2022-2023學(xué)年陜西省咸陽市武功縣高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

?.若i(l+z)=2,則W=()

A.-l-2iB.-l+2iC.l-2iD.l÷2i

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算和共輛復(fù)數(shù)的定義即可.

【詳解】vi(l+z)=2,

2

.'.z=-1=-2i—1.

i

.?.z=-l+2i.

故選：B.

2.已知￡=(-1,3),?=(2,λ),^α±(α-?),則4=()

A.-3B.4C.3D.-4

【答案】B

【分析】由平面向量的坐標(biāo)運算求解，

【詳解】因為ZR閩，所以ZG-L)=Z.岸10-(-2+32)=0,所以;1=4.

故選：B

3.設(shè)工是單位向量，M=3*麗=-3"，|而|=3,則四邊形N8CZ)是()

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

【答案】B

【分析】由題知方=3工=-無，進而得I萬|=卜萬|,ABHCD,再根據(jù)菱形的定義即可得答案.

【詳解】解：因為在=3&CD=-3e,

所以75=3工=-詼，即9//函，同=|西=慟=3口=3,

所以四邊形488是平行四邊形，

因為回卜3,即網(wǎng)=|囹，

所以四邊形N5C。是菱形.

故選：B

4.正方體中，點P,。，R,S是其所在棱的中點，則戶。與RS是異面直線的圖形是()

【答案】C

【分析】對于A,B,D,利用兩平行線確定一個平面可以證明直線PO與RS共面，對于C,利用異

面直線的定義推理判斷作答.

【詳解】對于A,在正方體力88-44GA中，連接4C，/￡,則/c〃4G，如圖,

因為點P，。，R,S是其所在棱的中點，則有尸O∕∕ZC,RS//4G，因此P0〃RS,則直線P。與

RS共面，A錯誤;

對于B,在正方體力88-440。|中，連接/C,QS,PR,如圖,

因為點P,Q,R,S是其所在棱的中點，有APuCR且AP=CR,則四邊形ZPAC為平行四邊形,

即有/C77PR,

又QSUAC,因此0S//PR,直線產(chǎn)。與RS共面，B錯誤;

對于C,在正方體/8CD中，如圖,

因為點P,Q,R,S是其所在棱的中點，有RSUBB而8片U平面/8耳4，RSe平面月88/,

則AS〃平面43片4,PQU平面/8月4，則直線P。與RS無公共點，又直線P。與直線8片相交,

于是得直線PO與RS不平行，則直線尸。與HS是異面直線，C正確；

對于。，在正方體Z8CD-4MGA中，連接48,OlC,PS,QR,如圖,

因為44〃JBC且40=BC,則四邊形為平行四邊形，有A?B"D?C,

因為點P,Q，R,S是其所在棱的中點，有PS"A、B,QRHDxC,則尸S//QR,直線尸。與HS共面,

D錯誤.

故選：C

5.已知兩個力耳，E的夾角為（它們的合力大小為10N,合力與耳的夾角為:，那么后的大小

為（）

A.5√2NB.5NC.5√3ND.ION

【答案】A

【分析】因為合力與M的夾角為:，用兩向量夾角的余弦公式列式求解

【詳解】因為兩個力耳，片的夾角為？所以耳?E=o,

又因為它們的合力大小為ION,合力與M的夾角為：，設(shè)合力與月的夾角為。，

所以8S"崎#=露=￥'解得同=50.

故選：A.

6.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的直角梯形，其中BC=N8=2,則

【分析】先求出直觀圖中，AADC=45o,AB=BC=2,AD=加,AC=4,即可得到原圖形是一個直角

梯形和各個邊長及高，直接求面積即可.

【詳解】直觀圖中，ZADC=45°,AB=BC=2,DCLBC,/.JD=2√2,DC=4,

.?.原來的平面圖形上底長為2,下底為4,高為4√Σ的直角梯形，

.?.該平面圖形的面積為（2+4）x4五x；=12".

故選：C

7.在Δ∕18C中，若COS2/+cos。8>2-si∏2C，則A48C的形狀是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.無法判斷

【答案】A

【分析】cos2A+cos2B>2-sin2C<=>sin2+sin2B<sin2C,利用正弦定理可得"+/，再利

用余弦定理即可判斷三角形形狀.

【詳解】由CoS°/+cos?8>2-sin?C，得sin?N+sin?B<sin?C，由正弦定理，Wa2+b2<c2>

所以cosC="-+'-><0,故。為鈍角，所以A48C是鈍角三角形.

