2022年遼寧省沈陽市重工第一高級中學高二數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2a，E、F分別是AB、CD的中點，，則異面直線AD與BC所成的角為（

）A．30

B．45

C．60

D．90參考答案：C略2.展開式中只有第六項二項式系數最大,則展開式中的常數項是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A

解析：只有第六項二項式系數最大，則，

，令3.已知命題：，則（

）

A．

B．C．

D．參考答案：C略4.在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，則b等于(

)A．4 B． C．4 D．參考答案：A【考點】正弦定理．【專題】解三角形．【分析】先求得A，進而利用正弦定理求得b的值．【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，由正弦定理知=，∴b===4，故選A．【點評】本題主要考查了正弦定理的運用．考查了學生對基礎公式的熟練應用．5.復數滿足條件：，那么對應的點的軌跡是（）Ａ．圓 Ｂ．橢圓 Ｃ．雙曲線 Ｄ．拋物線參考答案：A6.函數的一個零點在區間內，則實數的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：C7.函數的一個單調遞增區間為

()A．

B．

C．

D．參考答案：D8.(n∈N＋)的展開式中含有常數項為第()項A．4

B．5

C．6

D．7參考答案：B9.若正實數滿足，則（

）

A．有最大值4 B．有最小值

C．有最大值

D．有最小值參考答案：C10.若點是的外心，且，則實數的值為（

）A． B．

C．1

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，已知正三棱柱的所有棱長均為，則異面直線與的距離是_______．參考答案：12.已知數列{an}滿足條件a1=–2,an+1=2+,則a5=

參考答案：

13.已知等比數列｛｝中，a1＋a2=9，a1a2a3=27,則｛an｝的前n項和Sn=___________．參考答案：略14.已知中心在原點且焦點在x軸的雙曲線C，過點P(2，)且離心率為2，則雙曲線C的標準方程為____________．參考答案：略15.在平面直角坐標系xOy中，拋物線x2=2py（p＞0）上縱坐標為1的一點到焦點的距離為3，則焦點到準線的距離為．參考答案：4【考點】拋物線的簡單性質．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】先根據拋物線的方程求得準線的方程，進而利用點A的縱坐標求得點A到準線的距離，進而根據拋物線的定義求得答案．【解答】解：依題意可知拋物線的準線方程為y=點A與拋物線焦點的距離為3，∴縱坐標為1，點A到準線的距離為+1=3，解得p=4．拋物線焦點（0，2），準線方程為y=﹣2，∴焦點到準線的距離為：4．故答案為：4．【點評】本題主要考查了拋物線的定義的運用．考查了學生對拋物線基礎知識的掌握．屬基礎題．16.已知兩條直線和相互平行，則

.參考答案：或略17.已知動圓與圓和圓都外切,則動圓圓心的軌跡方程是_____________。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知圓的方程為,點是坐標原點.直線與圓交于兩點.

(Ⅰ)求的取值范圍;(Ⅱ)求的中點的軌跡;(Ⅲ)設是線段上的點,且.請將表示為的函數.參考答案：解:(Ⅰ)將代入得則,(*)由得.所以的取值范圍是

...........................3分(Ⅱ)的軌跡方程,的軌跡是以(0，2)為圓心,2為半徑的圓在圓內的一段圓弧,去掉點(0，4)............................3分(Ⅲ)因為M、N在直線l上,可設點M、N的坐標分別為,,則,,又,由得,,所以由(*)知,,所以,因為點Q在直線l上,所以,代入可得,由及得,即.依題意,點Q在圓C內,則,所以,于是,n與m的函數關系為()...........................6分19.已知函數.（I）求函數的定義域；（II）判斷函數的奇偶性；（III）當時，函數，求函數的值域。參考答案：解：（I）由得﹣1＜x＜1，則函數的定義域為﹙﹣1,1﹚；（II）當x﹙﹣1,1﹚時，，所以函數是奇函數；（III）設，當時，，則函數在區間上是減函數，所以函數g(x)在區間上也是減函數，則函數的最大值為，最小值為，所以函數的值域為[﹣1,1].略20.（本小題滿分14分）已知函數的定義域為，且,，當，且，時恒成立.（1）判斷在上的單調性；（2）解不等式；（3）若對于所有，恒成立，求的取值范圍.參考答案：（1）∵當，且，時恒成立，∴

，

∴

，…………2分∴

時，∴

，時，∴

…………4分∴

在上是單調增函數

…………5分（2）∵

在上是單調增函數，且

∴，…………7分解得…………8分故所求不等式的解集…………9分

（3）∵

在上是單調增函數，，

∴，…………10分若對于所有，恒成立，則，恒成立，…………11分即，恒成立，令，要使在恒成立，則必須，解得，或…………13分則的取值范圍是…………14分21.設函數．（1）求函數的定義域，并判斷函數的奇偶性；（2）若，解不等式；（3）若，且在上的最小值為，求的值．參考答案：(1)的定義域為，關于原點對稱，，為奇函數。…………4分（2），f(x)在R上單調遞減

…………6分不等式化為，解得

…………9分…………10分，由（1）可知為增函數令h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2(t≥)

…………13分若m≥，當t＝m時，h(t)min＝2－m2＝－2，∴m＝2若m<，當t＝時，h(t)min＝－3m＝－2，解得m＝>，舍去綜上可知m＝2

…………15分

略22.四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，PD=1，AB=，BC=CD=，AD=1．（1）求異面直線AB、PC所成角的余弦值；（2）點E是線段AB的中點，求二面角E﹣PC﹣D的大小．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；異面直線及其所成的角．【分析】（1）以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，過C點作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AB、PC所成角的余弦值．（2）求出平面PCE的法向量和平面PCB的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣PC﹣D的大小．【解答】解：（1）以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，過C點作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，A（，，0），B（0，，0），C（0，0，0），P（），=（﹣，0，0），=（﹣），設異面直線AB、PC所成角