天津市高三下學(xué)期（理科）數(shù)學(xué)模擬考試卷附答案解析

班級:姓名：考號：

一、單選題

1.己知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={l,3,6,7}和3={1,2,5},則BCMA）=（）

A.{2,5,8}B.{3,6}C.{2,5}D.{2,3,5,6,8}

2.設(shè)“SeR,則“α<2且匕<2”是t,a+b<4,'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.學(xué)校組織班級知識競賽，某班的12名學(xué)生的成績（單位：分）分別是：73,74,76,82,82,87,90,91,92,94,96,98

則這12名學(xué)生成績的75%分位數(shù)是（）.

A.92B.87C.93D.91

4.函數(shù)y=（3'-I）In（CoSX）的部分圖象大致為（）

3Λ+1

5.設(shè)（5x-√7）"的展開式的各項系數(shù)之和為M,二項式系數(shù)之和為N,若M-N=240,則展開式V的系

數(shù)為

?.-150B.150C.-5∞D(zhuǎn).500

6.設(shè)α=5m,6=log*,c=log23,則。，燈，的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<c<a

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C.b<a<cD.c<a<b

7.已知函數(shù)"x）=ASin（8+9，4>0,。>0,倒<^的圖象如圖所示,將丫=/（力的圖象向右平移。（。>0）

個單位，使新函數(shù)為偶函數(shù)，則。的最小值為（）

5π

D.12

8.在雙曲線中虛軸長為6,且雙曲線與橢圓爐+16），2=16有公共焦點，則雙曲線的方程是（）

_3、「3、[4-2x,X&A

9.設(shè)集合A=1/和B=-.2∣,函數(shù)f(χ)T」若x°eB,且/(/(%))e3,則%的取值范

L'L'Γ^2,

圍是

37315

B.C.,

42~8

二、填空題

10.已知z=—^,則z-z=_________.

2÷ι

11.兩圓V+y2+4x-4y=0和V+y2+2χ-8=O相交于兩點M,N,則公共弦MN的長為.

12.已知正方體ABCn-ABCa的棱長為2√L其內(nèi)有2個不同的小球，球。「與三棱錐A-CBlQ的四個

面都相切，球o?與三棱錐A-CqA的三個面和球a都相切，則球。1的體積等于，球。2的表面積等

于.

13.當(dāng)x>O時x+1+3的最小值為____

X

14.在43。中點用滿足“8=1>13,且對于邊A3上任意一點N,恒有NB?NCNM8?MC.則

4

^CA+CB）AB=.

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三、雙空題

15.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A為“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件8為“取到的2

個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(A)為，P(3∣A)為—

四、解答題

16.已知函數(shù)/(x)=0'sin(4x+e).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求/(x)在區(qū)間上的最大值與最小值.

OO_

17.如圖，四棱錐P-A38中平面P43，平面

ABCD,ABHCD,AB±AD,AB=3,AD=√3,AP=CD=2,ZPAB=60,M是CO中點，N是P8上一點.

(1)當(dāng)尸N=gpB時

(i)證明：MN〃平面PAD；

(ii)求直線PM與平面B4Z＞所成角的正弦值；

4PN

(2)平面∕?r＞與平面AMN夾角的余弦值為《，求詬的值.

18.已知橢圓]+/=1(。＞?＞0)的左、右焦點分別為K和尸2,過ξ作斜率為乎的直線與橢圓相交于M、

N兩點，且M6與X軸垂直.

(1)求橢圓的離心率；

(2)若三角形KMN的面積為箸，求橢圓的方程.

19.在數(shù)列｛q,｝中q=6,an=4an]-6(∏≥2,〃eN").

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(1)求證：{q-2}是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{%+,}的前”項和S”.

20.己知函數(shù)f(x)=x?lng(α>O)

X

⑴若函數(shù)g(x)=e*在x=0處的切線也是函數(shù)/(χ)圖象的一條切線，求實數(shù)a的值；

(2)若函數(shù)/(χ)的圖象恒在直線x-y+l=0的下方，求實數(shù)a的取值范圍；

⑶若％,x,€(q，W),且為w%,判斷(W+%)'與“的大小關(guān)系，并說明理由.

e2

參考答案與解析

1.C

【分析】利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合Bc(Qd).

【詳解】由已知可得GA={2,4,5,8},因此，B(V)={2,5}.

故選：C.

2.A

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行推理即可.

【詳解】若α<2且8<2,貝∣Jq+6<4,充分，性成立；取”=-1,方=3,則α+%<4成立，但“α<2且6<2”

不成立，必要性不成立.因此“a<2且b<2”是“a+6<4”的充分不必要條件.

故選：A.

3.C

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的概念，計算12χ75%=9,即可求得答案.

