專(zhuān)題10立體幾何綜合目錄一覽2023真題展現(xiàn)考向一求二面角考向二求距離真題考查解讀近年真題對(duì)比考向一求三棱錐體積考向二求二面角命題規(guī)律解密名校模擬探源易錯(cuò)易混速記/二級(jí)結(jié)論速記考向一求二面角1．（2023?新高考Ⅱ?第20題）如圖，三棱錐A﹣BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E為BC中點(diǎn)．（1）證明BC⊥DA；（2）點(diǎn)F滿(mǎn)足EF→=DA→，求二面角D﹣考向二求距離2．（2023?新高考Ⅰ?第18題）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D中，AB＝2，AA1＝4．點(diǎn)A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．（1）證明：B2C2∥A2D2；（2）點(diǎn)P在棱BB1上，當(dāng)二面角P﹣A2C2﹣D2為150°時(shí)，求B2P．【命題意圖】考查線(xiàn)面平行與垂直、空間幾何體的表面積與體積、空間角等．【考查要點(diǎn)】命題會(huì)涉及到線(xiàn)面平行與垂直的證明，等體積法求空間幾何體的體積，空間向量法求空間距離、空間角，考查空間想象力、運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想．【得分要點(diǎn)】1．直線(xiàn)與平面平行（1）直線(xiàn)與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行．用符號(hào)表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．（2）直線(xiàn)和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行．用符號(hào)表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2．直線(xiàn)與平面垂直（1）直線(xiàn)與平面垂直的定義：如果一條直線(xiàn)l和一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，那么就說(shuō)直線(xiàn)l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線(xiàn)，平面α叫做直線(xiàn)l的垂面．（2）直線(xiàn)與平面垂直的判定：定義法：對(duì)于直線(xiàn)l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線(xiàn)．判定定理1：如果兩條平行直線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．判定定理2：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面．（3）直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)：①定理：如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行．符號(hào)表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．3．二面角的平面角求法：（1）定義法．（2）三垂線(xiàn)定理及其逆定理．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線(xiàn)所成的角，就是二面角的平面角．（4）平移或延長(zhǎng)（展）線(xiàn)（面）法．（5）射影公式．（6）化歸為分別垂直于二面角的兩個(gè)面的兩條直線(xiàn)所成的角．（7）向量法：用空間向量求平面間夾角的方法：設(shè)平面α和β的法向量分別為u→和v→，若兩個(gè)平面的夾角為①當(dāng)0≤＜u→，v→＞≤π2，θ=＜u→，②當(dāng)π2＜＜u→，v→＞考向一求三棱錐體積3．（2021?新高考Ⅰ）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O為BD的中點(diǎn)．（1）證明：OA⊥CD；（2）若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小為45°，求三棱錐A﹣BCD的體積．考向二求二面角4．（2022?新高考Ⅰ）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為．（1）求A到平面A1BC的距離；（2）設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．5．（2022?新高考Ⅱ）如圖，PO是三棱錐P﹣ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E為PB的中點(diǎn)．（1）證明：OE∥平面PAC；（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值．6．（2021?新高考Ⅱ）在四棱錐Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3．（Ⅰ）求證：平面QAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值．本章內(nèi)容是高考必考內(nèi)容之一，多考查空間幾何體的表面積與體積，空間中有關(guān)平行與垂直的判定，空間角與距離的求解，空間向量的應(yīng)用等問(wèn)題。高考對(duì)本章內(nèi)容的考查比較穩(wěn)定，針對(duì)這一特點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)，首先梳理本章重要定理、公式與常用結(jié)論，掃清基礎(chǔ)知識(shí)和公式障礙；然后分題型重點(diǎn)復(fù)習(xí)，重視向量法求解空間角、距離問(wèn)題的思路與解題過(guò)程一．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積（共20小題）1．（2023?