2024年高考數學優等生培優第47講 空間角度關系-原卷版 11_第1頁
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第47講空間角度關系通關一、異面直線所成的角如圖，已知兩異面直線經過空間任一點，分別作直線a'//a，b'//b，相交直線a'，b'所成的銳角(或直角)叫作異面直線a與b所成的角(或夾角)．通關二、直線與平面成的角(1)直線和平面斜交時，線面所成的角是這條直線和它在平面內的射影所成的銳角；(2)直線和平面垂直時，直線和平面所成的角的大小為；(3)直線和平面平行或在平面內時，直線和平面所成的角的大小為0°.通關三、二面角二面角；從一條直線出發的兩個半平面所組成的空間圖形叫作二面角．二面角的平面角：如圖，在二面角的棱l上任取一點P，以點P為垂足，在半平面內分別作垂直于棱l的射線PA和PB，則射線PA和PB構成的∠APB叫作二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．我們約定，二面角的取值范圍是．平面角是直角的二面角叫作直二面角．【結論第講】結論一、線線角1．過其中一條直線上的已知點(往往是特殊點)作另一條直線的平行線，使異面直線所成的角轉化為相交直線所成的角(空間問題轉化為平面問題)．2．當異面直線依附于某幾何體，且直接平移異面直線有困難時，可利用該幾何體的特殊點，將兩條異面直線分別平移相交于該點．3．通過構造輔助平面、輔助幾何體來平移直線．但應注意，若求得的角為鈍角，則兩異面直線所成的角應為其補角．【例1】如圖，在正方體(1)求AC與所成的角(2)M，N分別是的中點，求異面直線AM和CN所成角的余弦值．【變式】如圖，在直三棱柱中，，點D，F分別是的中點，若求AD與成角的余弦值．結論二、線面角1．作：即在斜線上選取恰當的點向平面引垂線，在這一步上確定垂足的位置是關鍵；2．證：即證明所找到的角為直線與平面所成的角，其證明的主要依據是直線與平面所成角的概念；3．求：一般來說是借助解三角形的知識求角．【例2】如圖，在棱長為1的正方體（1）求與平面所成的角（2）求與平面所成的角的余弦值【變式】如圖，正方體的棱長為1，.（1）求AO與所成角；（2）求AO與平面ABCD所成角的正切值．結論三、二面角1．垂面法：由二面角的平面角的定義知，只需作與棱垂直的平面，則該平面與兩個半平面的交線構成的角即二面角的平面角．2．平移法：先分別在兩個半平面內找一條垂直于棱的射線，然后平移到一起，兩射線的夾角即二面角的平面角．【例3】如圖，正方體的棱長為是AB的中點．（1）求二面角的大小；（2）求

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