第五章A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．下列說法中，錯誤的是(D)A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)C．1rad的角比1°的角要大D．用弧度制度量角時，角的大小與圓的半徑有關(guān)[解析]由角度制和弧度制的定義，知A，B，C說法正確．用弧度制度量角時，角的大小與所對圓弧長與半徑的比有關(guān)，而與圓的半徑無關(guān)，故D說法錯誤．2．下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯誤的是(C)A．22°30′化成弧度是eq\f(π,8)B．－eq\f(10π,3)化成角度是－600°C．－150°化成弧度是－eq\f(7π,6)D．eq\f(π,12)化成角度是15°[解析]對A,22°30′＝22.5°＝eq\f(π,8)，正確；對B，－eq\f(10π,3)＝－eq\f(10π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－600°，正確；對C，－150°＝－150×eq\f(π,180)＝－eq\f(5π,6)，錯誤；對D，eq\f(π,12)＝eq\f(π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝15°，正確．3．若α＝5rad，則角α的終邊所在的象限為(D)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]∵eq\f(3π,2)<5<2π，∴α＝5rad為第四象限角，其終邊位于第四象限．4．將－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(D)A．－eq\f(π,4)－8π B．eq\f(7,4)π－8πC．eq\f(π,4)－10π D．eq\f(7,4)π－10π[解析]∵－1485°＝－5×360°＋315°，又2πrad＝360°，315°＝eq\f(7,4)πrad.故－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是eq\f(7,4)π－10π.5．若角α的終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)，則角α的取值范圍是(D)A．(eq\f(π,6)，eq\f(π,3))B．(eq\f(2π,3)，eq\f(7π,6))C．[eq\f(2π,3)，eq\f(7π,6)]D．[2kπ＋eq\f(2π,3)，2kπ＋eq\f(7π,6)](k∈Z)[解析]陰影部分的兩條邊界分別是eq\f(2π,3)和eq\f(7π,6)角的終邊，所以α的取值范圍是[2kπ＋eq\f(2π,3)，2kπ＋eq\f(7π,6)](k∈Z)．6．若弧度數(shù)為2的圓心角所對的弦長為2，則這個圓心角所夾扇形的面積是(C)A．tan1 B．eq\f(1,sin1)C．eq\f(1,sin21) D．eq\f(1,cos1)[解析]如右圖所示，設(shè)∠AOB＝2，AB＝2.過點(diǎn)O作OC⊥AB于C，延長OC交eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))于D，則∠AOD＝eq\f(1,2)∠AOB＝1，AC＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△AOC中，OA＝eq\f(AC,sin∠AOC)＝eq\f(1,sin1).∴扇形的面積S＝eq\f(1,2)×2×eq\f(1,sin21)＝eq\f(1,sin21).二、填空題7．315°＝eq\f(7,4)π弧度，eq\f(7,12)π弧度＝105度．8．將－1360°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式為－8π＋eq\f(4π,9).[解析]∵－1360°＝－4×360°＋80°，而80°＝eq\f(4π,9)，∴應(yīng)填－8π＋eq\f(4π,9).9.如圖，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB＝4，∠ACB＝eq\f(π,6)，則劣弧eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的長為eq\f(4π,3).[解析]連接AO，OB，因為∠ACB＝eq\f(π,6)，所以∠AOB＝eq\f(π,3)，又OA＝OB，所以△AOB為等邊三角形，故圓O的半徑r＝AB＝4，劣弧eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的長為eq\f(π,3)×4＝eq\f(4π,3).三、解答題10．如圖所示，用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分的角的集合．[解析](1)將陰影部分看成是由OA逆時針旋轉(zhuǎn)到OB所形成．故滿足條件的角的集合為{α|eq\f(3π,4)＋2kπ<α<eq\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z}．(2)將終邊為OA的一個角eq\f(11π,6)改寫為－eq\f(π,6)，此時陰影部分可以看成是OA逆時針旋轉(zhuǎn)到OB所形成，故滿足條件的角的集合為{α|－eq\f(π,6)＋2kπ<α≤eq\f(5π,12)＋2kπ，k∈Z}．(3)將題干圖中x軸下方的陰影部分看成是由x軸上方的陰影部分旋轉(zhuǎn)πrad而得到，所以滿足條件的角的集合為{α|kπ≤α≤eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}．(4)與第(3)小題的解法類似，將第二象限陰影部分旋轉(zhuǎn)πrad后可得到第四象限的陰影部分，所以滿足條件的角的集合為{α|eq\f(2π,3)＋kπ<α<eq\f(5π,6)＋kπ，k∈Z}．11．(1)把310°化成弧度；(2)把eq\f(5π,12)rad化成角度；(3)已知α＝15°、β＝eq\f(π,10)、γ＝1、θ＝105°、φ＝eq\f(7π,12)，試比較α、β、γ、θ、φ的大小．[解析](1)310°＝eq\f(π,180)rad×310＝eq\f(31π,18)rad.(2)eq\f(5π,12)rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)×\f(5π,12)))°＝75°.(3)解法一(化為弧度)：α＝15°＝15×eq\f(π,180)＝eq\f(π,12).