保定二模）如圖，四棱臺(tái)ABCD﹣EFGH的底面是菱形，且∠BAD＝，DH⊥平面ABCD，EH＝2，DH＝3，AD＝4．（1）求證：AE∥平面BDG；（2）求三棱錐F﹣BDG的體積．2．（2023?烏魯木齊模擬）在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，交線(xiàn)段BC于點(diǎn)D（如圖1），沿AD將△ABD折起，使∠BDC＝90°（如圖2）點(diǎn)E，M分別為棱BC，AC的中點(diǎn)．（1）求證：CD⊥ME；（2）求三棱錐A﹣BCD的體積最大值．3．（2023?松江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝4，BC＝3，AB＝5．（1）求證：AC⊥BC1；（2）設(shè)AC1與底面ABC所成角的大小為60°，求三棱錐C﹣ABC1的體積．4．（2023?平羅縣校級(jí)二模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，且PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，E是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且PF＝2FC．（1）證明：DF∥平面PAB；（2）求三棱錐P﹣AEF的體積．5．（2023?新城區(qū)校級(jí)一模）在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中點(diǎn)，PA＝PD，AB＝2，∠ABC＝60°．（1）證明：PB∥平面EAC．（2）若四棱錐P﹣ABCD的體積為，求cos∠PCD．6．（2023?開(kāi)封三模）如圖，四邊形ABCD是圓柱OO1的軸截面，EF是圓柱的母線(xiàn)，P是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，已知AB＝4，BC＝6．（1）證明：BF⊥平面EPF；（2）若直線(xiàn)AB與平面EPF所成角為60°，求三棱錐B﹣EPF的體積．7．（2023?咸陽(yáng)模擬）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面BB1C1C是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)面BB1C1C⊥側(cè)面AA1B1B，AB＝4，∠A1B1B＝60°，G是A1B1的中點(diǎn)．（1）求證：平面GBC⊥平面BB1C1C；（2）若P為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，求三棱錐A﹣PBG的體積．8．（2023?河南三模）如圖所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝1，CD＝2，M是DD1的中點(diǎn)．（1）證明：BC⊥B1M；（2）若B1M⊥CM，求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的體積．9．（2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝6，BC＝4，BB1＝2，AC1與A1C相交于點(diǎn)D，，且DE∥平面BCC1B1．（1）求三棱錐C﹣A1B1C1的體積；（2）求直線(xiàn)CC1與平面A1B1C所成角的正弦值．10．（2023?瓊山區(qū)校級(jí)三模）如圖，三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝6，BC＝4，BB1＝2，AC1與A1C相交于點(diǎn)D，，且DE∥平面BCC1B1．（1）求三棱錐C﹣A1B1C1的體積；（2）平面A1B1C與平面ABC所成角為α，CC1與平面A1B1C所成角為β，求證：．11．（2023?興慶區(qū)校級(jí)四模）在如圖所示的幾何體中，DE∥AC，AC⊥平面BCD，AC＝2DE＝4，BC＝2，DC＝1，∠BCD＝60°．（1）證明：BD⊥平面ACDE；（2）過(guò)點(diǎn)D作一平行于平面ABE的截面，畫(huà)出該截面（不用說(shuō)明理由），并求夾在該截面與平面ABE之間的幾何體的體積．12．（2023?遂寧模擬）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，H為△ABC的內(nèi)心，直線(xiàn)AH與BC交于M，∠PAB＝∠PAC，∠PCA＝∠PCB．（1）證明：平面PAM⊥平面ABC；（2）若AB⊥BC，PA＝AB＝3，BC＝4，求三棱錐M﹣PAC的體積．13．（2023?鄭州三模）已知正四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1的體積為，其中AB＝2A1B1＝4．（1）求側(cè)棱AA1與底面ABCD所成的角；（2）在線(xiàn)段CC1上是否存在一點(diǎn)P，使得BP⊥A1D？若存在請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（2023?廣州三模）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為正方形，AB＝AP＝2，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段PB，PD的中點(diǎn)，G是線(xiàn)段PC上的一點(diǎn)．（1）求證：平面EFG⊥平面PAC；（2）若直線(xiàn)AG與平面AEF所成角的正弦值為，且G點(diǎn)不是線(xiàn)段PC的中點(diǎn)，求三棱錐E﹣ABG體積．15．（2023?江西模擬）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝B1A＝B1C，D是AC的中點(diǎn)，AB1⊥BD．（1）證明：B1D⊥平面ABC；（2）若，點(diǎn)B1到平面ACC1A1的距離為，求三棱錐C1﹣A1B1C的體積．16．（2023?成都模擬）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△A1B1C1與△AB1C1均是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且AA1＝．