核心素養測評二十五平面向量的線性運算(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(多選)下列說法錯誤的是 ()A.方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量是0C.長度相等的向量叫做相等向量D.共線向量是在一條直線上的向量【解析】選ACD.對于選項A,因為方向相同或相反的非零向量是平行向量,所以該說法錯誤;對于選項B,因為零向量就是0,所以該說法正確;對于選項C,方向相同且長度相等的向量叫相等向量,所以該說法錯誤;對于選項D,共線向量所在直線可能重合,也可能平行,所以該說法錯誤.2.在△ABC中,D,E,F分別是AB,BC,AC的中點,則= ()A.+ B.+C.+ D.+【解析】選D.如圖,因為=,又因為=+,所以=+.【變式備選】如圖,向量ab等于 ()A.4e12e2 B.2e14e2C.e13e2 D.3e1e2【解析】選C.由題圖可知ab=e13e2.3.(2019·石家莊模擬)在△ABC中,點D在邊AB上,且=QUOTE,設=a,=b,則= ()A.QUOTEa+QUOTEb B.QUOTEa+QUOTEbC.QUOTEa+QUOTEb D.QUOTEa+QUOTEb【解析】選B.因為=QUOTE,所以=QUOTE,所以=+=+QUOTE=+QUOTE()=QUOTE+QUOTE=QUOTEa+QUOTEb.4.(2019·唐山模擬)在等腰梯形ABCD中,=2,M為BC的中點,則= ()A.QUOTE+QUOTE B.QUOTE+QUOTEC.QUOTE+QUOTE D.QUOTE+QUOTE【解析】選B.因為=2,所以=2.又M是BC的中點,所以=QUOTE(+)=QUOTE(++)=QUOTE=QUOTE+QUOTE.5.(2020·黃山模擬)已知向量a,b是兩個不共線的向量,若向量m=4a+b與n=aλb共線,則實數λ的值為 ()A.4 B.QUOTE C.QUOTE D.4【解析】選B.由已知得m=kn,即4a+b=k(aλb).所以QUOTE解得QUOTE6.矩形ABCD的對角線相交于點O,E為AO的中點,若=λ+μ(λ,μ為實數),則λ2+μ2= ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】選A.=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(+)=QUOTEQUOTE,所以λ=QUOTE,μ=QUOTE,所以λ2+μ2=QUOTE.7.(2019·濟南模擬)已知向量a,b不共線,且c=λa+b,d=a+(2λ1)b,若c與d共線反向,則實數λ的值為 ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】選B.由于c與d共線反向,則存在實數k使c=kd(k<0),于是λa+b=k[a+(2λ1)b],整理得λa+b=ka+(2λkk)b.因為a,b不共線,所以QUOTE整理得2λ2λ1=0,解得λ=1或λ=QUOTE,又k<0,所以λ<0,所以λ=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)8.如圖,在△ABC中,D為邊BC上靠近B點的三等分點,連接AD,E為線段AD的中點,若=m+n,則m=________,n=________.

【解析】=QUOTE=QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE()QUOTE=QUOTE+QUOTE,又=m+n,所以m=QUOTE,n=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE9.在平行四邊形ABCD中,=e1,=e2,=QUOTE,=QUOTE,則=________.(用e1,e2表示) 導學號

【解析】如圖所示,==+2=+QUOTE=QUOTE+QUOTE()=QUOTEe2+QUOTE(e2e1)=QUOTEe1+QUOTEe2.答案:QUOTEe1+QUOTEe210.直線l上有不同的三點A,B,C,O是直線l外一點,對于向量=(1cosα)+sinα(α是銳角)總成立,則α=________. 導學號

【解析】因為直線l上有不同的三點A,B,C,所以存在實數λ,使得=λ,所以=λ(),即=QUOTE+λ,所以QUOTE所以sinα=cosα,因為α是銳角,所以α=45°.答案:45°(15分鐘35分)1.(5分)一直線l與平行四邊形ABCD中的兩邊AB,AD分別交于點E,F,且交其對角線AC于點M,若=2,=3,=λμ(λ,μ∈R),則QUOTEμλ= ()A.QUOTE B.1 C.QUOTE D.3【解析】選A.=λμ=λμ(+)=(λμ)μ=2(λμ)3μ,因為E,M,F三點共線,所以2(λμ)+(3μ)=1,即2λ5μ=1,所以QUOTEμλ=QUOTE.2.(5分)(2020·朔州模擬)在△ABC中,+=2,+=0,若=x+y,則 ()A.y=3x B.x=3yC.y=3x D.x=3y【解析】選D.因為+=2,所以點D是BC的中點,又因為+=0,所以點E是AD的中點,所以有:=+=+QUOTE=+QUOTE×QUOTE(+)=QUOTE+QUOTE,因此x=QUOTE,y=QUOTE?x=3y.3.(5分)(2020·合肥模擬)設D,E,F分別為△ABC三邊BC,CA,AB的中點,則+2+3= 導學號()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因為D,E,F分別為△ABC三邊BC,CA,AB的中點,所以+2+3=QUOTE(+)+2×QUOTE(+)+3×QUOTE×(+)=QUOTE+++QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+=QUOTE+=QUOTE.4.(10分)如圖,在△ABC中,D為BC的四等分點,且靠近B點,E,F分別為AC,AD的三等分點,且分別靠近A,D兩點,設=a,=b.(1)試用a,b表示,,.(2)證明:B,E,F三點共線. 導學號【解析】(1)在△ABC中,因為=a,=b,所以==ba,=+=+QUOTE=a+QUOTE(ba)=QUOTEa+QUOTEb,=+=+QUOTE=a+QUOTEb.(2)因為=a+QUOTEb,=+=+QUOTE=a+QUOTE=QUOTEa+QUOTEb=QUOTE(a+QUOTEb),所以=QUOTE,與共線,且有公共點B,所以B,E,F三點共線.5.(10分)經過△OAB的重心G的直線與OA,OB分別交于點P,Q,設=m,=n,m,n∈R+,求m+n的最小值.導學號【解析】設=a,=b,由題意知=QUOTE×QUOTE(+)=QUOTE(a+b),==nbma,==QUOTEa+QUOTEb,由P