§3分部積分法目的要求】1、不定積分的分部積分方法；2、用分部積分法求積分的常用被積函數(shù)類型介紹及技巧．【重點(diǎn)難點(diǎn)】u、dv的設(shè)法及積分技巧．【教學(xué)內(nèi)容】前面我們?cè)趶?fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上，得到了換元積分法．現(xiàn)在我們利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則，來推得另一個(gè)求積分的基本方法——分部積分法．設(shè)函數(shù)及具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為，移項(xiàng)，得．對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分，得(1)公式(1)稱為分部積分公式．如果求有困難，而求比較容易時(shí)，分部積分公式就可以發(fā)揮作用了．為簡(jiǎn)便起見，也可把公式(1)寫成下面的形式：(2)現(xiàn)在通過例子說明如何運(yùn)用這個(gè)重要公式．例1求．解這個(gè)積分用換元積分法不易求得結(jié)果．現(xiàn)在試用分部積分法來求它．但是怎樣選取和呢？如果設(shè)，，那么，，代入分部積分公式(2)，得，而容易積出，所以．求這個(gè)積分時(shí)，如果設(shè)，，那么，．于是．上式右端的積分比原積分更不容易求出．由此可見，如果和選取不當(dāng)，就求不出結(jié)果，所以應(yīng)用分部積分法時(shí)，恰當(dāng)選取和是一個(gè)關(guān)鍵．選取和一般要考慮下面兩點(diǎn)：(1)要容易求得；(2)要比容易積出．例2求．解設(shè)，，那么，，于是．運(yùn)用分部積分公式（2）的形式，如上列例1，例2的求解過程也可表述為．．例3求．解設(shè)，，那么．這里比容易積出，因?yàn)楸环e函數(shù)中的冪次前者比后者降低了一次．由例2可知，對(duì)再使用一次分部積分法就可以了，于是．總結(jié)上面三個(gè)例子可以知道，如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正（余）弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)為．這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪次降低一次．這里假定冪指數(shù)是正整數(shù)．例4求．解設(shè)，，那么．例5求．解設(shè)，，那么．在分部積分法運(yùn)用比較熟練以后，就不必再寫出哪一部分選作，哪一部分選作．只要把被積表達(dá)式湊成的形式，便可使用分部積分公式．例6求解．總結(jié)上面三個(gè)例子可以知道，如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為．例7求．解，等式右端的積分與等式左端的積分是同一類的．對(duì)右端的積分再用一次分部積分法，得，由于上式右端的第三項(xiàng)就是所求的積分，把它移到等號(hào)左端去，再兩端同除以2，便得．因上式右端已不包含積分項(xiàng)，所以必須加上任意常數(shù)．例8求．解．由于上式右端的第三項(xiàng)就是所求的積分，把它移到等號(hào)左端去，再兩端同除以2，便得．例9求．解．所以．同樣的方法可推出：．在積分的過程中往往要兼用換元法與分部積分法，如例5，下面再來舉一個(gè)例子．例10求．解令，則．于是．利用例2的結(jié)果，并用代回，便得所求積分：．各類積分法小結(jié)至此，我們研究了不定積分的計(jì)算方法：直接積分法、湊微分法、換元積分法和分部積分法．一般地，直接積分法使用于求簡(jiǎn)單被積函數(shù)的積分；湊微分法（第一類換元法）較適合于求積分表達(dá)式能分解成f[g(x)]d[g(x)]形式的不定積分；第二類換元法較適合