θ＝105°＝105×eq\f(π,180)＝eq\f(7π,12).顯然eq\f(π,12)<eq\f(π,10)<1<eq\f(7π,12).故α<β<γ<θ＝φ.解法二(化為角度)：β＝eq\f(π,10)＝eq\f(π,10)×(eq\f(180,π))°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝eq\f(7π,12)×(eq\f(180,π))°＝105°.顯然，15°<18°<57.30°<105°.故α<β<γ<θ＝φ.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．若eq\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，則eq\f(α,2)的終邊在(D)A．第一象限 B．第四象限C．x軸上 D．y軸上[解析]∵eq\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴eq\f(α,2)＝3kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．當(dāng)k為奇數(shù)時，eq\f(α,2)的終邊在y軸的非正半軸上；當(dāng)k為偶數(shù)時，eq\f(α,2)的終邊在y軸的非負(fù)半軸上．綜上，eq\f(α,2)終邊在y軸上，故選D．2．(多選題)圓的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，弧長也增加到原來的2倍，則(BC)A．扇形的面積不變B．扇形的圓心角不變C．扇形的面積增大到原來的4倍D．扇形的圓心角增大到原來的2倍[解析]α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2l,2r)＝α，故圓心角不變，由面積公式S＝eq\f(1,2)lr知，扇形的面積增大到原來的4倍，故選BC．3．(多選題)下列表述中正確的是(ABC)A．終邊在x軸上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}B．終邊在y軸上角的集合是{α|α＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}C．終邊在坐標(biāo)軸上角的集合是{α|α＝k·eq\f(π,2)，k∈Z}D．終邊在直線y＝x上角的集合是{α|α＝eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z}[解析]終邊在直線y＝x上角的集合應(yīng)是{α|α＝eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z}，D不正確，其他選項均正確．故選ABC．4．若角α與角x＋eq\f(π,4)有相同的終邊，角β與角x－eq\f(π,4)有相同的終邊，那么α與β間的關(guān)系為(D)A．α＋β＝0 B．α－β＝0C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)[解析]∵α＝x＋eq\f(π,4)＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－eq\f(π,4)＋2k2π(k2∈Z)，∴α－β＝eq\f(π,2)＋2(k1－k2)·π(k1∈Z，k2∈Z)．∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.∴α－β＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．二、填空題5．已知θ∈{α|α＝kπ＋(－1)k·eq\f(π,4)，k∈Z}，則θ的終邊所在的象限是第一或第二象限.[解析]當(dāng)k為偶數(shù)時，α＝2mπ＋eq\f(π,4)(m∈Z)，當(dāng)k為奇數(shù)時，α＝(2m－1)π－eq\f(π,4)＝2mπ－eq\f(5π,4)(m∈Z)，∴θ的終邊在第一或第二象限．6．如圖所示，已知一長為eq\r(3)dm，寬為1dm的長方形木塊在桌面上做無滑動的翻滾，翻滾到第四次時被一小木板擋住，使木塊底面與桌面成30°的角，則點(diǎn)A走過的路程是eq\f(9＋2\r(3)π,6)dm，走過的弧所對應(yīng)的扇形的總面積是eq\f(7π,4)dm2.[解析]eq\o\ac(AA′,\s\up10(︵))所在的圓的半徑是2，所對圓心角為eq\f(π,2)，eq\o\ac(A1A2,\s\up10(︵))所在的圓的半徑是1，所對圓心角為eq\f(π,2)，eq\o\ac(A2A3,\s\up10(︵))所在的圓的半徑是eq\r(3)，所對圓心角是eq\f(π,3).點(diǎn)A走過的路程是3段圓弧長之和，即：eq\f(2×π×2,4)＋eq\f(1×π×2,4)＋eq\f(2×\r(3)×π,6)＝eq\f(9＋2\r(3)π,6)(dm)；3段弧所對應(yīng)的扇形總面積為：eq\f(π·22,4)＋eq\f(π·12,4)＋eq\f(π·\r(3)2,6)＝eq\f(7π,4)(dm2)．三、解答題7．已知一個扇形的周長為12cm，當(dāng)扇形的半徑為何值時，這個扇形的面積最大？并求出此時的圓心角．[解析]設(shè)扇形的半徑為r，圓心角為θ，則扇形的弧長為l＝rθ，根據(jù)題意，扇形的周長2r＋l＝12，解得l＝12－2r，所以扇形的面積S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(12－2r)×r＝－r2＋6r＝－(r－3)2＋9，故當(dāng)r＝3時，S取得最大值，此時l＝12－2×3＝6，扇形的圓心角θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(6,3)＝2.8．在一塊頂角為eq\f(2π,3)、腰長為2的等腰三角形鋼板廢料OAB中裁剪扇形，現(xiàn)有如圖所示的兩種方案．(1)求兩種方案中扇形的周長之差的絕對值；(2)比較兩種方案中的扇形面積的大小．[解析](1)由題圖①所示的方案，可得∠OAD＝eq\f(π,6)，R1＝2，所以扇形的周長為C1＝2k1＋eq\f(π,6)×R1＝2×2＋eq\f(π,3)＝4＋eq\f(π,3).由題圖②所示的方案，可得∠MON＝eq\f(2π,3)，R2＝1，所以扇形的周長為C2＝2R2＋eq\f(2π,3)×R2＝2×1＋eq\f(2π,3)＝2＋eq\f(2π,3).所以兩種方案中扇形的周長之差的絕對值為|C1－C2|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(π,3)))－\b\lc\(\rc\)(\a\