【詳解】因為解x75%=9

故73,74,76,82,82,87,90,91,92,94,96,98的75%分位數(shù)是9士2+H94=93

2

故選：C

4.B

【分析】通過函數(shù)的奇偶性可排除AC,通過Xf(T時函數(shù)值的符號可排除D,進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】令/⑴=(3-其定義域為1]+2Eg+2E,∈Z關(guān)于原點對稱

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、(3-*T)In(COS-X)0—3')InCoSX

?S)-3^r+l-i+y-~C'

所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，即圖像關(guān)于原點對稱，故排除AC

當(dāng)x→(Γ時3"-l>0,3*+l>0和InCOSX<0,g∣J∕(x)<O,故排除D

故選：B.

5.B

【分析】分別求出展開式的各項系數(shù)之和〃和二項式系數(shù)之和為N,根據(jù)M-N=240求出〃的值，進(jìn)而寫

出通項，求出展開式Y(jié)的系數(shù).

(詳解](5x-√7)"中令X=I得展開式的各項系數(shù)之和M=Ar"

根據(jù)二項式系數(shù)和公式得二項式系數(shù)之和N=2"

M-N=240,所以4"-2"=240,解得〃=4

44rr,4r47

(5x-√x)"=(5x-√x)的展開式的通項為：y；tl=C;(5x)^(-√x)=(-!)5^C>

令4-]=3得z?=2,故展開式中χ3的系數(shù)為(τ)2χ52χCj=150

故選:B.

6.B

【分析】利用幕函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合“媒介”數(shù)比較大小作答.

【詳解】a=5^>=2,b=log32<log33=1l=log22<log,3<log24=2

?

,

則有Iog32<1<Iog23<2<s?所以。VCVɑ.

故選：B

7.D

【分析】由/(X)IΛ,=-2/(O)=如/(q)=0可求得/(x),由此可得平移后的解析式，根據(jù)平移后為

TT-JT

偶函數(shù)可構(gòu)造方程y-2^-→^(?∈Z),結(jié)合0>()可求得最小值.

【詳解】由圖象可知/Wmin=-2=-A.?.A=2;

,/(0)=2sin?c>=>∕3,.?.sin∕=N,又∣9∣<g'-φ=~z；

223

?=+=0ω*%=π，解得：?=2,"(X)=2sin(2x+-}

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.,./(x-，)=2sin(2x-2e+?J為偶函數(shù),-Λ-2θ=^+kπ(keZ)

解得：0=--^-y(?∈Z),又e>o

，當(dāng)Z=T時盤n若?

故選：D.

8.B

【分析】將橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程求出其焦點坐標(biāo)，再根據(jù)雙曲線虛軸長度為6,即可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

程.

9

【詳解】橢圓χ2+16/=16的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+y2=1；

16

易得橢圓焦點坐標(biāo)為(士岳，0)

又因為雙曲線與橢圓有公共焦點，所以雙曲線的焦點在X軸上，且C=A

由雙曲線虛軸長為6可知6=3,所以/=02-從=6；

所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為片-E=L

69

故選：B.

9.B

【解析】根據(jù)/(/(%))€8,根據(jù)函數(shù)解析式，即可求出與的取值范圍.

【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式，可得當(dāng)XeA時/(x)e(l,2],當(dāng)xe8時/(x)e1，5)

因為/(/α)))e8,故可得4-27(XO)W/2),解得/(%)e(l,?

1537

又因為x°∈3,故令1</一]≤w,解得

故Xo≡(?∣>^]?

故選:B.

【點睛】本題考查由分段函數(shù)的函數(shù)值范圍求解自變量范圍的問題，屬基礎(chǔ)題.

10.2

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法可求得z,即可得W=Li，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法即可得答案.

【詳解】由題意得Z=/圍=0"R=I+i,故W=>i

2+15

所以ZN=(I+i)(lT)=2

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故答案為：2

??-竽##三近

【分析】根據(jù)已知條件聯(lián)立方程組，求出交點坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式即可求解.

4

X=-

X2+y2+4x-4y=0(x=-45

【詳解】由解得或“

X2+y2+2x-8=0Iy=On12

y=w

所以不妨取兩圓的交點為M(-4,0),N

所以IMV卜/(-4_：1+(0_同=與叵

故答案為吆叵.

5

4

12.-ππ

3

【分析】由題意可知三棱錐A-CA0是邊長為2√6的正四面體,則球O1是三棱錐A-CBl。的內(nèi)切球,設(shè)其半

徑為K，由匕一αw=；XSCZWXAO=4×∣×SCBlD)XR,可知舄=；A0,設(shè)平面MNP〃平面CBa,且球。和

球。2均與平面MNP相切于點E,則球。2是正四面體A-MNP的內(nèi)切球,設(shè)其半徑為4,則&=；AE,最后

代入數(shù)據(jù)計算即可.