（Ⅰ）證明：平面AB1C1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求四棱錐A﹣BB1C1C的體積．17．（2023?宛城區(qū)校級(jí)三模）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)為2a的正三角形，側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為，D，D1分別是棱BC，B1C1的中點(diǎn)，平面ADD1A1⊥平面CBB1C1，且∠ADD1≠90°．（1）求證：BC⊥CC1；（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面積為，求它的體積．18．（2023?長(zhǎng)沙模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，∠PAB＝∠DAB＝，PA⊥PB，點(diǎn)E在線(xiàn)段PB上，CD⊥DE，平面PAB⊥平面ABCD．（1）求四面體E﹣PAD的體積；（2）求直線(xiàn)DE與平面CDP所成角的正弦值．19．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2，AB＝AC＝1，將△PAB繞著PA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△PAD的位置，得到如圖所示的組合體，M為PD的中點(diǎn)．（1）當(dāng)∠BAC為何值時(shí)，該組合體的體積最大，并求出最大值；（2）當(dāng)PC∥平面MAB時(shí)，求直線(xiàn)PC與平面PBD所成角的正弦值．20．（2023?睢寧縣校級(jí)模擬）在三棱臺(tái)ABC﹣DEF中，G為AC中點(diǎn)，AC＝2DF，AB⊥BC，BC⊥CF．（1）求證：BC⊥平面DEG；（2）若AB＝BC＝2，CF⊥AB，平面EFG與平面ACFD所成二面角大小為，求三棱錐E﹣DFG的體積．二．平面與平面垂直（共3小題）21．（2023?江西模擬）如圖所示，圓錐的高，底面圓O的半徑為1，延長(zhǎng)直徑AB到點(diǎn)C，使得BC＝1，分別過(guò)點(diǎn)A，C作底面圓O的切線(xiàn)，兩切線(xiàn)相交于點(diǎn)E，點(diǎn)D是切線(xiàn)CE與圓O的切點(diǎn)．（1）證明：平面PDE⊥平面POD；（2）點(diǎn)E到平面PAD的距離為d1，求d1的值．22．（2023?開(kāi)福區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在A(yíng)A1上，AD∥平面BC1E．（1）求證：平面BC1E⊥平面BB1C1C；（2）當(dāng)三棱錐B1﹣BC1E的體積最大時(shí)，求直線(xiàn)AC與平面BC1E所成角的正弦值．23．（2023?奉賢區(qū)二模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱錐P﹣ABCD的體積為，求PB與平面ABCD所成的線(xiàn)面角的大小．三．直線(xiàn)與平面所成的角（共7小題）24．（2023?花都區(qū)校級(jí)模擬）圖①是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D＝90°，四邊形ABCE是邊長(zhǎng)為2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE為折痕將△BCE折起，使點(diǎn)C到達(dá)C1的位置，且AC1＝．（1）求證：平面BC1E⊥平面ABED；（2）在棱DC1上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到平面ABC1的距離為？若存在，求出直線(xiàn)EP與平面ABC1所成角的正弦值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．（2023?雅安三模）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中、四邊形ABB1A1是菱形，且∠ABB1＝60°，AB＝BC＝2，CA＝CB1，CA⊥CB1，（1）證明：平面CAB1⊥平面ABB1A1；（2）求直線(xiàn)BB1和平面ABC所成角的正弦值；26．（2023?白山四模）在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD為等腰梯形，AB||CD，AD＝DC＝1，AB＝2，AC⊥PC．（1）證明：平面ABCD⊥平面PBC．（2）若，求直線(xiàn)PA與平面PCD所成角的正弦值．27．（2023?寧夏三模）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝AP＝BC＝1，AD＝2．（1）求證：CD⊥平面PAC；（2）若E為PC的中點(diǎn)，求PD與平面AED所成角的正弦值．28．（2023?貴陽(yáng)模擬）如圖所示，在四棱錐E﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB＝CD，CD⊥CE，∠ADC＝∠EDC＝45°，AD＝，BE＝．（1）求證：平面ABE⊥平面ABCD；（2）設(shè)M為AE的中點(diǎn)，求直線(xiàn)DM與平面ABCD所成角的正弦值．29．（2023?溫州模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，△ADP是等邊三角形，AB＝AP＝2，BP＝3，AD⊥BP．（Ⅰ）求BC的長(zhǎng)度；（Ⅱ）求直線(xiàn)BC與平面ADP所成的角的正弦值．30．（2023?分宜縣校級(jí)一模）在正△ABC中，E，F(xiàn)，P分別是AB，AC，BC邊上的點(diǎn)，滿(mǎn)足，將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，連接A1B，A1P．（1）求證：A1E⊥平面BEP；（2）求直線(xiàn)A1E與平面A1BP所成角的大小．四．二面角的平面角及求法（共23小題）31．（2023?