理科教學試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷(60分)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設集合A={ψc=2〃一1,,∈N},β=x->lk則A∩8=()

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{0,1,2}

解析：主要考查分式不等式的解法、交集等內容，體現了數學運算的核心素養.

.τ,2?[X(Λ-2)≤0

解：—1≥0,≠0>?'??，

X[%≠0

.?.0<x<2AnB={l},故選A.

2.已知z=lT,則三的虛部為()

z

A.-1B.1C.iD.-i

解析：主要考查復數的虛部、基本運算、共飄復數等內容，體現了數學運算、邏輯推理等核

心素養.

解：Z=m=??J+2f?+J虛部為1,故選B.

ZI-ZI2-I21+1

InX(X>1)

3.已知AX)=，"Λ2))=()

e(vx≤l)

A.1B.2C.3D.4

解析：分段函數的基本計算，體現了數學運算、邏輯推理的核心素養.

解：?.?2>1,/(2)=In2,又?.?In2<1,.?./(/⑵)=/(ln2)=e'n2=2'故選b?

4.為考察A、B兩名運動員的訓練情況，下面是A、B兩名運動員連續10天完成訓練指標任

務的綜合得分的折線圖，給出下列四個結論，其中正確的結論是()

A.A、3運動員的綜合得分的極差相同

B.10天中B運動員綜合得分都比A運動員的綜合得分高

C.第3天至第IO天兩名運動員綜合得分均超過80分；

D.A運動員第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差.

設計意圖：本題主要考查對折線圖的認識、極差的計算、平均分和方差的計算，體現了數據

分析、邏輯推理等核心素養.

解：由表數據可知A的綜合得分中最高分和最低分別為85分、78分，極差為7,B的綜合得

分最高分和最低分別為84分、81分，極差為3,故A錯誤；在第9天4綜合得分都比B的綜

合得分低，故B錯誤；由表可知第3天至第10天兩名運動員綜合得分均超過80分，故C正

確；在第一天至第三天中A運動員的綜合最小得分為78分，最大得分為80分，在第2天至

第4天中A運動員的綜合最小得分為78分，最大得分高于80分，所第1天至第3天的得分

方差小于第2天至第4天的得分的方差，故D錯誤.

4.二項式(2x+')7的展開式中二的系數是()

XX

A.2B.14C.84D.280

解析：主要考查二項式展開式的通項，體現邏輯推理、數學運算等核心素養.

解：(2'+')7的通項為7；+1=3(2均7-「(3,=27-，312(尸=(),1,2,3,4,5,6,7),令7-2r=-3得

XX

1一”,

r=5,則-?的系數為22仁=84,故選C.

X

6.已知N=((M),W=2,若忸一閘=2,則云與B的夾角為()

.TiC2乃C冗Cn

A.-B.—C.-D.一

6323

解析：主要考察向量的模長、夾角等基本運算，體現了數學運算轉化與化歸的核心素養.

解：?.恫=1,忸叫=""一45?占+廬=2,,a?B=ι,co^a,b)=~,行與B的夾角為?，

故選D

7.已知命題p：VxeR,x+」一≥3,命題q:不論左為何值，直線y-1=k(x-l)與圓

x-1

龍2+y2一今=0總相交，則下列命題正確的是()

A.p∕?qB.pvqC.p7qD.pv∕

解析：本題考查簡單的邏輯聯結詞、基本不等式、直線與圓的位置關系，體現了數學抽象、

邏輯推理、直觀想象等數學素養.

解：對于P命題，當x=O時，x+—L=-I,故命題P為假命題，則為真命題；對于命

X-I

題q,直線y—l=k(x—1)過定點A(1,1),?l2+12-4=-2<0,.?.4在圓內，則不論A:為何

值，直線V-I=Z(X-I)與圓/+y2-4y=O總相交，故命題q為真命題，M為假命題，故選

B.

