高中數學湘教版必修第二冊第五章概率5.1隨機事件與樣本空間5.1.1隨機事件教材要點要點一隨機現象1．在相同的條件下，不同次的試驗或觀察會得到不同的結果，每一次試驗或觀察之前不能確定會出現哪種結果，我們把這種現象稱為隨機現象．2．對隨機現象進行試驗、觀察或觀測稱為隨機試驗．隨機試驗一般用大寫字母________表示．

狀元隨筆(1)隨機現象與確定性現象不同，確定性現象在一定的條件下必然發生(出現)．(2)隨機現象的結果不止一個，哪個結果出現事先并不知道．E要點二樣本空間1．樣本點：對于一個隨機試驗，我們將該試驗的每個可能________稱為樣本點．一般用________(或帶下標)表示．2．樣本空間：將隨機試驗所有________構成的集合稱為此試驗的樣本空間，用________表示．3．如果樣本空間中________的個數是有限的，則稱該樣本空間為有限樣本空間．

狀元隨筆樣本點與樣本空間的關系是元素與集合的關系．樣本空間中的元素可以是數，也可以不是數．結果ω樣本點Ω樣本點要點三隨機事件1．一般地，當Ω是試驗的樣本空間時，我們稱Ω的________是Ω的隨機事件，簡稱為事件，一般用大寫字母A，B，C，…表示．2．由____________組成的集合稱為基本事件．3．由于樣本空間Ω包含了所有的樣本點，所以必然發生，我們稱樣本空間Ω為________事件．4．空集?也是Ω的子集，所以?也是事件，但空集?中沒有樣本點，永遠不會發生，稱?是________事件．狀元隨筆隨機事件在一定條件下可能發生，也可能不發生；必然事件一定會發生，不可能事件一定不會發生．子集一個樣本點必然不可能基礎自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)隨機試驗的所有可能結果是不明確的．(

)(2)必然事件不是樣本空間Ω的子集．(

)(3)隨機試驗的樣本空間是一個集合．(

)(4)我們一般用列舉法表示樣本空間和隨機事件．(

)××√√2．下列事件：①明天下雨；②3>2；③某國發射航天飛機成功；④x∈R，x2＋2<0；⑤某商船航行中遭遇海盜；⑥任給x∈R，x＋2＝0.其中隨機事件的個數為(

)A．1

B．2C．3

D．4答案：D解析：①③⑤⑥是隨機事件，②是必然事件，④是不可能事件．3．從6名男生、2名女生中任選3人，則下列事件中，必然事件是(

)A．3人都是男生B．至少有1名男生C．3人都是女生D．至少有1名女生答案：B解析：由于女生只有2人，而現在選擇3人，故至少要有1名男生．4．拋擲二枚硬幣，面朝上的樣本空間有________________________________________．{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}解析：每枚硬幣都有可能正面朝上、反面朝上，則樣本空間為{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}．題型1事件類型的判斷例1指出下列事件是必然事件、不可能事件，還是隨機事件．(1)在標準大氣壓下，溫度低于0℃時，冰融化；(2)某個數的絕對值小于0；

(3)擲一枚硬幣，出現正面；(4)某地12月12日下雨；

(5)導體通電后發熱；(6)沒有水分，種子發芽；

(7)三角形的內角和為180°；(8)某人購買福利彩票5注，均未中獎．解析：(5)(7)無論在什么條件下都一定會發生，所以是必然事件．(1)(2)(6)一定不會發生，所以是不可能事件．(3)(4)(8)有可能發生也有可能不發生，所以是隨機事件．方法歸納要判定事件是何種事件，首先要看清條件，因為三種事件都是相對于一定條件而言的．第二步再看它是一定發生，還是不一定發生，還是一定不發生．一定發生的是必然事件，不一定發生的是隨機事件，一定不發生的是不可能事件．跟蹤訓練1