廣西模擬）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E為AB的中點(diǎn)，沿DE將△ADE折起，使得點(diǎn)A到點(diǎn)P位置，且PE⊥EB，M為PB的中點(diǎn)，N是BC上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合）．（Ⅰ）求證：平面EMN⊥平面PBC；（Ⅱ）是否存在點(diǎn)N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，確定N點(diǎn)位置；若不存在，說(shuō)明理由．32．（2023?龍華區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，四棱錐S﹣ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2正方形，，AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線(xiàn)段SD上．（1）求證：SA⊥平面ABCD；（2）若OE∥平面SAB，求平面SAC與平面EAC所成夾角的余弦值．33．（2023?商丘三模）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝AP＝2DC＝4，PB＝2AD＝4，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)．（1）求證：直線(xiàn)MN∥平面ABCD；（2）求平面MCN與平面ABCD夾角的余弦值．34．（2023?保定三模）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，D1，F(xiàn)分別是BC，B1C1，A1B1的中點(diǎn)，，△ABC的邊長(zhǎng)為2．（1）求證：EF∥平面ADD1A1；（2）若三棱柱的高為1，求二面角B﹣EF﹣C1的正弦值．35．（2023?唐縣校級(jí)二模）如圖，在三棱臺(tái)ABC﹣DEF中，側(cè)面ABED與ACFD均為梯形，AB∥DE，AC∥DF，AB⊥BE，且平面ABED⊥平面ABC，AC⊥DE．已知AB＝BE＝AC＝1，DE＝DF＝2．（1）證明：平面ABED⊥平面ACFD；（2）求平面BEFC與平面FCAD的夾角的大小．36．（2023?道里區(qū)校級(jí)四模）如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，∠DAB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)在以AD為直徑的半圓上，且＝＝，將半圓沿AD翻折如圖2．（1）求證：EF∥平面ABCD；（2）當(dāng)多面體ABE﹣DCF的體積為4時(shí)，求平面ABE與平面CDF夾角的余弦值．37．（2023?萬(wàn)州區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝BB1，BC1∩B1C＝O，AO⊥平面BB1C1C．（1）求證：AB⊥B1C；（2）若∠B1BC＝60°，直線(xiàn)AB與平面BB1C1C所成的角為30°，求二面角A1﹣B1C1﹣A的正弦值．38．（2023?杭州模擬）如圖，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，已知CB⊥平面ABB′A′，AB＝2，且AB⊥BB′，A′C⊥AB′．（1）求AA′的長(zhǎng)；（2）若D為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，求二面角A﹣B′C′﹣D的余弦值．39．（2023?徐州模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，底面四邊形ABCD是矩形，PA＝AD＝4，點(diǎn)M，N分別為棱PB，PD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱AD上，AD＝3AE．（1）求證：直線(xiàn)AM∥平面BNE；（2）從下面①②兩個(gè)條件中選取一個(gè)作為已知，證明另外一個(gè)成立．①平面PAB與平面PCD的交線(xiàn)l與直線(xiàn)BE所成角的余弦值為；②二面角N﹣BE﹣D的余弦值為．注：若選擇不同的組合分別作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．40．（2023?錦州一模）如圖一，△ABC是等邊三角形，CO為AB邊上的高線(xiàn)，D，E分別是CA，CB邊上的點(diǎn)，；如圖二，將△CDE沿DE翻折，使點(diǎn)C到點(diǎn)P的位置，PO＝3．（1）求證：OP⊥平面ABED；（2）求二面角B﹣PE﹣F的正弦值．41．（2023?武功縣校級(jí)模擬）如圖，四邊形ACC1A1與四邊形BCC1B1是全等的矩形，AB＝．（1）若P是AA1的中點(diǎn)，求證：平面PB1C1⊥平面PB1C；（2）若P是棱AA1上的點(diǎn)，直線(xiàn)BP與平面ACC1A1所成角的正切值為，求二面角B1﹣PC﹣C1的余弦值．42．（2023?海淀區(qū)二模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為AB，PD的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面PBC；（2）若，二面角E﹣FC﹣D的大小為45°，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．求PD的長(zhǎng)．條件①：DE⊥PC；條件②：PB＝PC．43．（2023?棗強(qiáng)縣校級(jí)模擬）如圖，△ABC和△BCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且它們所在平面互相垂直．DE⊥平面BCD，且．（1）設(shè)P是DE的中點(diǎn)，證明：AP∥平面BCD．（2）求二面角B﹣AE﹣C的正弦值．44．（2023?密云區(qū)三模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥MN，AB＝2，AD＝AP＝4，M，N分別是BC，PD的中點(diǎn)．（1）求證：MN∥平面PAB；（2）求二面角N﹣AM﹣B的余弦值．45．（2023?日喀則市模擬）如圖，已知直角梯形ABCD與ADEF，2DE＝2BC＝AD＝AB＝AF＝2，AD⊥AF，ED∥AF，AD⊥AB，BC∥AD，G是線(xiàn)段BF上一點(diǎn)．