Iab

故選：A.

【點睛】本題考查利用正余弦定理判斷三角形形狀，考查學(xué)生對定理的靈活運用，是一道容易題.

8.當(dāng)Z=-Y時，ZK）°+z5°+l的值等于（）.

A.1B.-1

C.iD.-i

【答案】D

【分析】由已知先求出T的值，然后代入ZHW+z5。+1化簡可得答案

*iu）?—1—iz2（1—i丫1—2i+i~

【詳解】解：由z=-0?,得aZ=I—y—I=-----------=—?,

所以2'°。+25°+1=（-y°+（7）25+1

=-1—i+l=-i

故選：D

二、多選題

9.下列說法中，錯誤的有（）

A.向量荏與向量強是相等向量

B.與實數(shù)類似，對于兩個向量￡,B有￡=B，α>?.力三種關(guān)系

C.兩個向量平行時，表示向量的有向線段所在的直線一定平行

D.若兩個非零向量是共線向量，則向量所在的直線可以平行，也可以重合

【答案】ABC

【分析】利用向量的概念、相等向量、共線向量的概念一一判定即可.

【詳解】對于A項，可知向量而與向量0方向相反故非相等向量，A錯；

對于B項，由于向量具有方向，故不能判定大小，其模有大小，B錯；

對于C項，向量的平行包含重合，但有向線段平行與重合是兩個概念，C錯；

對于D項，共線向量所在的直線可以是平行也可以重合，D正確.

故選：ABC

10.在中，角45,C的對邊分別為α,6,c.根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，其中正確的

是（）

A.a=5,?=7,c=8,有唯—?解

B.b=18,c=20,B=60°,無解

C.d=8,ft=8√2,B=450,有兩解

D.1=30,6=25,4=150。,有唯一解

【答案】AD

【分析】根據(jù)三邊確定可判斷A選項；由正弦定理，在結(jié)合大邊對大角可判斷B,C,D選項.

【詳解】解：選項A,a=5,b=7,c=8,已知三邊三角形確定，有唯一解，A正確；

6

選項B,由正弦定理得：???,則.Ccsin820×T5√5^∣,再由大邊對大角可得

sin5SinCSlnC=---=——?=-----<1

?189

C>B,故C可以為銳角，也可以為鈍角，故三角形有兩解，B錯誤；

b

選項C,由正弦定理得：，a一=一與，則°—asinBδ×T1,且α<b,由大邊對大角可

sm”即8SmZ=丁=I?=”

得/<8,則A只能為銳角，故三角形有唯一解，C錯誤；

選項D,由正弦定理得：??-?-,sin8=刎更=爭臀=三<1,由于/=150。，則8是銳

sinAsinBa3012

角，有唯一解，D正確.

故選：AD.

H.m,〃是空間中不同的直線，α,β,V是不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若IHm,〃?Uα,Iaa,則//∕ɑ

B.若IUa,muβ,allβ,則〃/加

C.若a//￡,β∣∣γ,則α∕∕y

D.若/,小是兩條異面直線，且〃∕α,mila,IHβ,m∕∕β,則ɑ//夕

【答案】ACD

【分析】根據(jù)直線、平面的位置關(guān)系逐一判斷即可.

【詳解】由線面平行的判定可知，故A正確；

若Iua,muβ,a∕∕β,貝∣J∕與〃?異面或平行，故B錯誤；

由面面平行的性質(zhì)可知，故C正確；

I,切是兩條異面直線，IMa,mHa,U∕β,mllβ,則存在直線/使得M〃”?，且相交，設(shè)/,M

確定的平面由面面平行的判定可知7〃a,同理可得力/夕，則α〃夕，故D正確.

故選：ACD

12.如圖，正方形RBCO的邊長為2,動點P在正方形內(nèi)部及邊上運動，AP=^JB+μAD,則下列

結(jié)論正確的有（）

A.點P在線段BC上時，方.萬為定值

B.點P在線段C。上時，萬.而為定值

C.2+〃的最大值為2

D.使/1+2〃=：的P點軌跡長度為正

22

【答案】AC

【分析】以點A為坐標(biāo)原點，AB、4。所在直線分別為x、V軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點

P(X,y)(0≤x≤2,0≤y≤2),利用平面向量的坐標(biāo)運算逐項判斷，可得出合適的選項.