(1)(多選)下列事件中是隨機事件的是(

)A．任取一個整數，被2整除B．小明同學在某次數學測試中成績不低于120分C．甲、乙兩人進行競技比賽，甲的實力遠勝于乙，在一次比賽中甲獲勝D．當圓的半徑變為原來的2倍時，圓的面積是原來的4倍答案：ABC解析：ABC均是可能發生也可能不發生的事件，為隨機事件，D是一定發生的事件，為必然事件．(2)一個不透明的袋子中裝有8個紅球，2個白球，除顏色外，球的大小、質地完全相同，采用不放回的方式從中摸出3個球．下列事件為不可能事件的是(

)A．3個都是白球

B．3個都是紅球C．至少1個紅球

D．至多2個白球解析：袋子中裝有8個紅球，2個白球，摸出的3個球都是白球是不可能發生的，故3個都是白球為不可能事件，故選項A正確；摸出的3個都是紅球為隨機事件，故選項B不正確；袋子中只有2個白球，摸出3個球至少1個紅球為必然事件，故選項C不正確；摸出的球至多2個白球是必然事件，故選項D不正確．答案：A題型2確定試驗的樣本空間角度1列表法確定樣本空間例2

袋中有紅、白、黃、黑四個顏色不同、大小相同的小球，按下列要求分別進行試驗．(1)從中任取一個球；(2)從中任取兩個球；(3)先后各取一個球(不放回)．分別寫出上面試驗的樣本空間，并指出樣本點的總數．解析：(1)Ω＝{紅，白，黃，黑}，樣本點的總數為4.(2)一次取兩個球，若記(紅，白)代表一次取出紅球、白球各一個，則樣本空間Ω＝{(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，黑)}，樣本點的總數為6.(3)先后取兩個球，如記(紅，白)代表第一次取出一個紅球，第二次取出一個白球．列表如下：第一次第二次紅白黃黑紅

(白，紅)(黃，紅)(黑，紅)白(紅，白)

(黃，白)(黑，白)黃(紅，黃)(白，黃)

(黑，黃)黑(紅，黑)(白，黑)(黃，黑)

則樣本空間為Ω＝{(紅，白)，(白，紅)，(紅，黃)，(黃，紅)，(紅，黑)，(黑，紅)，(黃，黑)，(黑，黃)，(黃，白)，(白，黃)，(白，黑)，(黑，白)}，樣本點的總數為12.角度2樹狀圖法確定樣本空間例3

將數字1，2，3，4任意排成一列，試寫出該試驗的樣本空間．解析：這個試驗的樣本點實質是由1，2，3，4這四個數字組成的沒有重復數字的四位數，所作樹狀圖如圖．

這個試驗的樣本空間Ω＝{1234，1243，1324，1342，1432，1423，2134，2143，2341，2314，2431，2413，3124，3142，3214，3241，3421，3412，4123，4132，4213，4231，4312，4321}．角度3列舉法確定樣本空間例4

從1，2，3，5中任取兩個數字作為直線Ax＋By＝0的系數A，B.(1)寫出這個試驗的樣本空間；(2)求這個試驗的樣本點的總數；(3)寫出“這條直線的斜率大于－1”這一事件所包含的樣本點．

方法歸納求試驗的樣本空間主要是通過觀察、分析、模擬試驗，列舉出各個樣本點．對于樣本點個數的計算，要保證列舉出的試驗結果不重不漏．寫樣本空間時應注意兩大問題：一是抽取的方式是否為不放回抽取；二是試驗結果是否與順序有關．跟蹤訓練2

將一枚骰子先后拋擲兩次，試驗的樣本點用(x，y)表示，其中x表示第一次拋擲出現的點數，y表示第二次拋擲出現的點數．(1)求樣本空間中的樣本點個數；(2)用集合表示事件“出現的點數之和大于8”．解析：(1)方法一(列舉法)試驗的樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，共36個樣本點．方法二(樹狀圖法)一枚骰子先后拋擲兩次的所有可能結果用樹狀圖表示，如圖所示．由圖可知，共36個樣本點．方法三(坐標系法)如圖所示，坐標平面內的數表示相應兩次拋擲后出現的點數的和，樣本點與所描述的點一一對應．由圖可知，樣本點個數為36.(2)“出現的點數之和大于8”可用集合表示為{(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．易錯辨析不能正確理解試驗結果致誤例5

