數列根底知識點總結——總結：河南師范大學數學院毋曉迪A、1．概念與公式：①等差數列：1°.定義：假設數列稱等差數列；2°.通項公式：3°.前n項和公式：公式：②等比數列：1°.定義假設數列〔常數〕，那么稱等比數列；2°.通項公式：3°.前n項和公式：當q=1時2．簡單性質：①首尾項性質：設數列1°.假設是等差數列，那么2°.假設是等比數列，那么②中項及性質：1°.設a，A，b成等差數列，那么A稱a、b的等差中項，且2°.設a,G,b成等比數列，那么G稱a、b的等比中項，且③設p、q、r、s為正整數，且1°.假設是等差數列，那么2°.假設是等比數列，那么④順次n項和性質：1°.假設是公差為d的等差數列，組成公差為n2d的等差數列；2°.假設是公差為q的等比數列，組成公差為qn的等比數列.〔注意：當q=－1，n為偶數時這個結論不成立〕⑤假設是等比數列，那么順次n項的乘積：組成公比這的等比數列.⑥假設是公差為d的等差數列,1°.假設n為奇數，那么而S奇、S偶指所有奇數項、所有偶數項的和〕；2°.假設n為偶數，那么〔二〕學習要點：1．學習等差、等比數列，首先要正確理解與運用根本公式，注意①公差d≠0的等差數列的通項公式是項n的一次函數an=an+b;②公差d≠0的等差數列的前n項和公式項數n的沒有常數項的二次函數Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比數列的前n項公式可以寫成“Sn=a(1-qn)的形式；諸如上述這些理解對學習是很有幫助的.2．解決等差、等比數列問題要靈活運用一些簡單性質，但所用的性質必須簡單、明確，絕對不能用課外的需要證明的性質解題.3．巧設“公差、公比”是解決問題的一種重要方法，例如：①三數成等差數列，可設三數為“a,a+m,a+2m〔或a-m,a,a+m〕”②三數成等比數列，可設三數為“a,aq,aq2(或，a,aq)”③四數成等差數列，可設四數為“”④四數成等比數列，可設四數為“”等等；類似的經驗還很多，應在學習中總結經驗.[例1]解答下述問題：〔Ⅰ〕成等差數列，求證：〔1〕成等差數列；〔2〕成等比數列.[解析]該問題應該選擇“中項”的知識解決，①②①②[評析]判斷〔或證明〕一個數列成等差、等比數列主要方法有：根據“中項”性質、根據“定義”判斷，.①②①②〔Ⅱ〕等比數列的項數n為奇數，且所有奇數項的乘積為1024，所有偶數項的乘積為，求項數n.[解析]設公比為〔Ⅲ〕等差數列{an}中，公差d≠0，在此數列中依次取出局部項組成的數列：求數列[解析]①，②①，②①②[評析]例2是一組等差、等比數列的根本問題，熟練運用概念、公式及性質是解決問題的根本功.[例3]解答下述問題：〔Ⅰ〕三數成等比數列，假設將第三項減去32，那么成等差數列；再將此等差數列的第二項減去4，又成等比數列，求原來的三數.[解析]設等差數列的三項，要比設等比數列的三項更簡單，設等差數列的三項分別為a－d,a,a+d，那么有〔Ⅱ〕有四個正整數成等差數列，公差為10，這四個數的平方和等于一個偶數的平方，求此四數.[解析]設此四數為,解得所求四數為47，57，67，77[評析]巧設公差、公比是解決等差、等比數列問題的重要方法，特別是求假設干個數成等差、等比數列的問題中是主要方法.B、由遞推公式求通項公式的方法一、型數列，〔其中不是常值函數)此類數列解決的方法是累加法，具體做法是將通項變形為，從而就有將上述個式子累加，變成，進而求解。例1.在數列中,解：依題意有逐項累加有，從而。注：在運用累加法時,要特別注意項數,計算時項數容易出錯.變式練習：滿足,,求的通項公式。二、型數列，〔其中不是常值函數)此類數列解決的方法是累積法，具體做法是將通項變形為，從而就有將上述個式子累乘，變成，進而求解。例2.數列中，求的通項公式。解：當時，將這個式子累乘，得到，從而，當時，，所以。注：在運用累乘法時,還是要特別注意項數,計算時項數容易出錯.變式練習：在數列中,>0,,求.提示：依題意分解因式可得，而>0,所以，即。三、型數列此類數列解決的方法是將其構造成一個新的等比數列，再利用等比數列的性質進行求解，構造的方法有兩種，一是待定系數法構造，設，展開整理，比擬系數有，所以，所以是等比數列，公比為，首項為。二是用作差法直接構造，,，兩式相減有，所以是公比為的等比數列。例3.在數列中，，當時，有，求的通項公式。解法1：設，即有比照，得，于是得，即所以數列是以為首項，以3為公比的等比數列那么。解法2：由遞推式，得，上述兩式相減，得，即因此，數列是以為首項，以3為公比的等比數列。所以，即，所以。變式練習：數列滿足求數列的通項公式.注：根據題設特征恰當地構造輔助數列,利用根本數列可簡捷地求出通項公式.四、型數列〔p為常數〕此類數列可變形為，那么可用累加法求出，由此求得.例4數列滿足,求.解:將遞推式兩邊同除以得,設,故有，,從而.注：通過變形,構造輔助數列,轉化為根本數列的問題,是我們求解陌生的遞推關系式的常用方法.假設為的一次函數,那么加上關于的一次函數構成一個等比數列;假設為的二次函數,那么加上關于的二次函數構成一個等比數列.這時我們用待定系數法來求解.例5．數列滿足解:作,那么,代入遞推式中得:.令這時且顯然,,所以.注：通過引入一些待定系數來轉化命題結構,經過變形和比擬,把問題轉化成根本數列,從而使問題得以解決.變式練習：〔1〕滿足，求?！?〕數列，表示其前項和，假設滿足，求數列的通項公式。提示：〔2〕中利用，把條件轉化成遞推式。五、型數列〔為非零常數〕這種類型的解法是將式子兩邊同時取倒數,把數列的倒數看成是一個新數列,便可順利地轉化為型數列。例6．數列滿足,求.解:兩邊取倒數得:,所以，故有。變式練習：數列中，，求的通項。六、型數列〔為常數〕這種類型的做法是用待定糸數法設構造等比數列。例7．數列中，且，求.C、求數列前項和公式法:利用以下常用求和公式求和是數列求和的最根本最重要的方法。