【詳解】以點A為坐標(biāo)原點，AB、所在直線分別為X、夕軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)點P(XM(O≤x≤2,0≤y≤2),

則/8=(2,0),AD=(0,2),AP=(x,y),AB-AP=2x>

當(dāng)點P在線段8C上時，x=2,AB-AP^2x=2×2=4＞故A正確;

當(dāng)點P在線段CD上時，X不是定值，布.方=2x不為定值，故B錯誤；

由萬=撫+得(XM=42,0)+〃(0,2)=(2人2〃)，則/1=：,〃=?

所以2+〃=；(x+y),故當(dāng)X=V=2時，即當(dāng)點P與點C重合時，X+〃取得最大值2,故C正確;

由2+2〃=；得g+y=；，直線之+y=；交X軸于點E(LO),交丁軸于點尸(0,；］,

所以，使4+2〃=；的尸點軌跡為線段E尸，且怪曰=卜+(；)=￥，故D錯誤.

故選：AC.

三、填空題

13.已知實數(shù)X,y滿足(2+i)x=4+yi,則x+y=.

【答案】4

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等列方程求解即可.

【詳解】???(2+i)x=4+”,

.,.2x+xi=4+yi,

4

.?[,χr=y,

..x=y=2,

x+y=4.

故答案為：4

14.已知同=6,W=3,Z/=T2,則Z在B方向上的投影數(shù)量是.

【答案】-4

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的公式和投影的概念即可.

【詳解】α??=∣α∣j∕j∣cos6>=3WCOSe=-12,

.?.Lr∣cos0=Y

故G在B方向上的投影數(shù)量是-4.

故答案為：-4

15.已知復(fù)數(shù)1+i是關(guān)于X的方程χ2+px+g=0(p,"R)的一個根，則加+列=.

【答案】2√2

【分析】根據(jù)實系數(shù)方程虛根成對原理可得復(fù)數(shù)1-i也是方程的一個根，利用韋達(dá)定理及復(fù)數(shù)代數(shù)

形式的運算法則求出p、q,即可求出其模.

【詳解】因為復(fù)數(shù)1+i是關(guān)于X的方程f+px+q=0(pM∈R)的一個根，

所以復(fù)數(shù)1-i也是關(guān)于X的方程/+夕義+<7=0(。應(yīng)€1<)的一個根,

(l+i)+(l-i)=-p

所以,所以P=-2、g=2,

(ι+i)?(ιτ)=q

所以加+列=卜2+24=J(-2f+22=2√L

故答案為：2√Σ

16.已知矩形ZBCD的頂點都在球心為。的球面上，AB=y∕3,8C=3,且四棱錐。-/8CC的體

積為4百，則球。的表面積為.

【答案】76π

【分析】先確定球心到面/8CD的距離，再計算球半徑即可.

【詳解】設(shè)球心到面488的距離為d,半徑為R,由矩形48CD的頂點都在球心為。的球面上可

知球心在底面ZBCD的投影為矩形的中心,

21

易得4D=AB+BC=2√3,S^BCD=3√3，VOTBcn=/?nd=4,

故K==Vr^=S球=4或2=76π.

故答案為：76π

四、解答題

17.平面內(nèi)給定兩個向量Z=(3,2),6=(-1.2)

(1)設(shè)［與］的夾角為。,求CoS。；

(2)求②-向.

【答案】⑴逅;

65

(2)√53.

【分析】(1)根據(jù)已知條件分別求出Z與坂的數(shù)量積及模長，利用向量的夾角公式直接代入求解即可;

(2)根據(jù)向量的坐標(biāo)運算以及模長公式求解即可.

【詳解】⑴因為2=(3,2),S=(-1,2),

所以±%=3x(-l)+2x2=1,

Iq=y∣32+22=y∕13,W=^(-l)2+22=卡,

na-b1√65

所以c°s"麗=而南=有；

(2)因為α=(3,2),(=(-1,2),

所以2H(3,2)_(T,2)=(7,2),

所以∣2l-B∣=J72+22=底.

18.如圖，在四棱錐P-43C。中，底面力8C。是矩形，以為點尸到平面48C。的距離，48=4,

PM

AD=3,PA=3,點E、M分別在線段48、PC上，其中E是/8中點，—=2,連接ME.

MC

P

M

/∕?χc

AEB

（1）當(dāng)2=1時，證明：直線ME〃平面以。；

（2）當(dāng)義=2時，求三棱錐BC。的體積.

【答案】（1）證明見解析

（2）2

【分析】（1）構(gòu)造平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理即可.

PM

（2）根據(jù)窸=2,求出三棱錐CD的高，然后利用體積公式即可.

