3.2.2雙曲線的簡單幾何性質（精講）目錄第一部分：思維導圖（總覽全局）第二部分：知識點精準記憶第三部分：課前自我評估測試第四部分：典型例題剖析重點題型一：由雙曲線的方程求幾何性質重點題型二：根據雙曲線幾何性質求其標準方程重點題型三：雙曲線的漸近線問題重點題型四：雙曲線的離心率問題重點題型五：直線與雙曲線的位置關系重點題型六：弦長重點題型七：中點弦和點差法重點題型八：雙曲線的定點、定值、最值問題重點題型九：雙曲線中的向量問題第五部分：高考（模擬）題體驗第一部分：思維導圖總覽全局第一部分：思維導圖總覽全局第二部分：知識點精準記憶第二部分：知識點精準記憶知識點一：雙曲線的簡單幾何性質標準方程（）（）圖形性質范圍或或對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點坐標，,漸近線離心率，，a，b，c間的關系知識點二：等軸雙曲線（，）當時稱雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；知識點三：直線與雙曲線的位置關系1、代數法：設直線，雙曲線聯立解得：（1）時，，直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）；，，或k不存在時，直線與雙曲線沒有交點；（2）時，存在時，若，，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若，時，，直線與雙曲線相交于兩點；時，，直線與雙曲線相離，沒有交點；時，直線與雙曲線有一個交點；相切不存在，時，直線與雙曲線沒有交點；直線與雙曲線相交于兩點；知識點四：弦長公式1、直線被雙曲線截得的弦長公式，設直線與橢圓交于，兩點，則為直線斜率2、通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于、兩點，則弦長.知識點五：雙曲線與漸近線的關系1、若雙曲線方程為漸近線方程：2、若雙曲線方程為（，）漸近線方程：3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設為，4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）知識點六：雙曲線中點弦的斜率公式設為雙曲線弦（不平行軸）的中點，則有證明：設，，則有，兩式相減得：整理得：，即，因為是弦的中點，所以：，所以第三部分：課前自我評估測試第三部分：課前自我評估測試1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤（1）雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越開闊．()（2）以為漸近線的雙曲線有2條．()（3）雙曲線的離心率（其中）．()2．（2022·全國·高二課時練習）中心在原點，實軸長為10，虛軸長為6的雙曲線的標準方程是()A．

B．或C．

D．或3．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線的漸近線方程為()A．

B．

C．

D．4．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線的頂點坐標是()A．

B．

C．

D．第四部分：典型例題剖析第四部分：典型例題剖析重點題型一：由雙曲線的方程求幾何性質典型例題例題1．（2022·全國·高二課時練習）求雙曲線的實軸長、虛軸長、焦點坐標、離心率以及漸近方程．例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）求下列雙曲線的實軸長、虛軸長、頂點坐標、焦點坐標、離心率及漸近線方程：(1)；(2)；(3)；(4)．同類題型歸類練1．（2022·全國·高二課時練習）寫出雙曲線的實軸長、虛軸長、焦點坐標、漸近線方程．2．（2022·陜西·西北農林科技大學附中高二期末（理））已知雙曲線（1）若，求雙曲線的焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程；（2）若雙曲線的離心率為，求實數的取值范圍．重點題型二：根據雙曲線幾何性質求其標準方程典型例題例題1．（2022·全國·高一）分別求滿足下列條件的曲線方程(1)以橢圓的短軸頂點為焦點，且離心率為的橢圓方程；(2)過點，且漸近線方程為的雙曲線的標準方程．例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)實軸長為6，漸近線方程為；(2)焦距為20，漸近線方程為．同類題型歸類練1．（2022·內蒙古·赤峰二中高二期末（文））求滿足下列條件的雙曲線的標準方程．(1)焦點在x軸上，實軸長為4，實半軸長是虛半軸長的2倍；(2)焦點在y軸上，漸近線方程為，焦距長為．2．（2022·江蘇·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)焦點在x軸上，，離心率為；(2)焦點的坐標為，，漸近線方程為；(3)虛軸長為12，離心率為；(4)離心率，且經過點．重點題型三：雙曲線的漸近線問題典型例題例題1．（2022·廣東潮州·高二期末）已知雙曲線，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．例題2．（2022·北京市十一學校高二期末）橢圓：與雙曲線：的離心率之積為1，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為（