8.2013年華人數學家張益唐證明了攣生素數猜想的一個弱化形式，攣生素數猜想是希爾伯特

在1900年提出的23個問題之一，可以這樣描述：存在一個素數p,使得〃+2是素數，素數

對(p,p+2)成為攣生素數，在不超過20的素數中，隨機選取兩個不同數，能夠組成攣生素

數的概率為()

A.—c

28B????D?7

解析：以攣生素數為背景，考查了古典概型的概率計算、排列、體現了數學運算、邏輯推理

等核心素養.

解：不超過20的素數有：2,3,5,7,11,13,17,19共8個，從8個中隨機選取2個有

兇個基本事件,

Cj==28能夠組成李生素數有(3,5)、(5,7)、(11』3)、(17,19)個4基本事件，則

2

概率P==工，故選D.

287

9.在ΔABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知4、C、B成等差數列，c=2,

則AABC的周長最大值為()

A.4B.5C.6D.8

解析：主要考查等差數列，利用正弦定理、余弦定理解三角形的周長，考查了轉化與化歸、

方程思想體現了數學運算、邏輯推理等核心素養.

解：方法一：由A、C、B成等差數列，則2C=A+3,A+8+C=肛，C=W

c.,

a=---su?Ai,b=,則ΔA5C的周長為α+6+c=--—(sinA+sinB+sinC)

sicCsinCsinC

)，AG(2,

SinA+sinB=V5sin(A+工土)；.A=工時，(sinA+sinB)max√3，

3663'

AABC周長最大值為6.

方法二：2C=A+B,A+B+C^π,.?C=^,c2=a2+b2-2abcosC=>4=a2+b2-ab,

4-a2+b2-ab-(a+b)2-3ab≥(a+b)2-—(a+h)2=-(a+h)2,

44

即α+人≤4,當且僅當a=b=2時等號成立，

AABC周長最大值為6.故選C.

10?定義：我們用國表示不超過X的最大整數，則稱y=同為高斯函數，例團=4,[-2.4]=-2,

令g(x)=[x],Xo為函數/(x)=InX+2x-6的零點，貝IJg(XO)=()

A.3B.4C.5D.6

解析：考查新定義問題、函數的零點、單調性等問題，體現了數學抽象、數學運算、邏輯推

理等核心素養.

解：/(x)=InX+2x—6,.?.χ>o,f'(χ)=-+2,?.?x>Q,:.f'(x)>Q,則/(x)在(θ,+α))上單調

X

遞增，且/⑵=In2—2<0,f(3)=ln3+3>0,.?.f(x)的零點x°n(2,3),由定義可知,g(∕)=3,

故選B.

JT1

11.已知XG0,—,2CoSX-XSinX+—X≥αx恒成立，則a的取值范圍是()

22

A.^-∞,-jB.--,+∞jC.(―∞,2]D,卜。0,―/

解析：主要考查函數的導數的應用、參數的取值范圍，體現了數學抽象、數學運算、邏輯推

理等核心素養.

1τr

解：?/(x)=2cosx-xsinx÷-X,x∈0,W,則當X=OB寸，/(0)=2>αχ0=0恒成立；

x∈,(θ,生時，?.?∕(x)≥/x,?二α≤2c°s"—sinx+',令g(x)=主

I2」X2X

r.g"x)=2xsinx2。；SXxcosx∈,^0,^?,SinX>0,CoSX>0,二g，(X)<0,g(x)在(θ,?∣^

χ

上單調遞減，g(X)min=g(1O=-；，???α4g(x)min=-g，故選D.

12.關于函數/(x)=COSXCoS?∣,有一下四個結論:

①/(x)的圖像關于((O)對稱;②/(x)的最大值是2；

③/(x)在(θ?)上單調遞減；④/(x)是周期函數

其中正確結論的個數是()

A.1B.2C.3D.4

解析：考查三角函數的性質、函數的性質等內容，體現了數學運算、直觀想象、邏輯推理、

數形結合等核心素養.