【詳解】因為正方體ABCo-A耳GA的棱長為2相

所以三棱錐A-CBa是邊長為2指的正四面體，CBQ的高為3五

設(shè)底面CBa的中心為0,連接8,則CO=IX3√Σ=2√ΣΛO=√24^8=4

則球Oi是三棱錐A-C瓦。的內(nèi)切球,設(shè)其半徑為Rl

則有乙cqq=§xSCXAO=4x§xSqqXRl

所以凡=；Ao=I

4

所以球Oi的體積為:萬

又球。2與三棱錐A-CBQl的三個面和球。|都相切

則設(shè)平面MNP〃平面CB1D1,且球O1和球0?均與平面MNP相切于點E,如下圖所示

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則球O2是三棱錐A-MNP的內(nèi)切球,設(shè)其半徑為R2

故AE=AO-2凡=2

因此在正四面體A-MvP中，R=-ΛE=-

242

所以球。2的表面積為〃

4

故答案為π.

【點睛】本題主要考查三棱錐內(nèi)切球的綜合問題,考查學(xué)生的空間思維及想象能力,有一定難度.

13.5

【解析】根據(jù)基本不等式可求得結(jié)果.

【詳解】因為x>0

所以x+'+3≥21Jx-+3=5,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時等號成立.

故答案為：5

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時要注意其必須滿足的三個條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)

成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所

求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

14.O

【分析】以A為原點，AB為X軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)3(4,0),C(α,A),N(X,0),可得MB?MC=α-3,

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NB?g[-等)川-用≥4”用'由此列方程求得"2'可得AC=BC,利用平面向量

數(shù)量積的運(yùn)算法則求解即可.

【詳解】

以A為原點，AB為X軸，建立直角坐標(biāo)系

設(shè)B(4,0),C(a,6),N(X,0)則M(3,0)

MBMC=(1,0)?(α-3向=°-3,

NB-NC=(4-x,0)?(a-x,b)=(4—x)(α-x)

=W-(4+4)x+40=k-等J；所”I

因為NBNC≥MB?MC

所以4a_S+4)2="3

4

解得a=2.?.AC=BC

所以(C4+CB)?AB=(CA+CB)?(C8-C4)=W_cT=0

故答案為0.

【點睛】平面向量數(shù)量積的計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐

標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問題以及最值問題時往往先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，轉(zhuǎn)化為解析幾何問

題或函數(shù)問題，可起到化繁為簡的妙用.

15.-##0.4工##0.25

54

【分析】根據(jù)條件概率和古典概型概率計算公式可得答案.

【詳解】從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，?(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4,),(3,5),(4,5)

10種情況

事件/有(1,3),(1,5),(2,4),(3,5)4種情況，事件B有(2,4)1種情況

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所以尸(A)HP(BM)T

21

故答案為：①三；②

54

LrrτrLrrτrL?τr-ττbrrσr

16.⑴/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為?--??+-(左eZ),單調(diào)遞減區(qū)間為?+—??+-(ZEZ).

(2)”==時八司有最大值0,A:=-2時/(x)有最小值一遠(yuǎn).

1282

【分析】（1）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，利用整體代入的方法求得了（X）的單調(diào)區(qū)間;

（2）根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式，利用函數(shù)的定義域確定函數(shù)的最大和最小值.

【詳解】⑴由2丘-94》+32也+半丘2）,解得Sq≤χ≤[E+.（keZ）,所以"x）的單調(diào)遞增

4VZ4乙VZJ?乙

πkππ

區(qū)間為一，--1—(ZwZ);

6212

由2E+:≤4x+S≤2E+BE(A∈Z),^My+?≤%≤y+^(?eZ),所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

kπTIkTIπ^∣

—+—,—+—(z?ι∈Z)

L21223Jv7

(2)/(x)=&sin(4x+,)，x∈-?^Λ時4x+?∈q丹

Ib√LɑθJo|_33

當(dāng)4x+J=m即X=S時〃x)有最大值&；

O212

當(dāng)4x+2=-［即X=Y時/U)有最小值-亞

6382

17.(1)(i)證明見解析；(ii)也

4

⑵28+24倔

【分析】（l）（i）以A為坐標(biāo)原點，AB為X軸，AD為》軸，過點A作面A88的垂線為Z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，求平面PAO的法向量加和直線MN的方向向量，證得MN，機(jī)，即可證明MN〃平面R40；

（ii）求直線PM的方向向量，由線面角的向量公式代入即可得出答案.

（2）設(shè)PN=Μ8=（2/,0,-育）,止[0,1],求平面/<4。與平面4^的法向量，由二面角的向量公式可求出，，

即可求出P言N的值.