）A．， B．， C．， D．，例題3．（2022·全國·模擬預測）已知，分別是雙曲線C：的左右焦點，雙曲線的右支上一點滿足，為坐標原點，直線與該雙曲線的左支交于點，且，則雙曲線的漸近線方程為______．同類題型歸類練1．（2022·河南·信陽高中高二期末（理））已知焦距為4的雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．2．（2022·陜西渭南·高一期末）中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為_______.3．（2022·四川南充·高二期末（文））若雙曲線的漸近線與圓相切，則______．重點題型四：雙曲線的離心率問題典型例題例題1．（2022·貴州銅仁·高二期末（文））點到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的離心率（

）A． B． C． D．例題2．（2022·江西·高三階段練習（文））已知雙曲線的一個焦點坐標為，當取最小值時，的離心率為（

）A． B． C．2 D．例題3．（2022·安徽·安慶市第二中學高二期末）已知雙曲線：的右焦點為，為右支上一點，與軸切于點與軸交于點，，，則的離心率為_____________.例題4．（2022·云南普洱·高二期末）已知是雙曲線的兩個焦點，為上一點，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例題5．（2022·天津市西青區楊柳青第一中學高二期末）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線離心率倒數之和的最大值為（

）A． B． C． D．同類題型歸類練1．（2022·江西·高三階段練習（理））已知雙曲線的一個焦點坐標為，當取最小值時，C的離心率為（

）A． B． C．2 D．2．（2022·山東青島·二模）設O為坐標原點，拋物線與雙曲線有共同的焦點F，過F與x軸垂直的直線交于A，B兩點，與在第一象限內的交點為M，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2022·湖北·鄂州市教學研究室高二期末）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線C有一個交點P，設的面積為S，若，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．24．（2022·全國·高二專題練習）已知是雙曲線的左右焦點，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．重點題型五：直線與雙曲線的位置關系典型例題例題1．（2022·安徽·合肥市第八中學模擬預測（理））直線與雙曲線沒有公共點，則斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題2．（2022·陜西·西北工業大學附屬中學高二階段練習（文））直線與雙曲線的交點個數是（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0例題3．（2022·四川·仁壽一中高二期中（理））若直線與雙曲線始終只有一個公共點，則取值范圍是_____________.例題4．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預測（文））設直線l：與雙曲線C：相交于不同的兩點，，則的取值范圍為___________.同類題型歸類練1．（2022·陜西·西安中學高二期末（文））已知雙曲線方程為，過點的直線與雙曲線只有一個公共點，則符合題意的直線的條數共有（

