第二節(jié)質點系動量定理

第三節(jié)質心運動定理

第一節(jié)質點動量定理

第九章動量定理

在前面一章討論的是質點動力學基本方程，而從本章起將討論的是動力學普遍定理。它包括質點與質點系的動量定理、質心運動定理、質點與質點系的動量矩定理、質點與質點系的動能定理等。本章主要討論：(1)動量與沖量(2)質點和質點系的動量定理(3)質心運動定理⒈質點動量定理的微分形式由質點動力學基本方程，有

因

則

（9－1）

表明質點動量的變化率等于作用在質點上的合力，此即為質點的動量定理。

第一節(jié)質點動量定理⒉質點動量定理的積分形式

在t1與t2時刻，

（9－3）

寫成微分形式

（9－2）

這是微分形式的質點動量定理。

稱為沖量。

式中—質點的動量；矢量，其大小等于質點的質量m與它在某瞬時速度v的乘積，其單位或。上式表明，在任一段時間內，質點動量的增量等于作用在質點上的力在同一段時間的沖量。這就是質點動量定理的積分形式，又稱為質點的沖量定理。

（9－4）稱為力（時間的函數(shù)）在時間間隔（）內的沖量。沖量是矢量，它的運算按矢量運算法則進行，亦即，在任一段時間內，合力的沖量等于各個分力的沖量的矢量和，單位。

（9－5）

⒊質點動量守恒

若作用于質點上的力為零，，則有，則質點動量保持不變。若，則有。（9－3）在直角坐標軸上的投影形式為

有幾個質點組成的質點系，內力、外力。對i質點有將質點系中每個質點的動量定理相加，有因內力為零，即

故

第二節(jié)質點系的動量定理各質點動量的矢量和，質點系的動量用p

表示，即（9－6）

于是有：

（9－7）

上式稱為質點系動量定理的微分形式，即質點系的動量（主矢）對時間的導數(shù)，等于作用于該質點上所有力的主矢。

投影在直角坐標軸上有

（9－8）

將（9－7）改成

質點系動量的微分等于質點系所受外力系的動量的矢量和。

積分后有：

改寫為：

（9－9）

上述即為質點系動量定理的積分形式，又稱沖量定理。即，質點系動量在某時間間隔內的改變量，等于各質點系所受全部外力在同一時間間隔內動量的矢量和。在坐標軸上投影有：

（9－10）

上式表明：在某一時間間隔內，質點系動量在任一固定軸上投影的改變量，等于作用于質點系的外力動量在同軸上投影的代數(shù)和。

易用動量定理解決的問題有：流體流過彎曲管道、射流對障礙物表面的壓力及碰撞問題等。【解

】考慮小球，取坐標軸xoy根據(jù)投影的質點動量定理

代入數(shù)值得：

Sx、Sy正值，方向與所做一致。

例9-1

質量為1kg的小球，以的速度與一固定水平面相碰，其方向與鉛垂線成角。設小球彈跳的速度為，其方向與鉛垂線成角，如圖所示，試求作用于小球上的沖量的大小和方向。（a）（b）其方向：

例9-2機車的質量為，車輛的質量為，它們系通過相互撞擊而掛鉤的。若掛鉤前，機車的速度為，車輛處于靜止，如圖（a）所示。求（1）掛鉤后的共同速度；（2）在掛鉤過程中相互作用的動量和平均撞擊力。設掛鉤時間為秒，軌道是光滑和水平的。（a）【解】

它們在撞擊過程中相互作用力是內力，作用在系統(tǒng)上的外力除了鉛垂方向的重力和軌道給車輪的法向反力外，無其它外力，故在掛鉤過程中水平方向沒有外力沖量，即系統(tǒng)的動量在水平軸x方向是守恒的。（1）以機車和車輛為研究對象。（2）以機車為研究對象，如圖（b）所示。

由此的動量S的大小為：從而求得平均撞擊力為：

（b）⒈質量中心組成質點系各質點的質量及其在空間位置是不同的，表征質點系的各質點的質量及其位置分布情況的一個幾何點稱為質量中心，簡稱質心。確定質心位置的方法與重心類似（9－11）

