專題36一次函數中的將軍飲馬問題【模型展示】特點在直線上求一點，使最短將對稱到，連接，與的交點即為點結論兩點之間，線段最短【模型證明】解決方案1、在直線上分別求點，使周長最小分別將點關于兩直線對稱到，連接與兩直線交點即為兩點之間，線段最短2、在直線上分別求點，使四邊形周長最小

將分別對稱到，連接與直線的交點即為兩點之間，線段最短3、在直線上求兩點（在左），使得，并使最短將向右平移個單位到，對稱到，連接與交點即為，左平移個單位即為兩點之間，線段最短4、在直線上求點，使最大將點對稱到，作直線與的交點即為點三角形任意兩邊之差小于第三邊【題型演練】一、填空題1．（2021·全國·九年級專題練習）如圖所示，已知A（，y1），B（2，y2）為反比例函數y圖象上的兩點，動點P（x，0）在x正半軸上運動，當線段AP與線段BP之和達到最小時，點P的坐標是___

；當線段AP與線段BP之差達到最大時，點P的坐標是___．2．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，平面直角坐標系中，點是直線上一動點，將點向右平移1個單位得到點，點，則的最小值為________.3．（2021·江蘇常州·二模）如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點A，點B是⊙O上一動點，點C為弦AB的中點，直線與x軸、y軸分別交于點D、E，則面積的最小值為________．二、解答題4．（2022·江蘇·靖江外國語學校模擬預測）直線和雙曲線交于點，．

(1)求，，的值；(2)在坐標軸上有一點，使的值最小，直接寫出點的坐標．5．（2022·遼寧·沈陽市第一二六中學九年級階段練習）如圖，一次函數y＝kx﹣6過點A（﹣2，﹣2），與y軸交于點B．(1)求一次函數表達式及點B坐標；(2)在x軸上找一點C，連接BC，AC．當BC＋AC最小時，①請直接寫出點C的坐標為______；②請直接寫出直線BC的函數表達式為______；③在坐標軸上找點D，連接BD，CD，使S△ABC＝S△BCD，請直接寫出點D的坐標為_____．6．（2020·新疆·烏魯木齊市第九中學八年級期中）如圖，方格圖中每個小正方形的邊長為1，點A，B，C都是格點．（1）畫出△ABC關于直線MN對稱的．（2）若B為坐標原點，請寫出、、的坐標，并直接寫出的長度．．（3）如圖2，A，C是直線同側固定的點，D是直線MN上的一個動點，在直線MN上畫出點D，使最小．（保留作圖痕跡）

7．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，點P為AC邊上的一個動點，過點P作PD⊥AB于點D，求PB+PD的最小值．請在橫線上補充其推理過程或理由．解：如圖2，延長BC到點B′，使得BC＝B′C，連接PB′∵∠ACB＝90°（已知）∴（垂直的定義）∴PB＝（線段垂直平分線的性質）∴PB+PD＝PB′+PD（等式性質）∴過點B′作B′D⊥AB于點D，交AC于點P，此時PB+PD取最小值，連接AB′，在△ABC和△AB′C中，∵AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′＝90°，∴△ABC≌△AB′C（理由：）∴S△ABB′＝S△ABC+＝2S△ABC（全等三角形面積相等）∵S△ABB′＝AB﹒B'D＝×10×B′D＝5B′D又∵S△ABB′=2S△ABC＝2×BC﹒AC＝2××6×8＝48∴（同一三角形面積相等）

∴B′D＝∴8．（2021·全國·八年級專題練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，已知一次函數y=x+1的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點，以AB為邊在第二象限內作正方形ABCD．（1）求邊AB的長；（2）求點C，D的坐標；（3）在x軸上是否存在點M，使△MDB的周長最小？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．9．（2021·全國·九年級專題練習）作圖探究：如圖，點P是直角坐標系xOy第三象限內一點．（1）尺規作圖：請在圖中作出經過O、P兩點且圓心在x軸的⊙M；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若點P的坐標為（﹣4，﹣2）．①請求出⊙M的半徑；②填空：若Q是⊙M上的點，且∠PMQ＝90°，則點Q的坐標為．10．（2021·全國·九年級專題練習）如圖①，將一個矩形紙片放置在平面直角坐標系中，點的坐標是，點的坐標是，點的坐標是，點是的中點，在上取一點，將沿翻折，使點落在邊上的點處．