）A．4條 B．3條 C．2條 D．1條2．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線（）的右焦點為，直線與雙曲線只有1個交點，則（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高二專題練習）直線與雙曲線沒有交點，則的取值范圍為_____.4．（2022·上海市建平中學高二階段練習）若直線與雙曲線僅有一個公共點，則k的取值是_________重點題型六：弦長典型例題例題1．（2022·湖北·武漢市第十九中學高二期末）已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為，記的軌跡為曲線.(1)求的方程，并說明是什么曲線；(2)若直線和曲線相交于，兩點，求.例題2．（2022·甘肅蘭州·高二期末（文））已知雙曲線及直線．（1）若與有兩個不同的交點，求實數的取值范圍．（2）若與交于，兩點，且線段中點的橫坐標為，求線段的長．例題3．（2022·貴州黔西·高二期末（理））已知雙曲線的焦點在軸上，對稱中心為坐標原點，焦距為，且過點．（1）求的方程；（2）若斜率為2的直線與交于，兩點．且，求．同類題型歸類練1．（2022·四川自貢·高二期末（文））設?分別為雙曲線的左右焦點，且也為拋物線的的焦點，若點，，是等腰直角三角形的三個頂點.(1)雙曲線C的方程；(2)若直線l：與雙曲線C相交于A?B兩點，求.2．（2022·全國·高三專題練習）過雙曲線的左焦點，作傾斜角為的直線.(1)求證：與雙曲線有兩個不同的交點；(2)求線段的中點的坐標和.3．（2022·四川·自貢成外高級中學有限公司高二階段練習（文））已知雙曲線的漸近線方程為，且過點．(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的一個焦點作斜率為的直線交雙曲線于兩點，求弦長．重點題型七：中點弦和點差法典型例題例題1．（2022·寧夏·石嘴山市第一中學高二期末（理））已知雙曲線的離心率為2，過點的直線與雙曲線交于，兩點，且點恰好是弦的中點，則直線的方程為（

）A． B． C． D．例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線被直線截得的弦，弦的中點為,則直線的斜率為（

）A．1 B． C． D．2例題3．（2022·江蘇揚州·高二開學考試）已知雙曲線，過作直線與雙曲線交于A、兩點，且為弦的中點，則直線的方程為________________.同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習）已知曲線，過點且被點平分的弦所在的直線方程為（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·高二課時練習）斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點的軌跡方程是______．3．（2022·全國·高三專題練習）過點的直線與雙曲線交于兩點，且點恰好是線段的中點，則直線的方程為___________.重點題型八：雙曲線的定點、定值、最值問題典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知是雙曲線上關于原點對稱的兩個點，點在雙曲線上．當和斜率存在時，求證：為定值．例題2．（2022·湖南·周南中學高二期末）已知，為雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程；(2)已知點，是雙曲線上異于的兩點，直線，與軸分別相交于，兩點，若，證明：直線過定點．同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習）已知是雙曲線上關于原點對稱的兩個點，點在雙曲線上．當、斜率存在時，求證：為定值．2．（2022·云南昆明·高二期末）已知直線與雙曲線C：交于A，B兩點，F是C的左焦點，且，.(1)求雙曲線C的方程；(2)若P，Q是雙曲線C上的兩點，M是C的右頂點，且直線MP與MQ的斜率之積為，證明直線PQ恒過定點，并求出該定點的坐標.重點題型九：雙曲線中的向量問題典型例題例題1．（2022·遼寧朝陽·高二期末）在平面直角坐標系中，為坐標原點.