新授課課時8祖暅原理與幾何體的體積導入：同一摞書，當改變擺放書的形式時，（1）它們的幾何特征有何異同？（2）這些幾何體的體積是否相等？1.了解祖暅原理的內容，掌握利用祖暅原理推導柱體、錐體、臺體的體積公式.2.掌握柱體、錐體、臺體的體積公式，能運用公式解決簡單的實際問題.目標一：了解祖暅原理的內容，掌握利用祖暅原理推導柱體、錐體、臺體的體積公式.閱讀下列關于祖暅的簡介，說說你對簡介中提到的祖暅原理的理解.祖暅在數學上有突出貢獻，他在實踐的基礎上，于5世紀末提出了體積的計算原理：“冪勢既同，則積不容異”.“勢”是立體的高，“冪”是截面積.意思是等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等.祖暅應用這個原理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式,該原理在西方直到十七世紀才由意大利數學家卡瓦列利發現，比祖暅晚一千一百多年.祖暅是我國古代最偉大的數學家之一.祖暅簡介：

祖暅,字景爍，祖沖之之子，范陽郡薊縣人（今河北省淶源縣人），南北朝時代的偉大科學家.1．祖暅原理：冪勢既同，則積不容異.2．含義：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果被平行于這兩個平面的任意平面所截，兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等．如圖所示．新知講解下列三個條件缺一不可，否則結論不成立：注：兩個幾何體可以是任意形狀的.(1)兩個幾何體夾在兩個平行平面之間；(2)被平行于兩個平行平面的任意一個平面所截；(3)截得的兩個截面面積總相等.任務1：掌握利用祖暅原理推導柱體的體積公式.棱柱與圓柱統稱為柱體.如圖，下面是底面積都等于S，高都等于h的任意棱柱，圓柱和長方體，你能用祖暅原理推導柱體的體積公式嗎？1.等底面積、等高的兩個柱體，體積相等.2.體積公式：如果柱體的底面積為S，高為h，則柱體的體積計算公式為歸納總結V柱體＝Sh.任務2：掌握利用祖暅原理推導錐體的體積公式.問題1：棱錐和圓錐統稱為錐體，如圖，下面是底面積都等于S，高都等于h的任意棱錐和圓錐，它們的體積相等嗎？說明理由.如圖所示，當錐體被平行于底面的平面所截時，得到的截面與底面相似，即△A′B′C′∽△ABC而且相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比，因此截面與底面的面積之比：

，從而由祖暅原理可知，等底面積、等高的兩個錐體，體積相等.問題2：如圖所示，將底面積為S，高為h的直三棱柱分割成如下3個三棱錐，所得到的3個三棱錐的體積之間有什么關系？由此能得到三棱錐的體積計算公式嗎？歸納總結1.等底面積、等高的兩個錐體，體積相等.2.體積公式：如果錐體的底面積為S，高為h，則錐體的體積計算公式為V錐體＝所以因此所求體積比為1：6.練一練如圖所示，長方體ABCD-A′B′C′D′中，求棱錐ADD′A′的體積和長方體的體積之比.解：已知的長方體可以看成直棱柱ADD′A′-BCC′B′，設它的底面ADD′A′面積為S，高為h,則長方體的體積為：

VADD′A′-BCC′B′=Sh.因為棱錐D′-A′CD可以看成棱錐C-A′DD′，且△A′DD′的面積為

，棱錐的高為h,任務3：利用四棱臺模型，推導臺體的體積公式.棱臺和圓臺統稱為臺體.因為臺體可以看成錐體截去一個小錐體得到，所以臺體的體積可以通過計算錐體的體積之差來得到.問題：已知四棱臺上下底面面積分別為S1，S2，而且高為h，求這個棱臺的體積.如圖所示，將四棱臺看成從棱錐P-ABCD中截去棱錐P-A1B1C1D1所得到的，且設兩個棱錐的高分別為PO與PO1.由已知有：從而可知棱臺的體積為：再由

，因此可得：歸納總結1.臺體(棱臺與圓臺)的體積：如果臺體的上、下底面面積分別為S、S′，高為h，則臺體的體積計算公式為2.柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系：V臺體=中國古代數學名著《九章算術》中,將頂部為一線段，下底為一矩形的擬柱體稱之為芻甍(méng)，如圖幾何體為芻甍，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF//AB，EF=2，EF與面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為()練一練A．6

B．

C．8

D．9C解析：不妨設EF⊥面BCF，如圖所示，連接BE，CE，則多面體ABCDEF的體積為：V=V四棱錐E﹣ABCD

+

V三棱錐E﹣BCF常用的求幾何體體積的方法：(1)公式法：直接根據相關的體積公式計算.(2)等積法：根據體積計算公式，通過轉換空間幾何體的底面和