖象變換得

到,也可以用“五點法”列表、描點、連線得到.乂1

------------------------------------------------------------2^

-----------------------------------1.

OJL2π7πx

16TT

_________-1?

(1)由y=sinx圖象變換得到函數/(x)的圖象,寫出變換的步驟和函數；_2

兀7TT

(2)用“五點法”畫出函數/(x)在區間上的簡圖.

OO

19.(本題滿分12分)

已知函數/(x)=2siι√X-JJeoS2(x+?)-〃Z在區間［0,上的最大值為5

(1)求常數機的值；

(2)求函數/(x)的單調遞減區間.

20.(本題滿分12分)

已知函數/(X)=1%(匕?)為奇函數，g(x)=λ-4x-2x+1-Λ(Λ>0),.

X-I

⑴求實數加；

(2)求函數g(χ)在區間［1,2］上的最小值；

21.(本題滿分12分)

宜昌卷橋河濕地公園是一幅美麗的田園濕地畫卷,它將自然山體、陽光草坪、親水草灘、芒草濕

地、溪谷密林等有機融合,設計的十分精致優美.為了迎接2023年的春天,公園里開辟了一塊等腰直角

三角形/8C農田種植七彩油菜,其斜邊BC=300米.為了方便游客觀光,欲在BC上選擇一點。,修建

IT

兩條觀賞小徑QMQN點M,N分別在邊AB,AC上,且小徑QM,QN與邊BC的夾角都是1.區域

QMB和區域。NC種植粉色油菜,區域Z"0N種植黃色油菜.

(1)隨著春天到來,油菜均已開花,為了游客深度體驗觀賞,準備在種植黃色油菜區域內修建小徑

MN,當點。在何處時，三條小徑QN,"N)的長度之和最小？

(2)種植粉色油菜的成本是100元/平方米，求種植粉色油菜的最少費用.

22.(本題滿分12分)

定義非零向量OM=(α,b)的"伴隨函數"為/(》)=“05》+心出》(》￡11),非零向量。0=(4力)為

函數/(x)=αcosx+6sinx(xeR)的“伴隨向量”(其中。為坐標原點).

R),求出與/G)的“伴隨向量”共線的單位向量;

(2)已知點M(α,6)滿足a1-5ab+6/<O(Rj≠0),向量兩的“伴隨函數"g(x)在X=Xo處取得最

小值,求tan(2x0-力的取值范圍；

(3)向量刀=(LO)淇“伴隨函數”為例x),已知人(a)+〃(力)=〃3+夕),求Ma)的取值范圍.

數學答案

一、單項選擇題

1.C2.D2.D3.B4.C5.D6.A7.C8.C

二、多項選擇題s

9.ACD10.AC11.ABC12.BCD

三、填空題

13.--14.^6715—16.(θ,l]

136

四、解答題

17.解：(1)Σδ≈(-l,l)5C=(l+2∕M,-7M)(2分)

因為A,B,C三點共線，所以存在實數λ,使得Z=

[1+2m=-A

整理得(1+2儀-W=(Y㈤,所以＜,解得加=7.故加的值為-L(5分)

[-m-λ

(2)a-kb=(i+2k,-k),-33+2b=(-7,2).(7分)

因為石-序與-3,+2$垂直，

7

所以一7x(l+2左)+2χ(-%)=0,解得人=一’.(10分)

16

18.解：(1)步驟1:把V=Sinx圖象上所有點向左平移整個單位長度，得到函數I=Sin(X+學的圖

象；

步驟2：把N=Sin(x+爭圖象上所有點的橫坐標變為原來的g倍(縱坐標不變),得到函數〉=sin(2x+爭

的圖象；

步驟3:最后把函數y=sin(2x+g)的圖象的縱坐標變為原來的2倍(橫坐標不變)，得到函數

y=2sin(2x+§)的圖象.(6分)

或者步驟1:步驟1:把V=Sinx圖象上所有點的橫坐標變為原來的g倍(縱坐標不變)，得到函數

y=sin2x的圖象；

步驟2：把y=sin2x圖象上所有點向左平移/單位長度，得到函數y=sin2(x+學=sin(2x+爭的圖象

步驟3：最后把函數N=Sin(2x+^2τr)的圖象的縱坐標變為原來的2倍(橫坐標不變)，得到函數

y=2sin(2x+g)的圖象.(6分)

9TT

(2)因為2》+可€[肛3幻,列表:

,2π3π5π3π

2xH-----π2π

3~2T

π5π2π1lπ7π

X

6TIT12T

yO-2O2O

(12分)