動點與定點的距離和它到定直線的距離的比為常數2，動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點的直線交曲線于兩點，若，求直線的方程.例題2．（2022·上海普陀·二模）設，分別是雙曲線的左、右兩焦點，過點的直線（）與的右支交于，兩點，過點，且它的虛軸的端點與焦點的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)當時，求實數的值；(3)設點關于坐標原點的對稱點為，當時，求面積的值.同類題型歸類練1．（2022·江蘇·淮陰中學高二期中）已知雙曲線C的方程為，離心率為，右頂點為(2，0)(1)求雙曲線的標準方程；(2)過的直線與雙曲線C的一支交于兩點，求的取值范圍．2．（2022·山西·高一期中）已知雙曲線，過點的直線l與該雙曲線兩支分別交于M，N兩點，設，．(1)若，點O為坐標原點，當時，求的值；(2)設直線l與y軸交于點E，，，證明：為定值．第五部分：高考（模擬）題體驗第五部分：高考（模擬）題體驗1．（2022·全國·高考真題（理））若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．2．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是_________．3．（2022·北京·高考真題）已知雙曲線的漸近線方程為，則__________．4．（2022·全國·高考真題（文））記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值______________．3.2.2雙曲線的簡單幾何性質（精講）目錄第一部分：思維導圖（總覽全局）第二部分：知識點精準記憶第三部分：課前自我評估測試第四部分：典型例題剖析重點題型一：由雙曲線的方程求幾何性質重點題型二：根據雙曲線幾何性質求其標準方程重點題型三：雙曲線的漸近線問題重點題型四：雙曲線的離心率問題重點題型五：直線與雙曲線的位置關系重點題型六：弦長重點題型七：中點弦和點差法重點題型八：雙曲線的定點、定值、最值問題重點題型九：雙曲線中的向量問題第五部分：高考（模擬）題體驗第一部分：思維導圖總覽全局第一部分：思維導圖總覽全局第二部分：知識點精準記憶第二部分：知識點精準記憶知識點一：雙曲線的簡單幾何性質標準方程（）（）圖形性質范圍或或對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點坐標，,漸近線離心率，，a，b，c間的關系知識點二：等軸雙曲線（，）當時稱雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；知識點三：直線與雙曲線的位置關系1、代數法：設直線，雙曲線聯立解得：（1）時，，直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）；，，或k不存在時，直線與雙曲線沒有交點；（2）時，存在時，若，，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若，時，，直線與雙曲線相交于兩點；時，，直線與雙曲線相離，沒有交點；時，直線與雙曲線有一個交點；相切不存在，時，直線與雙曲線沒有交點；直線與雙曲線相交于兩點；知識點四：弦長公式1、直線被雙曲線截得的弦長公式，設直線與橢圓交于，兩點，則為直線斜率2、通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于、兩點，則弦長.知識點五：雙曲線與漸近線的關系1、若雙曲線方程為漸近線方程：2、若雙曲線方程為（，）漸近線方程：3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設為，4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）知識點六：雙曲線中點弦的斜率公式設為雙曲線弦（不平行軸）的中點，則有證明：設，，則有，兩式相減得：整理得：，即，因為是弦的中點，所以：，所以第三部分：課前自我評估測試第三部分：課前自我評估測試1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤（1）雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越開闊．()（2）以為漸近線的雙曲線有2條．()（3）雙曲線的離心率（其中）．()【答案】