(1)等差：;等比：;(2);例1.求和()分組法：有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，假設將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可。例2.求數列的前n項和錯位相減法：〔考試重點〕主要用于求數列{an·bn}的前n項和，其中{an}、{bn}分別是等差和等比.求和時一般在和式的兩邊都乘以等比數列的公比q；然后再將得到的式子和原式相減，轉化為同倍數的等比數列求和?？记绊氈?.公比是未知數要討論當公比x=1時的特殊情況；2.錯位相減時要注意末項例3.求和：例4.求和：裂項法:實質是將數列中的每項〔通項〕分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終到達求和的目的.前面剩幾項后面剩倒數第幾項，對稱性.例5．求和例6.求數列的前項和.并項求和法(或者奇數項和+偶數項和)一定是正負相間.例7.求和數列局部測試題一、選擇題1、如果一個數列既是等差數列，又是等比數列，那么此數列〔〕〔A〕為常數數列〔B〕為非零的常數數列〔C〕存在且唯一〔D〕不存在2.、在等差數列中，,且,,成等比數列，那么的通項公式為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕或〔D〕或3、成等比數列，且分別為與、與的等差中項，那么的值為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕不確定4、互不相等的三個正數成等差數列，是a,b的等比中項，是b,c的等比中項，那么，，三個數〔〕〔A〕成等差數列不成等比數列〔B〕成等比數列不成等差數列〔C〕既成等差數列又成等比數列〔D〕既不成等差數列，又不成等比數列5、數列的前項和為,,那么此數列的通項公式為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕6、，那么〔〕〔A〕成等差數列〔B〕成等比數列〔C〕成等差數列〔D〕成等比數列7、數列的前項和，那么關于數列的以下說法中，正確的個數有〔〕①一定是等比數列，但不可能是等差數列②一定是等差數列，但不可能是等比數列③可能是等比數列，也可能是等差數列④可能既不是等差數列，又不是等比數列⑤可能既是等差數列，又是等比數列〔A〕4〔B〕3〔C〕2〔D〕18、數列1,前n項和為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9、假設兩個等差數列、的前項和分別為、，且滿足，那么的值為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕10、數列的前項和為,那么數列的前10項和為〔〕〔A〕56〔B〕58〔C〕62〔D〕60數列的通項公式為,從中依次取出第3，9，27，…3n,…項，按原來的順序排成一個新的數列，那么此數列的前n項和為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕12、以下命題中是真命題的是()A．數列是等差數列的充要條件是()B．一個數列的前項和為,如果此數列是等差數列,那么此數列也是等比數列C．數列是等比數列的充要條件D．如果一個數列的前項和,那么此數列是等比數列的充要條件是二、填空題13、各項都是正數的等比數列，公比,成等差數列，那么公比=14、等差數列，公差,成等比數列，那么=15、數列滿足,那么=16、在2和30之間插入兩個正數，使前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，那么插入的這兩個數的等比中項為三、解答題17、數列是公差不為零的等差數列，數列是公比為的等比數列，，求公比及。18、等差數列的公差與等比數列的公比相等，且都等于,，,,求。19、有四個數，其中前三個數成等比數列，其積為216，后三個數成等差數列，其和為36，求這四個數。20、為等比數列，，求的通項式。21、數列的前項和記為〔Ⅰ〕求的通項公式；〔Ⅱ〕等差數列的各項為正，其前項和為，且，又成等比數列，求22、數列滿足〔I〕求數列的通項公式；〔II〕假設數列滿足，證明：是等差數列；數列局部參考答案選擇題題號123456789101112答案BDCAAACADDDD填空題13.14.15.16.6三、解答題 17.a=a1,a=a10=a1+9d,a=a46=a1+45d由{abn}為等比數例，得〔a1+9d〕2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.∴q=4又由{abn}是{an}中的第bna項，及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1∴bn=3·4n-1-218.∴a3=3b3,a1+2d=3a1d2,a1(1-3d2)=-2d①a5=5b5,a1+4d=5a1d4,∴a1(1-5d4)=-4d②eq\f(②,①),得=2，∴d2=1或d2=,由題意，d=,a1=-?！郺n=a1+(n-1)d=(n-6)bn=a1dn-1=-·()n-119.設這四個數為那么由①，得a3=216,a=6③③代入②，得3aq=36,q=2∴這四個數為3，6，12，1820.解:設等比數列{an}的公比為q,那么q≠0,a2=eq\f(a3,q)=eq\f(2,q),a4=a3q=2q所以eq\f(2,q)+2q=eq\f(20,3),解得q1=eq\f(1,3),q2=3,當q1=eq\f(1,3),a1=18.所以an=18×(eq\f(1,3))n－1=eq\f(18,3n－1)=