專題17特殊平行四邊形中最常考的五種幾何模型（原卷版）類型一對角互補模型1．（2022春?江岸區校級月考）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，且這兩個正方形的邊長相等．OA1與OC1分別交AB，BC于點E，F．（1）求證：OE＝OF；（2）若BE＝a，BF＝b，請直接寫出四邊形EBFO的面積為（用含有a，b的式子表示）；（3）已知AE＝2，CF＝3，求A1E的長．2．（2022?隆昌市校級三模）某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞著矩形ABCD（AB＜BC）的對角線交點O旋轉（如圖①→②→③），圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點．（1）該學習小組中一名成員意外地發現：在圖①（三角板的一直角邊與OD重合）中，BN2＝CD2+CN2；在圖③（三角板的一直角邊與OC重合）中，CN2＝BN2+CD2．請你對這名成員在圖①和圖③中發現的結論選擇其一說明理由．（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．

類型二將軍飲馬模型兩定一動模型3．（2020春?洛陽期末）如圖，正方形ABCD的邊長為16，點M在邊DC上，且DM＝4，點N是對角線AC上一動點，則線段DN+MN的最小值為（）A．16 B．162 C．20 D．4174．（2019?霍邱縣二模）如圖，菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值是．5．（2021春?紅安縣期中）如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為．（2）兩動一定模型6．如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，P，E分別是線段AC，AB上的動點，PE+PB的最小值為（）A．1.5 B．2 C．2 D．37．（2022春?合肥期末）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，點P、Q、K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為（）A．1 B．3 C．2 D．3（3）兩動兩定模型

8．（如圖，矩形OABC放在以O為原點的平面直角坐標系中，A(3，0)，C(0，2)，點E是AB的中點，點F在BC邊上，且CF＝1，若M為x軸上的動點，N為y軸上的動點，則四邊形MNFE的周長最小值是． （4）造橋選址模型9．如圖，已知菱形ABCD的邊長為10，E為AB中點，對角線BD上有兩個動點P，Q總保持PQ＝2，若BD＝16，則四邊形AEPQ的周長最小值為（）A．16 B．21 C．7+85 D．7類型三十字架模型10．（2021春?淮南期中）數學活動：探究正方形中的“十字架”①猜想：如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別在CD、AD邊上，且BF⊥AE，猜想線段AE與BF之間的數量關系：．②探究：如圖2，在正方形ABCD中，點E、F、G、H分別在AB，BC，CD，AD邊上，且EG⊥HF，此時線段HF與EG相等嗎？如果相等請給出證明，如果不相等請說明理由．③應用：如圖3，將邊長為4的正方形紙片ABCD折疊，使點A落在CD邊的中點E處，點B落在點F處，折痕為MN，則線段MN的長為25．

11．（2022?新化一模）如圖1，在矩形ABCD中，點E，F分別在AB，BC邊上，DE＝AF，DE⊥AF于點G．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）延長CB到點H，使得BH＝AE，判斷△AHF的形狀，并說明理由．（3）如圖2，在菱形ABCD中，點E，F分別在AB，BC邊上，DE與AF相交于點G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，請類比（2），求DE的長．類型四一線三直角模型12．（2021春?禹州市期末）如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別是BC、AB上的點，且CE＝BF，連接DE，過點E作EG⊥DE，使EG＝DE，連接FG、FC．（1）判斷：FG與CE的位置關系是，BE、CD、FG之間的數量關系為．（2）如圖2，若點E，F分別是邊CB，BA延長線上的點，其它條件不變，（1）中結論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；（3）如圖3，若點E、F分別是邊BC、AB延長線上的點，正方形ABCD的邊長為12，GE＝13，其他條件不變，請直接寫出四邊形FGEB的面積．

類型五半角模型13．（2022春?南崗區期末）問題解決：如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別在AB，AD上，連接CE，CF，EF，且∠ECF＝45°．（1）求證：BE+DF＝EF；（2）若AB＝6，EF＝5，AE＞AF，求線段AE的長．類比遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，對角線AC平分∠BAD，點E、F分別在AB、AD上，且AE＞AF，連接CE，CF，EF，∠ECF＝60°，若AC=2033，EF14．（2020春?無錫期中）如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，點E，F分別在AB，AD上，且BE＝AF．（1）求證：△ECF為等邊三角形；（2）連接AC，若AC將四邊形AECF的面積分為1：2兩部分，當AB＝6時，求△BEC的面積．

15．（2021秋?交口縣期末）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF＝45°，連接EF，求證：DE+BF＝EF．小明是這樣解決的：將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，此時AB與AD重合，再證明△GAF≌△EAF，可得結論．（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，且∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的長．（2）類比（1）證明思想完成下列問題：在同一平面內，將兩個全等的等