Tt八〃/3萬、3%3幾八

解：法一:/(9=COSJlCoS7=0,于(兀)CoS乃COS-=O/(——)=COS——cos—=O,

2224

???/(x)的圖像關于(肛0)對稱，故①錯；在(0,9上，

f(x)=COSXCOS-,f,(x)=-si∩ΛCθs—-?eos?sin-,?e(θ,?),

22222

sinx>O,COSX>O,sin?>θ,eos?>O,f'(x)<0,則f(x)在(θ,?)上單調遞減,故③對；f(x)

是偶函數也是周期函數，???/(%)在(-5,0)上為單點增，/(X)max=Z(O)=E故②錯；

/(x+2%)=COS(X+2%)CoSE^=COSXCOS；+乃)=∕(x),/(x)是周期函數，④對；綜上;

選B.

法二：應用desmos軟件得出圖形（一般上課可安裝軟件應用于教學，通過作圖來檢驗答案

更為直觀）

第∏卷（90分）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x-y+2≥0

13.已知實數X、丁滿足＜%≤1，則3x+y的最大值為

y≥l

解析：本題考查了簡單的線性規劃問題，體現了數學抽象、數學運算、直觀想象等核心素養.

答案：6.

解：如圖，令z=3x+y當z=3x+y過點（1,3）時

取最大值為6

14.設直線I:y∣3x+y=0與圓

C：/+/+4I=。交于A、B兩點,當

∣A^=2√5?,a=.

解析：本題考查直線與圓的位置關系、弦長公式等，體現了數學運算、邏輯推理、化歸與轉

化等核心素養.

答案：2或-6

?-2-a?

解：圓心C(O,-2),半徑r=3,圓心到直線/的距離d=L1,又VIA耳=2y∣r2-d2=2√5，

√3+l

則∣-2-α∣=4,.?.a=2^a=-6.

22

14.O為坐標原點，F為雙曲線C：；■-2=l(a>0,0>0)的右焦點，過點尸的直線在第一象

Crb

限與雙曲線C交于點P,且ΔPO尸為正三角形，則雙曲線的漸近線方程為.

解析：

答案：y=±L

3

15.設棱錐M-ABCO的底面是正方形，且MA="。,M4,A3,如果AAMD的面積為1,能

夠放入這個棱錐的最大球的半徑為.

解析：本題考查點線面的的位置關系、內切求的半徑，體現了直觀想象、數學運算、化歸與

轉化等核心素養.

答案：√2-l.

解：VAB±AD,AB±MA,.'.AB，平面MAD,

由此，平面MAD，面AC.記E是AD的中點，從而MELAD.

，MEJ_平面AC,MEj_EF.設球O是與平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.不妨設

O∈平面MEF,于是。是AMEF的內心.

設球O的半徑為r,IjliJr=一生但一2

,設AD=EF=a,YSΔΛMD=1.ΛME=-.MF=

EF+EM+MFa

2

,r=---------≤----------r=—Λ∕2-1.

22+2√2

a-?----F

a

當且僅當a=2,即a=痣時，等號成立.

a

.?.當AD=ME=√Σ時，滿足條件的球最大半徑為行-L

三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知等比數列｛α,J,數歹!1機,｝滿足4=%=1,仇=3,且。.=/如出一切)，

(I)求｛α,,｝,也｝的通項公式;

⑵若數列｛g｝,cn=an+ibπ,求｛g｝的前“項和S”.

解析：本題考查等差等比數列的通項公式，數列求和，體現了數學抽象、邏輯推理、數學運

算等核心素養.