√

×

×（1）雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越開闊，正確；（2）以為漸近線的雙曲線方程為，故有無數條，錯誤；（3）雙曲線的離心率，錯誤.2．（2022·全國·高二課時練習）中心在原點，實軸長為10，虛軸長為6的雙曲線的標準方程是()A．

B．或C．

D．或【答案】B由題可知：，所以雙曲線的方程為或故選：B3．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線的漸近線方程為()A．

B．

C．

D．【答案】A由題可知：該雙曲線的方程為故選：A4．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線的頂點坐標是()A．

B．

C．

D．【答案】B由題可知，該雙曲線焦點在x軸上，所以頂點坐標為(?4,0),(4,0)

故選：B第四部分：典型例題剖析第四部分：典型例題剖析重點題型一：由雙曲線的方程求幾何性質典型例題例題1．（2022·全國·高二課時練習）求雙曲線的實軸長、虛軸長、焦點坐標、離心率以及漸近方程．【答案】實軸長：18，虛軸長為6，焦點坐標，離心率：，漸近線方程為：．解：雙曲線方程是，雙曲線標準方程為：，，，，實軸長：18，虛軸長：6，焦點坐標，離心率：，漸近線方程為：．例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）求下列雙曲線的實軸長、虛軸長、頂點坐標、焦點坐標、離心率及漸近線方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析(1)解：將雙曲線化為標準方程，則焦點在軸上，且，即，所以實軸長為，虛軸長為，頂點坐標為，焦點坐標為，離心率為，漸近線方程為；(2)解：將雙曲線化為標準方程，則焦點在軸上，且，即，所以實軸長為，虛軸長為，頂點坐標為，焦點坐標為，離心率為，漸近線方程為；(3)解：將雙曲線化為標準方程，則焦點在軸上，且，即，所以實軸長為，虛軸長為，頂點坐標為，焦點坐標為，離心率為，漸近線方程為；(4)解：由雙曲線，得焦點在軸上，且，即，所以實軸長為，虛軸長為，頂點坐標為，焦點坐標為，離心率為，漸近線方程為同類題型歸類練1．（2022·全國·高二課時練習）寫出雙曲線的實軸長、虛軸長、焦點坐標、漸近線方程．【答案】答案見解析.由題設，，所以實軸長，虛軸長，焦點坐標，漸近線方程為.2．（2022·陜西·西北農林科技大學附中高二期末（理））已知雙曲線（1）若，求雙曲線的焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程；（2）若雙曲線的離心率為，求實數的取值范圍．【答案】（1）焦點坐標為，，頂點坐標為，，漸近線方程為；（2）.（1）當時，雙曲線方程化為，所以，，，所以焦點坐標為，，頂點坐標為，，漸近線方程為.（2）因為，所以，解得，所以實數的取值范圍是．重點題型二：根據雙曲線幾何性質求其標準方程典型例題例題1．（2022·全國·高一）分別求滿足下列條件的曲線方程(1)以橢圓的短軸頂點為焦點，且離心率為的橢圓方程；(2)過點，且漸近線方程為的雙曲線的標準方程．【答案】(1)(2)(1)的短軸頂點為(0，－3)，(0，3)，∴所求橢圓的焦點在y軸上，且c＝3．又，∴a＝6．∴．∴所求橢圓方程為．(2)根據雙曲線漸近線方程為，可設雙曲線的方程，把代入得m＝1．所以雙曲線的方程為．例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)實軸長為6，漸近線方程為；(2)焦距為20，漸近線方程為．【答案】(1)或；(2)或.(1)由條件可知，，，當焦點在軸時，，解得：，，此時雙曲線的標準方程是當焦點在軸時，，解得：，，此時雙曲線的標準方程是綜上，雙曲線的標準方程是或；(2)當焦點在軸時，，解得：，此時雙曲線的標準方程是，當焦點在軸時，，解得：，此時雙曲線的標準方程是，綜上，雙曲線的標準方程是或.同類題型歸類練1．（2022·內蒙古·赤峰二中高二期末（文））求滿足下列條件的雙曲線的標準方程．(1)焦點在x軸上，實軸長為4，實半軸長是虛半軸長的2倍；(2)焦點在y軸上，漸近線方程為，焦距長為．【答案】(1)(2)（1）由題意有，解得：，則雙曲線的標準方程為：．（2）由題意有，解得：，則雙曲線的標準方程為：．2．（2022·江蘇·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)焦點在x軸上，，離心率為；(2)焦點的坐標為，，漸近線方程為；(3)虛軸長為12，離心率為；(4)離心率，且經過點．【答案】(1)(2)(3)或(4)(1)由條件設所求雙曲線的方程為則，則所以所以雙曲線的方程為(2)由題意雙曲線的焦點在x軸上，且，設所求雙曲線的方程為則雙曲線的漸近線方程為：，又漸近線方程為所以，且，解得所以雙曲線的方程為(3)由題意則由條件，又，即解得當雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的方程為當雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的方程為(4)由，即，所以所以雙曲線為等軸雙曲線，設雙曲線的方程為將點代入可得所以雙曲線的方程為重點題型三：雙曲線的漸近線問題典型例題例題1．（2022·廣東潮州·高二期末）已知雙曲線，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C由可知，，且雙曲線焦點位于x軸上故該雙曲線的漸近線方程為，故選：C例題2．（2022·北京市十一學校高二期末）橢圓：與雙曲線：的離心率之積為1，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D因為橢圓：與雙曲線：的離心率之積為1，所以有，因此雙曲線的兩條漸近線方程為：，所以雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為，，故選：D例題3．（2022·全國·模擬預測）已知，分別是雙曲線C：的左右焦點，雙曲線的右支上一點滿足，為坐標原點，直線與該雙曲線的左支交于點，且，則雙曲線的漸近線方程為______．【答案】設，則，．由雙曲線的定義知，，，∴，．又，∴．在中，有，∴①．在中，有，∴②，由②化簡可得，將其代入①中，得，即，∴雙曲線的漸近線方程為．故答案為：．同類題型歸類練1．（2022·河南·信陽高中高二期末（理））已知焦距為4的雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C由已知焦距為4，所以，，又雙曲線方程的漸近線方程為：，而直線的斜率，且直線與一條漸近線垂直，所以，即，由解得，所以雙曲線方程為：故選：C.2．（2022·陜西渭南·高一期末）中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為_______.【答案】由題意可知，則，解得則它的漸近線方程為故答案為：3．（2022·四川南充·高二期末（文））若雙曲線的漸近線與圓相切，則______．【答案】解：雙曲線的漸近線：，圓的圓心與半徑，雙曲線的漸近線與圓相切，，解得或（舍去）．故答案為：．重點題型四：雙曲線的離心率問題典型例題例題1．（2022·貴州銅仁·高二期末（文））點到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的離心率（