隨機選擇一個有兩個小孩的家庭，觀察兩個孩子的性別．(1)寫出試驗的樣本空間；(2)用集合表示隨機事件A＝“一個男孩，一個女孩”．解析：(1)因為兩個孩子的性別共有“兩男”“兩女”“男女”“女男”四種基本結果，所以樣本空間Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．(2)因為“一個男孩，一個女孩”的結果有兩種，所以A＝{(男，女)，(女，男)}．易錯警示易錯原因糾錯心得將“一男一女”與“一女一男”兩種結果錯認為是一種結果，導致結果出錯．1.把握隨機試驗的實質，明確試驗的條件．2．若在題干中強調了“先后”“依次”“順序”“前后”就必須注意順序問題，列舉樣本空間與隨機事件時要做到不重不漏．課堂十分鐘1．下列事件中，隨機事件的個數為(

)①明天是陰天；②方程x2＋2x＋5＝0有兩個不相等的實數根；③明年鴨河水庫儲水量將達到80%；④一個三角形的大邊對大角，小邊對小角．A．1B．2

C．3D．4答案：B解析：①③是隨機事件；④是必然事件；Δ＝4－20<0，無實數根，②是不可能事件．2．下列事件是必然事件的是(

)A．從分別標有數字1，2，3，4，5的5張標簽中任取一張，得到標有數字4的標簽B．函數y＝logax(a>0且a≠1)為增函數C．平行于同一條直線的兩條直線平行D．隨機選取一個實數x，得2x<0答案：C解析：A是隨機事件，5張標簽都可能被取到；B是隨機事件，當a>1時，函數y＝logax為增函數，當0<a<1時，函數y＝logax為減函數；C是必然事件；D是不可能事件，根據指數函數y＝2x的圖象可得，對任意實數x，2x>0.3．從1，2，3，…，10這10個數中，任取3個數，那么“這3個數的和不大于8”這一事件包含的樣本點的個數是(

)A．4B．5C．6D．7答案：A解析：從1，2，3，…，10這10個數中，任取3個數，這三個數之和不大于8，列舉如下：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}四種情況．4．從數字1，2，3，4，5中任取兩個不同的數字組成一個兩位數，則事件A＝“這個兩位數大于40”的集合表示是________________________________．{41，42，43，45，51，52，53，54}解析：因為這個兩位數大于40，所以十位數字為4或5，所以A＝{41，42，43，45，51，52，53，54}．5．隨意安排甲、乙、丙三人在3天節假日中值班，每天1人值班，試寫出值班順序的樣本空間．解析：樣本空間Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}．高中數學湘教版必修第二冊第五章概率5.1隨機事件與樣本空間5.1.2事件的運算教材要點要點事件的運算事件的關系定義表示法圖示包含關系如果事件A發生必然導致事件B發生，即事件A中的每個樣本點都在B中，則稱A包含于B，或B包含A.對于任何事件A，都有??A?Ω.________事件相等對于事件A，B，如果A?B，且B?A，則稱A與B等價，或稱A與B相等．A＝B兩個相等的圓A?B事件的交(或積)如果某事件發生當且僅當事件A與事件B________發生，則稱該事件為事件A與B的交(或積)．________(或AB)事件的并(或和)如果某事件發生當且僅當事件A________事件B發生，則稱該事件為事件A與B的并(或和)．________(或A＋B)互斥事件同時

或

不可能事件的差如果某事件發生當且僅當事件A發生而事件B不發生，則稱該事件為事件A與B的差．________事件對立如果某事件發生當且僅當事件A不發生，則稱該事件為A的對立事件．Ω\A或________A\B