【詳解】（1）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，以A為坐標(biāo)原點，AB為X軸，AO為V軸，過點A作

面ABa）的垂線為Z軸，則由題意可得8（3,O,O）,〃（O,6,O）,P（I,O,6）,M（I,G,O）

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ZA

由PB=(2,O,-√3),PΛ/=(0,√3,-√3),及PH=；PB即PN=gPB

可得PN=U_'0'-,MN=PN-PM=∣,f

(i)設(shè)平面PA。的一個法向量為6=(X,y,z)

APnI=X+幣z=U,x=-?∣3z

則解得

AD?m=y∕3y=0,y=0

令z=l,得加=(-6,0,1)是平面PAO的一個法向量.

因為MN,m=—2"+0+2'-0

33

所以MNI又MN(Z平面PAD

所以MN//平面PAZ).

?PM?mΛ∕2

⑴)由⑴可得C。S(PM⑺=研討=-彳

所以直線PM與平面PAo所成角的正弦值為也.

4

(2)設(shè)尸N="8=3,0,-G),f∈[0,l]

則AN=AP+PN=(1+2兀0,退一后)

設(shè)〃=(APX,Z])是平面AMN的一個法向量

n.AM=x.+?∣3y.=0

則《L

n?AN=(1+2，)再+>p(l-f)z1=0

取X=√3(r-l),則〃=(石("I),1-2+1)是平面AMN的一個法向量

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則卜式…肛觸=N+2E=4

1、(∣∕n∣?∣∏∣2√3(∕-l)2+(I-Z)2+(2/+1)25

解得,=28+24期或,=28-24倔(舍去)

487487

所以”=28+24倔

PB487

18.⑴克

2

⑵三+V=I

2

【分析】（1）求出點M的坐標(biāo)，根據(jù)心巧可得出關(guān)于。、C的齊次等式，即可解得該橢圓的離心率的

值;

（2）由（1）可得出橢圓的方程為=1,將直線MN的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出點M、N的坐

標(biāo)，利用三角形的面積公式可求得C的值，即可得出橢圓的方程.

儲”2,2

【詳解】（1）解：將X=C代入橢圓的方程可得??+2=l,解得y=±2

aba

因為直線MN的斜率為也,易知點MT

4

所以，Li_T__^_T2,所以，√2?2=^(a2-c2)=αt?

等式血（/-c2）=αc兩邊同時除以/可得缶?+e_應(yīng)=o

因為0<e<l,解得e=巫.

2

因此，該橢圓的離心率為史.

2

（2）解：由（1）知α=JJc,b=Ja2-c2=C故橢圓方程為37+==1

2c2C2

由題意，則直線MN的方程為y=也（x+c）

X2+2y2=2c2

聯(lián)立《日、，消去丁并化簡可得5∕+2CX-7C2=0,顯然△>（）

y=τ（χ+c）

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7τc

設(shè)點Ma,χ)和N(X2,%)，解得(√2或■

√-2

WF卜=-lo

故點例G*c)N-y,-^yC

所以，S"時,=；x2CXE-必|=￥，=竿，解得C=I

因此，橢圓的方程為《+V=L

2-

19.(1)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義證明;

(2)用分組求和法計算.

【詳解】(1)在數(shù)列｛““｝中4=6,α∣-2=4≠0,α,,=4t*-6,α,,-2=4(α,ι-2)*0(n≥2,∕j∈N*)

a—24。.—6—2.—8.

所以一E°一=—LV=4

a,,-ι~2??-1-2-2

則數(shù)列｛4-2｝是以4-2=4為首項，4為公比的等比數(shù)列；

(2)由(1)得”“-2=4x4"’=4",所以",,=4"+2,則%+〃=4"+〃+2

所以S,=(4l+3)+(4?+4)+(型+5)+…+(4"+”+2)

=(4,+42+43+???+4,,)÷[3÷4+5÷???+(n+2)]

,,+l

4'-4+(3+w+2)

1-423322

20.(De2

(2)(0,e2)

42

(3)(xl+X2)>αx1x,,理由見解析

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算g'(0),g(0),得到切線方程，設(shè)出與f(x)的切點坐標(biāo)，根據(jù)斜率和

截距相等，從而求出。的值;

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(2)問題轉(zhuǎn)化為Xlng-X-1<0對于x>0恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出。的范圍即可;

X

(3)根據(jù)函數(shù)/(x)的單調(diào)性得到/&)>/(先+々)，整理變形即可.

【詳解】(Og'(x)=e',g(x)在X=O處切線斜率々=g'(0)=lg(0)=l

所以切線/：y=x+i

又r(x)=lnf-l,設(shè)/與/(x)相切時的切點為(看,與始2)

,

則斜率k=f(x0)=?n--?

?

(\(\

則切線/的方程又可表示為y=?n--l(X-%)+XOlnq=?n--lΛ