（1）求點、的坐標；（2）如圖②，若點是線段上的一個動點（點不與點，重合），過點作于點，設的長為，的面積為，請求出關于的關系式；（3）如圖③，在軸、軸上是否分別存在點、，使得四邊形的周長最小？若存在，請求出四邊形周長的最小值及此時點、的坐標；若不存在，請說明理由11．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，、、，點、分別是直線和軸上的動點，求周長的最小值．12．（2022·湖南師大附中博才實驗中學九年級開學考試）如果有一條直線經過三角形的某個頂點，將三角形分成兩個三角形，其中一個三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”．如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于點D，連接AD．(1)證明直線AD是△ABC的自相似分割線；(2)如圖2，點P為直線DE上一點，當點P運動到什么位置時，PA+PC的值最小？求此時PA+PC的長度．(3)如圖3，射線CF平分∠ACB，點Q為射線CF上一點，當取最小值時，求∠QAC的正弦值．

13．（2022·重慶開州·八年級期末）如圖，直線經過、兩點，直線與直線交于點C，與x軸交于點D．(1)求點C的坐標；(2)點P是y軸上一點，當四邊形PDCB的周長最小時，求四邊形PDCB的面積；(3)把直線沿y軸向上平移9個單位長度，得到新直線與直線交于點E，試探究在x軸上是否存在點Q，在平面內存在點F使得以點D，Q，E，F為頂點的四邊形是菱形（含正方形）？若存在，直接寫出符合條件的點Q的坐標；若不存在，說明理由．14．（2022·貴州銅仁·八年級期末）如圖，已知一次函數y＝kx＋b的圖像經過A（1，4），B（4，1）兩點，并且交x軸于點C，交y軸于點D．(1)求該一次函數的表達式；(2)若y軸存在一點P使PA＋PB的值最小，求此時點P的坐標及PA＋PB的最小值；(3)在x軸上是否存在一點M，使△MOA的面積等于△AOB的面積；若存在請直接寫出點M的坐標，若不存在請說明理由．15．（2022·浙江·義烏市賓王中學八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB分別與x軸的負半軸、y軸的正半軸交于A、B兩點，其中OA＝2，S△ABC＝12，點C在x軸的正半軸上，且OC＝OB．

(1)求直線AB的解析式；(2)將直線AB向下平移6個單位長度得到直線l1，直線l1與y軸交于點E，與直線CB交于點D，過點E作y軸的垂線l2，若點P為y軸上一個動點，Q為直線l2上一個動點，求PD+PQ+DQ的最小值；(3)若點M為直線AB上的一點，在y軸上是否存在點N，使以點A、D、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．16．（2021·四川南充·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c經過點A（4，0）、B（0，4）、C．其對稱軸l交x軸于點D，交直線AB于點F，交拋物線于點E．(1)求拋物線的解析式；(2)點P為直線l上的動點，求△PBC周長的最小值；(3)點N為直線AB上的一點（點N不與點F重合），在拋物線上是否存在一點M，使以點E、F、N、M為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐標，若不存在，說明理由．17．（2022·全國·八年級課時練習）在中，，D為BC延長線上一點，點E為線段AC，CD的垂直平分線的交點，連接EA，EC，ED．

（1）如圖1，當時，則_______°；（2）當時，①如圖2，連接AD，判斷的形狀，并證明；②如圖3，直線CF與ED交于點F，滿足．P為直線CF上一動點．當的值最大時，用等式表示PE，PD與AB之間的數量關系為_______，并證明．18．（2021·湖北·沙市中學九年級階段練習）如圖，拋物線交x軸于兩點，交y軸于點C，點Q為線段上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）求的最小值；（3）過點Q作交拋物線的第四象限部分于點P，連接，記與的面積分別為，設，當S最大時，求點P的坐標，并求S的最大值．19．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣x﹣與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點D，點E（4，n）在拋物線上．

（1）求直線AE的解析式；（2）點P為直線CE下方拋物線上的一點，連接PC，PE．當△PCE的面積最大時，連接CD，CB，點K是線段CB的中點，點M是CP上的一點，點N是CD上的一點，求KM＋MN＋NK的最小值；（3）點G是線段CE的中點，將拋物線y＝x2﹣x﹣沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經過點D，y′的頂點為點F．在新拋物線y′的對稱軸上，是否存在一點Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．20．（2021·廣東·嶺南畫派紀念中學八年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x﹣2分別與x、y軸交于A、C兩點，點B（1，0）在x軸上．（1）求直線BC的解析式；（2）若點C關于原點的對稱點為C′，問在AB的垂直平分線上是否存在一點G，使得△GBC′的周長最小？若存在，求出點G的坐標和最小周長；若不存在，請說明理由．（3）設點P是直線BC上異于點B、C的一個動點，過點P作PQ∥x軸交直線AC于點Q，過點Q作QM⊥x軸于點M，再過點P作PN⊥x軸于點N，得到