解：(1)設｛。“｝的的公比為q,?.?a2=αl(3-l),.?.?2=2,q=2

則α,,=q?∕τ=2"T,2分

又???%=4,(%-〃),??.bn+i-bn=2,則m｝為等差數列，4分

公差d=αz-b]=2,則2=々+(〃T)d=2〃一1,α,,=2"T,b,,=2〃一1.6分

⑵由(1)可知g=an+xbn=(2〃-1)2",

.-.7；,=l×2'+3×22+……+(2〃-3)x2"∣+(2"1)x2”①8分

27；,=l×22+3×23+……+(2∕ι-3)×2,,+(2rt-l)×2rt+'②

由①-②的一，=1x2'+22+2?+……+2n+'-(2rt-l)×2,,+'10分

:.7；=(2〃—3)x2"∣+612分

18.作為影視打卡基地，都勻秦漢影視城推出了4大影視博物館：陳情令館、慶余年館、大

秦館、雙世寵妃館，館內還原了影視劇中部分經典場景，更有豐富的、具有特色的影視劇紀

念品共游客選擇，國慶期間甲、乙等5名同學準備從以上4個影視館中選取一個景點游覽，

設每個人只選擇一個影視館且選擇任一個影視館是等可能的，

(1)分別求“恰有2人選擇慶余年館”和“甲選擇慶余年館且乙不選擇陳情館”的概率;

(2)設X表示5人中選擇博物館的個數，求X的分布列和數學期望.

解析：本題考查相互獨立事件同事發生的概率，離散隨機變量的分布列和數學期望，體現

了數學建模、數學運算、數據分析等核心素養.

解：(1)所有可能選擇的方式有下種，設恰有2人選擇慶余年為事件A,r2?3135，

512

3分

設甲選擇慶余年且乙不選擇陳情館為事件B,

3

'RB)=3×*4=詔3，則恰有2人選擇慶余年館的概率為13北5，甲選擇慶余年館且乙不選擇陳

3

情館的概率為.6分

7167

(2)由題可知：X的所有可能的值為X=I、2、3、4,7分

C11+_66

.?.P(X=I)2≤4_?P(X=2)=

4525645256

C2A460，12910分

P(X=4)=0^/(X=3)=1—P(X=I)—/(X=2)—尸(X=4)=——

256256

則X的分布列為

X1234

?

P6612960

256__________256__________須________256__________

…、，1c66.129,6075912分

E(X)=IX-----K2×------K3X-------F4X-----

256256256256256

19.如圖，直三棱柱ABc-AIBIG中，D,E分別是AB,BBI

的中點，AA=AC=CB=AB.C

i21

(1)證明:8G〃平面AlC￡);

(2)當AB=2加時，求二面角E-DC-A的余弦值.B1

解析：本題主要考查線面垂直的判定性質，二面角的求解,

體現了直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養.

(1)證明：連接AG,AGcAC=/，連接Z)￡

???。、產分別為AB、AIe的中點，,BG〃。/3分

B

BCl<Z平面ACQ,DFU平面ACQ,.?.BG〃平面AGD.5分

(2)解：AB=2√2,AI=AC=CB=4AB=2.?.ΔA3C為直角三角形，ZACB=90°

X?.?CClJ?平面A8C,???以C為坐標原點建立如圖所示坐標系,

.?.E(0,2,l),D(l,l,0),C(0,0,0),A(2,0,2)6分

設平面EDC的法向量為行=(x,XZ)

—>

ED=(1,-1,-1),EC=(0,-2,-1)

ED?n=x-y-z=O

.?.?一,令z=2,.?.x=Ly=T,.*.n=(1-1,2)8分

EC?n=-2y-Z=O

同理可得平面DCA1的法向量為m=(1-1-2),10分

3〈加M=麗=;O=T=一§，

?.?二面角E-DC-A的平面角為銳角，二二面角七-。C-A的余弦值為g?12分

20.已知函數/(x)=x+lnx.

(1)求函數/1)在3J(e))處的切線方程；

(2)令g(x)=/(X)-心乙若g(χ)=o有兩個不同的零點，求A的取值范圍.