【詳解】（1）取尸。中點N,連接AN,

???Λ∕N是APCZ）的中位線，.?.肱W∕CO,S,MN≈-CD,

2

又AEHCD,且ZE=‘CD,.?.四邊形NEMN為平行四邊形，

2

--MEIIAN

又MEa平面R4D,ANu平面R4D,：.陋〃平面R4D.

(2)V-=2,尸到平面188的距離為3,點M到平面/8C。的距離為1,

MC7

V,.=-×?×4×3×1=2.

,κιw-zrfγcγ"32

19.已知z=α+bi（“/eR）,z+2i和E均為實數(shù)，其中i是虛數(shù)單位.

2-1

⑴求復(fù)數(shù)z；

-17

（2）若z∣=z+；對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)機的取值范圍.

m-?加+2

【答案】（I）Z=4-2i

?7

【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則化簡z+2i、?,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念得到方程，求出a、

2-ι

6的值，即可得解；

（2）結(jié)合（1）得到z∣,再根據(jù)題意得到不等式組，解得即可.

【詳解】⑴由z+2i=a+(6+2)i為實數(shù)，可得6+2=0,則b=-2.

Z_a+?i_(a+6i)(2+i)_2a+2Fi為實數(shù)，則與=0,得“=4,

x2≡i^2-i(2-i)(2+i)^5

J?

.?.z=4-2i.

/_、?

(2)*.,Zj=ZH-------1-------------7-----1,

m—1m+2

.??4=4+—L+12—?-]i,則Zl在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(4+—2-一?-

m-??m+2JVm-?m+2

-17

而4=z+―---對應(yīng)的點在第四象限，

m-?m+2

4+^—>0

■m?,解得-2</<3或1<加<3,

2———<042

加+2

故加的取值范圍為’2,目口卜|）.

sinJ+sinB

20.在春BC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知

b-asinJ+sinC

（1）求角8的大小;

(2)若SinC=2sin4,且S“蹂=26，求〃和c；

(3)若6=百，ac=?,求的周長.

,田eQ，、2兀

【答案】(1)?y

(2)6F=2,c=4

(3)2+√3.

【分析】（1）根據(jù)正余弦定理化簡即可.

（2）根據(jù)正弦定理結(jié)合三角形面積公式即可.

（3）根據(jù)余弦定理求出a+c的值即可.

,,?,_/、.csinJ+sin

【詳a解zj】（1）?∕jI8C中，-=-------,

b-as?n^+SinC

由正弦定理得:

c_a+b

b-aa-?-c

/.ac+c2=h2-a1>即c2+a2-b2=-ac，

???cosJ+2=W=-L,

IacIac2

在三角形中，0<8<兀，

.??8=”

3

(2)vsinC=2sin√4,由正弦定理得：c=2a,

乂—SAABC=5QCsinB—ac，?'?QC=8,

.a=2,c=4.

2222

(3)由余弦定理：3=b=a+c-2accosB=(^a+c)-acf:.a+c=2f

故28C周長為2+6.

21.在如圖所示的正方體N8CD-∕'8'C'D'中，E,F,G分別為棱48,AA',CC'的中點

(I)證明：E,F,C,。四點共面；

(2)證明：平面EFG〃平面H8C'.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】(1)連接。C，根據(jù)公理4可證得QV/8',再根據(jù)公理2的推論即可證出；

(2)易證EE//平面W8C',尸G〃平面48C',再根據(jù)面面平行的判定定理即可證出.

【詳解】(1)連接"C,因為月88-H8'C7)'為正方體，所以∕O'=5C,且4O'∕∕8C,所以四邊

形488'為平行四形.所以/8〃8’，又因為《，尸分別為棱/B,的中點，所以A'B∕/EF，

所以EF"CD'，所以E,F,D1,C四點共面.

(2)連接尸G,EG,因為E,F,G分別為棱/8,AA',CC'的中點，所以EF"4'B,因為EFa

平面HBC所以防〃平面HBC.

同理，因為/F=CG，且∕W∕∕C'G,所以ZHG。為平行四邊形，所以R7∕∕∕C’,又因為

FGCABC',所以FG〃平面HSC'.又因為MCFG=尸，所以平面EFG〃平面48C'.

AEB

22.某地棚戶區(qū)改造建筑平面示意圖如圖所示，經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似為圓

面，該圓面的內(nèi)接四邊形/BCO是原棚戶區(qū)建筑用地，測量可知邊界/8=4。=4萬米，BC=6萬

米，Cr>=2萬米.