___._7C-_7VTZ5兀

19.解：(1)化簡可得：/(x)=2sin(2x-y)+[-ιn因為x∈0,—,所以I2x~w∈

626OO

rrTT

則當2工-7=彳時，/(x)取得最大值3-〃?，故3-m=5,即〃?=-2.(6分)

62

TrTrRTr

(2)/(x)的單調遞減區間需要滿足：→2kπ≤2x-^≤^-+2kπ(keZ),

262

Ir5TT

解得一+E≤∕≤-+kn(k∈Z),

36

所以/(X)的單調遞減區間為.→kπ,^+kπ(AeZ)(12分)

20.解：⑴解:因為/(x)為奇函數，所以/(τ)+∕(x)=0,

2

所以l0g3?+m+Iog"+'n=Iog")=O在定義域內恒成立，

x-13-X-I3X-1

整理，得V-/=/.］在定義域內恒成立，所以∕=ι,解得m=±1,

當加=-1時，/。)=嚏3口的定義域為卜口力1},定義域不關于原點對稱，此時/(X)沒有奇偶性,

當M=I時，/(x)=log3"的定義域為(-∞,-l)"l,?κo),關于原點對稱，

且/(一工)=1。83三二|=’1)=1。83的：=1。83仔二：］=-Iog3),符合題意，

-x+1X-IIX+1)x÷1

綜上可得：加=1；(5分)

(2)g(x)=2-4v-2'+'-Λ=Λ(2Λ)2-2-2v-Λ,%∈［1,2］,令2*=f,

則上述函數化為八/)=〃+2-2,2e［2,4］.因為2>0,則對稱軸f=J>O

Λ

1)當J≤2,即∕l≥1時?，函數”/)在［2,4］上單調遞增，故MfL=M2)=44-4-4=34-4；

A2

2)當2<。<4,即J<zl<:時，函數y(f)在卜;I上單調遞減，在［J,/上單調遞增，故

Z42|_ΛJ\_A

MU=乂；)=-"；；

?Λy?

3)當;≥4,即0<2≤(時，函數爪。在［2,4］上單調遞減，故y(f)m,ιι=y(4)=15X-8.

綜上所述：①當2≥1時，g(x)的最小值為32-4；②當;時，g(x)的最小值為;③

242Z

當0<2≤;時，g(x)的最小值為154-8.(12分)

21?解：⑴在中,〃叫”一5π-彳π=耘5π,由正弦定理可得：?OM?-B?O,

即QM=sm45￥=2QB=電-I)QB,同理可得0N=(√J-1)℃,

sin75°√2÷√6、、

4

所以。Λ∕+0N=(G-I)(QC+Q8)=(√J-1)8C=3OO(√J-1);(3分)

在A0WN中，由余弦定理可得：MN2^QM2+QN2-2QM?QNcos60°,

即叱=3+刎-3QΛ∕3N(B+2N"3x≡^’

所以收√2≥(2"+紗［,MN≥QM+QN,又因為QΛ∕+0N=3OO(√i-l),

42

故MN≥150(√J-l),當且僅當。Al=QN=150(√J-l)時等號成立.

故當。點是BC的中點時，三條小徑(QM,QN,MN)的長度之和最小，最小為450(e-1)；(7

分)

1/7

(2)由(1)可知0M=(√i-l)0E,故KBoM=∕?QB?0M?sin6OP=左.(及一1磔2,

*.5I)M,所以⑥+%*暮(氏雙陰+”)=

同理可得：SgN

3-√3(gB+gC)2,3-√3

[(Q8+0C)2-IQB-QC]>+0C)2-2×1(QBQC)2=

4448

3-√3

BC?=11250(3-百)(當且僅當QB=QC=150時取得最小值11250(3-√J)),

8

故最少費用為11250(3-√J)X1OO=1125000(3-√J).(12分)

csx3=Sinx+@CoSX

22.解：(1)因為/⑺=百乂'^-^_2(_cos?_?sjnx)-

22

故/(X)的“伴隨向量"麗=［日、

,1,所以，與兩共線的單位向量為±|干,(3分)

/\

(2)的“伴隨函數"g(?)=αcosx+Asinx=√^+6^sin(x+^),ta∏^=-,

b

因為/(X)在X=XO處取得最小值，所以，^x0+φ=^-+2kπ,keZ,即。=￡-。+2Aπ,k∈Z時，/(x)

(3π_.

有最小值，所以SinXo=Sin(^?-g+2?π)=—CoSe，

f/TTFCOsx0=CoS[3-9+2?

所以tanXo=.①=——,因為/—5αb+6〃<0(ob≠0),所以1一5—F6(—)2<0,即—<一<—

sinφtan￠7a