）A． B． C． D．【答案】A由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，故，即，解得，故故選：A例題2．（2022·江西·高三階段練習（文））已知雙曲線的一個焦點坐標為，當取最小值時，的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D而且,所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以，，又，所以，故選:D．例題3．（2022·安徽·安慶市第二中學高二期末）已知雙曲線：的右焦點為，為右支上一點，與軸切于點與軸交于點，，，則的離心率為_____________.【答案】不妨設點P在x軸的上方，因為軸，將代入，得，因為，，則有，且為等邊三角形，所以，即，所以，又，所以.故答案為：.例題4．（2022·云南普洱·高二期末）已知是雙曲線的兩個焦點，為上一點，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：B例題5．（2022·天津市西青區楊柳青第一中學高二期末）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線離心率倒數之和的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B設橢圓的長半軸為，雙曲線的實半軸為，半焦距為，由橢圓和雙曲線的定義可知，設，，，橢圓和雙曲線的離心率分別為，，因是它們的一個公共點，且，則由余弦定理可得：……①在橢圓中，由定義知，①式化簡為：……②在雙曲線中，由定義知，①式化簡為：……③由②③兩式消去得：，等式兩邊同除得，即，由柯西不等式得，.故選：同類題型歸類練1．（2022·江西·高三階段練習（理））已知雙曲線的一個焦點坐標為，當取最小值時，C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】B由可得，所以，故可得，所以，當且僅當，即時等號成立，所以，，又，所以，故選：B．2．（2022·山東青島·二模）設O為坐標原點，拋物線與雙曲線有共同的焦點F，過F與x軸垂直的直線交于A，B兩點，與在第一象限內的交點為M，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C因為拋物線的焦點，由題可知，，即拋物線方程為，令代入拋物線方程，可得，代入雙曲線方程，可得，可設，，，由有兩邊平方相減可得，，由有：，又即，由有：由，解得.故A，B，D錯誤.故選：C.3．（2022·湖北·鄂州市教學研究室高二期末）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線C有一個交點P，設的面積為S，若，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．2【答案】C依題意，，令，，則有，由得：，即有，而，所以.故選：C4．（2022·全國·高二專題練習）已知是雙曲線的左右焦點，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．【答案】，是雙曲線的左右焦點，以圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，則焦點到漸近線的距離：，所以，，，可得，即：，可得，所以，所以，又，所以雙曲線的離心率的取值范圍是：．故答案為：．重點題型五：直線與雙曲線的位置關系典型例題例題1．（2022·安徽·合肥市第八中學模擬預測（理））直線與雙曲線沒有公共點，則斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A解：聯立直線和雙曲線：，消去得，當，即時，此時方程為，解得，此時直線與雙曲線有且只有一個交點；當，此時，解得或，所以時直線與雙曲線無交點；故選：A例題2．（2022·陜西·西北工業大學附屬中學高二階段練習（文））直線與雙曲線的交點個數是（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0【答案】A解：雙曲線的漸近線方程為：，因為直線與雙曲線的一條漸近線平行，在軸上的截距為3，所以直線與雙曲線的交點個數是：1．故選：A．例題3．（2022·四川·仁壽一中高二期中（理））若直線與雙曲線始終只有一個公共點，則取值范圍是_____________.【答案】由，消可得，當或，解得或，故答案為：例題4．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預測（文））設直線l：與雙曲線C：相交于不同的兩點，，則的取值范圍為___________.【答案】聯立消去y：，，得到，又直線不與漸近線平行，所以.故答案為：.同類題型歸類練1．（2022·陜西·西安中學高二期末（文））已知雙曲線方程為，過點的直線與雙曲線只有一個公共點，則符合題意的直線的條數共有（

