第六章4.2超幾何分布基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養全提升成果驗收·課堂達標檢測目錄索引

課程標準1.通過具體實例,了解超幾何分布的概念及其均值.2.會用超幾何分布解決一些簡單的實際問題.基礎落實·必備知識全過關知識點

超幾何分布1.定義一般地,設有N件產品,其中有M(M≤N)件次品.從中任取

(n≤N)件產品,用X表示取出的n件產品中次品的件數,那么P(X=k)=

,max{0,n-(N-M)}≤k≤min{n,M},其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+.公式中的k可以取的最小值為max{0,n-(N-M)},而不一定是0.

若一個隨機變量X的分布列由上式確定,則稱隨機變量X服從參數為N,M,n的

.

n超幾何分布

名師點睛對超幾何分布的理解(1)在形式上適合超幾何分布的模型常由較明顯的兩部分組成,如“男生,女生”“正品,次品”“優,劣”等;(2)在產品抽樣中,一般為不放回抽樣;(3)其概率計算可結合古典概型求得.2.超幾何分布的均值一般地,當隨機變量X服從參數為N,M,n的超幾何分布時,其均值為過關自診1.[人教A版教材習題]一箱24罐的飲料中4罐有獎券,每張獎券獎勵飲料一罐,從中任意抽取2罐,求這2罐中有獎券的概率.提示

設抽出的2罐中有獎券的罐數為X,則X服從超幾何分布,且N=

24,M=4,n=

2,∴這2罐中有獎券的概率為P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)2.[人教A版教材習題]學校要從12名候選人中選4名同學組成學生會,已知有4名候選人來自甲班.假設每名候選人都有相同的機會被選到,求甲班恰有2名同學被選到的概率.提示

設選到的4人中甲班同學的人數為X,則X服從超幾何分布,且N=12,M=4,n=4,3.[人教A版教材習題]舉出兩個服從超幾何分布的隨機變量的例子.提示

(1)假設某魚池中僅有鯉魚和草魚兩種魚,其中鯉魚200條,草魚40條,從魚池中任意取出5條魚,這5條魚中包含草魚的條數X服從超幾何分布.(2)現有甲、乙兩種品牌的電視機共52臺,其中甲品牌有21臺,從52臺電視機中選出5臺送給福利院,選出的甲品牌的電視機臺數X服從超幾何分布.(答案不唯一)重難探究·能力素養全提升探究點一超幾何分布的判斷【例1】

下列問題中,判斷哪些屬于超幾何分布問題,并說明理由.(1)拋擲三枚骰子,所得向上的數是6的骰子的個數記為X,求X的概率分布;(2)有一批種子的發芽率為70%,任取10顆種子做發芽試驗,把試驗中發芽的種子的個數記為X,求X的概率分布;(3)盒子中有3個紅球、4個黃球、5個藍球,任取3個球,把不是紅色的球的個數記為X,求X的概率分布;(4)某班級有男生25人,女生20人,選派4名學生參加學校組織的活動,班長必須參加,其中女生人數記為X,求X的概率分布;(5)現有100臺手機未經檢測,抽取10臺送檢,把檢驗結果為不合格的手機的個數記為X,求X的概率分布.解

(1)(2)中樣本沒有分類,不是超幾何分布問題.(3)(4)符合超幾何分布的特征,樣本都分為兩類.隨機變量X表示某類樣本被抽取的件數,是超幾何分布.(5)中沒有給出不合格品數,X不服從超幾何分布.規律方法

判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布,應看三點:(1)總體是否可分為兩類明確的對象;(2)是否為不放回抽樣;(3)隨機變量是否為樣本中一類個體的個數.變式訓練1下列隨機變量中,服從超幾何分布的有

.(填序號)

①在10件產品中有3件次品,一件一件的不放回地任意取出4件,記取到的次品數為X;②從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺,記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數;③一名學生騎自行車上學,途中有6個交通崗,記此學生遇到紅燈的次數為隨機變量X.①②

解析

根據超幾何分布的定義可知①中隨機變量X服從超幾何分布.②中隨機變量X服從超幾何分布.而③顯然不能看作一個不放回抽樣問題,故隨機變量X不服從超幾何分布.探究點二超幾何分布的概率及其分布列【例2】

袋中有4個紅球,3個黑球,這些球除顏色外完全相同,從袋中隨機抽取球,設取到一個紅球得2分,取到一個黑球得1分,從袋中任取4個球.(1)求得分X的分布列;(2)求得分大于6分的概率.解

(1)從袋中任取4個球的情況為:1紅3黑,2紅2黑,3紅1黑,4紅,共四種情況,得分分別為5分,6分,7分,8分,故X的可能取值為5,6,7,8.變式探究在本例中,設X1為取得紅球的分數之和,X2為取得黑球的分數之和,X=|X1-X2|,求X的分布列.解

從袋中任取4個球的情況為1紅3黑,X1=2,X2=3,X=1;2紅2黑,X1=4,X2=2,X=2;3紅1黑,X1=6,X2=1,X=5;4紅,X1=8,X2=0,X=8.規律方法

求超幾何分布的分布列的步驟

變式訓練2現有10張獎券,其中8張1元,2張5元,從中任取3張,求所得金額的分布列.探究點三超幾何分布的綜合應用【例3】

為推動乒乓球運動的發展,某乒乓球比賽允許不同協會的運動員組隊參加.現有來自甲協會的運動員3名,其中種子選手2名;乙協會的運動員5名,其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.(1)設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協會”,求事件A發生的概率;(2)設X為選出的4人中種子選手的人數,求隨機變量X的分布列,并求EX.規律方法

解決超幾何分布問題的兩個關鍵點(1)超幾何分布是概率分布的一種形式,一定要注意公式中字母的范圍及其意義,解決問題時可以直接利用公式求解,但不能機械地記憶公式.(2)超幾何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X=k),從而求出X的分布列.變式訓練3現有來自甲、乙兩班學生共7名,從中任選2名都是甲班的概率為

.(1)求7名學生中甲班的學生數;(2)設所選2名學生中甲班的學生數為X,求X的分布列,并求所選2人中甲班學生數不少于1人的概率.

解

(1)設甲班的學生數為M,整理得M2-M-6=0,解得M=3或M=-2(舍去).即7個學生中,甲班有3人.(2)由題意知X服從參數N=7,M=3,n=2的超幾何分布,其中X的所有可能取值為0,1,2.本節要點歸納1.知識清單:(1)超幾何分布的特征.(2)超幾何分布的期望.2.核心素養:數學運算、數學建模.3.常見誤區:(1)不能正確判斷隨機變量是否服從超幾何分布;(2)超幾何分布與二項分布混淆.成果驗收·課堂達標檢測1.一批產品共10件,次品率為20%,從中任取2件,則恰好取到1件次品的概率為(

)B1234562.(多選題)某人參加一次測試,在備選的10道題中,他能答對其中的5道.現從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試,規定至少答對2道題才算合格.則下列選項正確的是(

)CD1234563.某導游團有外語導游10人,其中6人會說日語,現要選出4人去完成一項任務,則有2人會說日語的概率為

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1234564.在含有5件次品的10件產品中,任取4件,則取到的次品數X的分布列為P(X=r)=

.

1234565.已知某批產品共100件,其中二等品有20件.從中任意抽取2件