（1）平面ABCD⊥平面ABF；（2）若平面ABCD⊥平面ADEF，設(shè)平面CEG與平面ABF所成角為θ，是否存在點(diǎn)G，使得，若存在確定G點(diǎn)位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．46．（2023?鄭州模擬）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為AC的中點(diǎn)，AB＝BC＝2，∠AA1B1＝∠B1BC．（1）證明：BB1⊥AC；（2）若BB1⊥BC，直線(xiàn)AB1與平面BCC1B1所成的角的正弦值為，二面角A﹣BB1﹣C的大小為60°，求二面角B﹣B1D﹣C1的余弦值．47．（2023?招遠(yuǎn)市模擬）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，∠ACB＝60°，E為AB中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作ED垂直AC于D，將△ADE沿ED翻折，使得面ADE⊥面BCDE，點(diǎn)M是棱AC上一點(diǎn)，且BM∥面ADE．（1）求的值；（2）求二面角M﹣BE﹣C的余弦值．48．（2023?凱里市校級(jí)模擬）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，AB1＝B1C．（1）證明：AC⊥B1B；（2）若AB＝BB1＝2，AB1＝，∠ABC＝120°，求二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．49．（2023?合肥三模）已知平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和側(cè)面ABB1A1都是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面ABCD⊥平面ABB1A1，A1B⊥B1D．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）若∠A1AB＝60°，求二面角A﹣B1C﹣B的余弦值．50．（2023?安徽模擬）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，．（1）求證：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（2）設(shè)E為棱BC的中點(diǎn)，線(xiàn)段AC，DE交于點(diǎn)F，C1F⊥平面ABCD，且C1F＝2，求平面ABC1與平面CBC1的夾角的余弦值．51．（2023?盱眙縣校級(jí)四模）如圖，在平面五邊形ABCDE中△ADE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四邊形ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥DC，BC＝1，CD＝．將△ADE沿AD折起，使得點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)M的位置，且使BM＝．（1）求證：平面MAD⊥平面ABCD；（2）設(shè)點(diǎn)P為棱CM上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，求平面PBD與平面MAD所成的二面角的正弦值．52．（2023?市中區(qū)校級(jí)模擬）在直角梯形AA1B1B中，A1B1∥AB，AA1⊥AB，AB＝AA1＝2A1B1＝6，直角梯形AA1B1B繞直角邊AA1旋轉(zhuǎn)一周得到如下圖的圓臺(tái)A1A，已知點(diǎn)P，Q分別在線(xiàn)段CC1，BC上，二面角B1﹣AA1﹣C1的大小為θ．（1）若θ＝120°，，AQ⊥AB，證明：PQ∥平面AA1B1B；（2）若θ＝90°，點(diǎn)P為CC1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為BC的中點(diǎn)，求PQ與平面AA1C1C所成最大角的正切值，并求此時(shí)二面角Q﹣AP﹣C的余弦值．53．（2023?安徽模擬）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為A1B上一點(diǎn)，AD⊥平面A1BC．（1）求證：BC⊥A1B；（2）若，AB＝BC＝2，P為AC的中點(diǎn)，求二面角A﹣A1B﹣P的余弦值．五．點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算（共7小題）54．（2023?鄭州模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥AB，PD＝DC＝4，AB＝AD＝2．（1）證明：平面PBC⊥平面PBD；（2）求點(diǎn)D到平面PBC的距離．55．（2023?瓊海校級(jí)模擬）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝4，AB＝2，點(diǎn)M，N，P分別是BB1，B1C1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為棱CC1上一點(diǎn)，且直線(xiàn)AA1和PQ所成的角為．（1）求證：PQ∥平面AMN；（2）求點(diǎn)P到平面AMN的距離．56．（2023?安康模擬）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)，G分別是棱BC，AD，PA的中點(diǎn)．（1）證明：PE∥平面BFG；（2）若AB＝2，求點(diǎn)C到平面BFG的距離．57．（2023?甘肅模擬）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PB＝PD．（1）證明：BD⊥PC；（2）若，PB＝AB＝BD＝2，求點(diǎn)A到平面PCD的距離．58．（2023?新余二模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，E為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)．（1）證明：AE⊥平