解析：本題考查導數的幾何意義、切線方程、利用導數解決函數的零點問題，體現了數學運

算、邏輯推理等核心素養.

解；(I)/(x)=x+lnx,x>0,/'(e)=e+l2分

f?x)=l+~,/'(e)=l+L切線方程為y-(e+l)=(l+3(x-l)

Xee

即：y=(i+-)χ,4分

e

函數/(X)在3/(e))處的切線方程為y=(l+?.5分

e

(2)g(x)=/(x)-kx1,X>O

g(x)=O有兩個不同的零點，即x+lnx-技=O有兩個不同的零點6分

人學Oy:學與"的圖像有兩個交點，

令〃(X)=葉學1InX

,%>0,7分

X

?2_?1

1『一ZXln11-2i∏χ一χ,H(X)=I-21nx-x,尤>0,

n(x)=-H4=3

XXX

?

HU)=.?.HCx)在(0,+oo)上單調遞減，

X

?.?H(l)=O,.?.x∈(O,l)時，H(X)>0,Xe(I,?w)時，H(X)<0，1°分

?.∕z(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，且/1)=1，U分

y=Ax+皿等,m/0)與曲線E交于P、Q兩點，P、Q到直線/:y=等X的距離相等.

(1)求曲線E的方程.

(2)求APOQ的面積最大值.

解析：本題主要考查橢圓的定義、標準方程及其簡單的幾何性質，直線與橢圓的位置關系,

三角形面積最大值問題，體現了數學運算、邏輯推理、直觀想象等核心素養.

解：(1)由題可知

-?-+-?-=l,?2-b'=c2=1,則/=2,∕=12分

a4b^

24分

???曲線E的方程為"

⑵設P(XI,y),Q(X2,左)?

y=女x+m

聯立3+yJ∣

消去y可得(1+2&2)/+4攵〃優+2/一2=0,

則4=16//-4(1+2/)(2〃，一2)〉O①

4km2m2-2

.?.X1+X2=i+2k2,λ'λ'^?+2k2②

2m

.,.M+%=Mx1+x)+2m=7分

2l+2k2

?.?k≠^,則直線尸。與直線/相交

2

p、Q到直線/:y=乎X的距離相等可知，PQ的中點（一段'T?）在直線"上'

my∣2.2km、.VΣ

/.-------7=——X(---------7),：.k=------,8分

1+2J122l+2?22

將人二一乂^帶入①可得->+2>0,/.—V2<m<V2

2

2

將Z=一-—帶入②可得x1+x2=42m,x1x2=m-If

,2

..∣P<2∣=Λ∕1÷?∣X1—X2∣=V^J2->

原點。到若直線—冬+〃2距離為小%〃1

10分

6_____

.?.△/?02的面積5=］1歸吐3=半|加卜，2-機2,

227|

."--?∣z∕2∣-72-zπ2=-?yjm2(2-m2)≤-?-×m+2-m=

~2~-V

當且僅當=2-m2,即機=±1時取等號，由?.?-J5<m<√^且∕M≠011分

???APOQ的面積最大值為巫

12分

2

22.［選修4-4坐標系與參數方程］

x=3+cos0/會)

在平面直角坐標系Wy中，曲線C的參數方程為Iy=T+sina"""直線/的極坐標方程

(1)求曲線C的極坐標方程和直線/的直角坐標方程；

⑵點A、5在直線,上，且4中、B(3Λ),P在曲線C上運動，求APAB的面積最大直

解析：本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化、面積的最值、數形結合等，體現了直觀

想象、數學運算、化歸與轉化等核心素養.

解：(I)由題可知曲線C的標準方程為(X-3)2+(,+I))=1,

一般方程F+/-6x+2y+9=0,1分

曲線C的極坐標方程為p2-6∕pcose+2psine+9=03分

直線/的極坐標方程為θ=-直線/的直角坐標方程為y