c第三節(jié)質心運動定理而其坐標公式：

（9－12）

質心和重心是兩個不同的概念，質心是質點系質量中心，質心只取決于質量的分布情況，與質點系所受力無關。質心和重心只有在重力場中才重合為一個點。

質點系的動量是各質點動量的矢量和

（9－13）

投影在直角坐標軸上：

c（a）oc（b）R（c）Rc（d）（a）

（b）

（c）

（d）

求圖示質點系的動量。

例9-3⒉質心運動定理

對式（9－13）求導數(shù)：

（9－13）

（9－14）

又由質點系動量定理，式（9－7）改寫為：

則（9－15）

或

（9－16）

上式稱為質心運動定理。即，質點系的總質量與質心加速度的乘積等于質點所受外力的矢量和。

對于剛體或剛體系統(tǒng)，由于剛體的質心位置容易確定，故用式（9－16）求解問題比較方便。

式（9－16）投影形式為

（9－17）

或

（9－18）

質心運動定理表明：質心的運動只取決于外力，而與內力無關，也與外力是否作用在質心無關。

⒊質心運動守恒定理

由，若，則，常矢量。即，若作用于質點系的外力系主矢恒等于零，則質心作慣性運動，若質心的初始速度也等于零，，則常矢量。即質心位置靜止。

若，則，常數(shù)，即質心在x軸上守恒，又若v0在x軸上投影也為零，則常數(shù)，質心在x軸方向靜止。

上述的質心運動守恒和質心位置守恒，通常稱為質心運動守恒定理。

例9-4在靜止的小船中間站著兩個人，其中m1＝50kg，面向船首方向走動1.5m。另一個人m2＝60kg，面向船尾方向走動0.5m。若船重M＝150kg，求船的位移。水的阻力不計。y尾首甲乙甲乙【解】因無水平力水平方向質心守恒，又初始靜止。把坐標原點放在船的質心的初始位置設當經(jīng)過t時刻后，船向右移動x，則：

即

【解】以物塊A與擺錘B所組成的質點系為研究對象。，故質心在水平方向守恒（即質心的x左邊不變），。取oxy：并令y軸通過質心，則（1）ABo例9-5質量為m的物塊A放在光滑的水平面上，如圖。若擺長為l，質量不計，擺錘B質量為m，且擺動

=0sint，、0為常數(shù)。設運動開始時質心速度為零，求物塊A的運動方程。或（2）

因有（3）將（3）代入（2）有：（4）（4）式即為物塊A的運動方程本題也可用質點系動量在x軸方向守恒（5）（6）將（6）式積分有：

（7）又，代入（7）式得，由此存在例9-6如圖所示系統(tǒng)中，均質桿OA、AB與均質輪的質量均為m，OA桿的長度為l1，AB桿的長度為l2，輪的半徑為R，輪沿水平面作純滾動。在圖示瞬時，OA的角速度為

，則整個系統(tǒng)的動量為多少？【解】

方向水平向左。因為按圖示機構，系統(tǒng)可分成3個物塊：OA、AB和輪B。首先需找出每個物塊的質心速度：OA作定軸轉動，其質心速度在圖示瞬時只有水平分量，方向水平向左。ABOAB作瞬時平動，在圖示瞬時其質心速度也只有水平分量，方向水平向左。輪B作平面運動，其質心B的運動軌跡為水平直線，所以B點的速度方向恒為水平，在圖示瞬時，方向水平向左。所以所以方向水平向。ABO例9-7如圖所示，均質桿OA，長2l,重為P，繞O軸在鉛垂面內轉動。桿與水平線成

角時，其角速度和角加速度分別為

和

，求該瞬時軸O的約束反力。【解】取桿OA為研究對象，受力如（b）圖所示。取坐標系oxy，桿OA質心加速度為：方向如圖（b）所示。則：CA(b)PCAO(a)由質心運動定理得：得：解得：本題約束反力也可表示為切向力和法向反力，讀者可自己進行求解。例9-8如圖所示，均質桿AB長為，鉛垂地立在光滑得水平面上，求它從鉛垂位置無初速度地倒下時，端點A得軌跡。【解】AB桿初始靜止，且有即沿x軸方向質心位置應守恒，質心C始終在y軸上，A點的坐標可表示為：消去，得：即A點的軌跡為橢圓。AB1.選擇題D（1）設剛體的動量為，其質心的速度為，質量為M，則式。（）A.只有在剛體作平動時才成立B.只有在剛體作直線運動時才成立C.只有在剛體作圓周運動時才成立D.剛體作任意運動時均成立C（2）質點作勻速圓周運動，其動量。（）A.無變化B.動量大小有變化，但方向不變C.動量大小無變化，但方向有變化D.動量大小、方向都有變化【思考題】

C（3）一均質桿長為，重為P，以角速度繞O軸轉動。試確定在圖示位置時桿的動量。（）A.桿的動量大小，方向朝左B.桿的動量大小，方向朝右C.桿的動量大小，方向朝左D.桿的動量等于零ABOCA.質點動量沒有改變B.質點動量的改變量大小為，方向鉛垂向上C.質點動量的改變量大小為，方向鉛垂向下D.質點動量的改變量大小為，方向鉛垂向下（4）將質量為m的質