狀元隨筆(1)事件A與事件B互為對立事件，則集合A與集合B互為補集．(2)若事件A與事件B相互對立，那么事件A與事件B一定互斥，事件A與事件B互斥，A與B不一定對立．(3)事件A與事件B互為對立事件，也即事件A與事件B有且只有一個發生．

√×√×2．抽查10件產品，記事件A為“至少有2件次品”，則A的對立事件為(

)A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至少有2件正品答案：B解析：至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10件次品，共9種結果，故它的對立事件為含有1或0件次品，即至多有1件次品．3．(多選)從一批產品中取出三件產品，設A＝“三件產品全不是次品”，B＝“三件產品全是次品”，C＝“三件產品有次品，但不全是次品”，則下列結論中正確的是(

)A．A與C互斥

B．B與C互斥C．任何兩個都互斥

D．任何兩個都不互斥答案：ABC解析：由題意知事件A、B、C兩兩不可能同時發生，因此兩兩互斥．

至少有一次中靶

題型1事件關系的判斷例1某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參加演講比賽，判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件：(1)“恰有1名男生”與“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”與“全是男生”；(3)“至少有1名男生”與“全是女生”；(4)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”．解析：從3名男生和2名女生中任選2人有如下三種結果：2名男生，2名女生，1男1女．(1)“恰有1名男生”指1男1女，與“恰有2名男生”不能同時發生，它們是互斥事件；但是當選取的結果是2名女生時，該兩事件都不發生，所以它們不是對立事件．(2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女兩種結果，與事件“全是男生”可能同時發生，所以它們不是互斥事件．(3)“至少有1名男生”與“全是女生”不可能同時發生，所以它們互斥，由于它們必有一個發生，所以它們是對立事件．(4)“至少有1名女生”包括1男1女與2名女生兩種結果，當選出的是1男1女時，“至少有1名男生”與“至少有1名女生”同時發生，所以它們不是互斥事件．方法歸納(1)要判斷兩個事件是不是互斥事件，只需要分別找出各個事件包含的所有結果，看它們之間能不能同時發生．在互斥的前提下，看兩個事件的并事件是否為必然事件，從而可判斷是否為對立事件．(2)事件的結果間是否有交事件，可考慮利用Venn圖分析，對于較難判斷的關系，也可考慮列出全部結果，再進行分析．跟蹤訓練1

從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花各10張，點數均為1～10)中任取一張．判斷下面給出的每對事件是不是互斥事件，是不是對立事件，并說明理由．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌的點數為5的倍數”與“抽出的牌的點數大于9”．

解析：(1)是互斥事件，但不是對立事件．理由：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發生的，所以是互斥事件．同時，不能保證其中必有一個發生，這是因為還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件．(2)既是互斥事件，又是對立事件．理由：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個事件不可能同時發生，但其中必有一個發生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件．(3)不是互斥事件，當然也不可能是對立事件．理由：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”這兩個事件可能同時發生，如抽得點數為10的牌．因此，二者不是互斥事件，當然也不可能是對立事件．題型2事件的運算例2

盒子里有6個紅球、4個白球，現從中任取3個球，設事件A＝{取得的3個球有1個紅球、2個白球}，事件B＝{取得的3個球有2個紅球、1個白球}，事件C＝{取得的3個球至少有1個紅球}，事件D＝{取得的3個球既有紅球又有白球}．問：(1)事件D與A，B是什么樣的運算關系？(2)事件C與A的交事件是什么事件？

變式探究在本例中，設事件E＝{3個紅球}，事件F＝{3個球中至少有一個白球}，那么事件C與B，E是什么運算關系？C與F的交事件是什么？

方法歸納事件間的運算方法(1)利用事件間運算的定義．列出同一條件下的試驗所有可能出現的結果，分析并利用這些結果進行事件間的運算．(2)利用Venn圖．借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現的結果，把這些結果在圖中列出，進行運算．