）A．4條 B．3條 C．2條 D．1條【答案】A解：雙曲線的漸近線方程為，右頂點為.①直線與雙曲線只有一個公共點；②過點平行于漸近線時，直線與雙曲線只有一個公共點；③設過的切線方程為與雙曲線聯立，可得，由，即，解得，直線的條數為1.綜上可得，直線的條數為4.故選：A,.2．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線（）的右焦點為，直線與雙曲線只有1個交點，則（

）A． B． C． D．【答案】C雙曲線的漸近線方程為，直線經過焦點，當時，只有直線與漸近線平行，與雙曲線有1個交點，可得，同理可得，當時，，故．故選：C．3．（2022·全國·高二專題練習）直線與雙曲線沒有交點，則的取值范圍為_____.【答案】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，因為直線過原點且與雙曲線沒有交點，故需滿足，故答案為：4．（2022·上海市建平中學高二階段練習）若直線與雙曲線僅有一個公共點，則k的取值是_________【答案】解：由直線與雙曲線聯立得：，當時，，方程只有一個解；當時，，解得，故答案為：重點題型六：弦長典型例題例題1．（2022·湖北·武漢市第十九中學高二期末）已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為，記的軌跡為曲線.(1)求的方程，并說明是什么曲線；(2)若直線和曲線相交于，兩點，求.【答案】(1)，曲線是一個雙曲線，除去左右頂點(2)(1)解：設，則的斜率分別為，，由已知得，化簡得，即曲線C的方程為，曲線是一個雙曲線，除去左右頂點.(2)解：聯立消去整理得，設，，則，.例題2．（2022·甘肅蘭州·高二期末（文））已知雙曲線及直線．（1）若與有兩個不同的交點，求實數的取值范圍．（2）若與交于，兩點，且線段中點的橫坐標為，求線段的長．【答案】（1）且；（2）．（1）聯立y=2可得．∵與有兩個不同的交點，．且，且．（2）設，．由（1）可知，．又中點的橫坐標為．，，或．又由（1）可知，為與有兩個不同交點時，．．．例題3．（2022·貴州黔西·高二期末（理））已知雙曲線的焦點在軸上，對稱中心為坐標原點，焦距為，且過點．（1）求的方程；（2）若斜率為2的直線與交于，兩點．且，求．【答案】（1）

；（2）．（1）由已知，設焦點坐標為，則，又，解得，故雙曲線的方程為：；（2）設直線，與雙曲線的方程聯立可得：設，則，，，，，解得，因此．同類題型歸類練1．（2022·四川自貢·高二期末（文））設?分別為雙曲線的左右焦點，且也為拋物線的的焦點，若點，，是等腰直角三角形的三個頂點.(1)雙曲線C的方程；(2)若直線l：與雙曲線C相交于A?B兩點，求.【答案】(1)(2)（1）解：拋物線的焦點為，所以，即，，又點，，是等腰直角三角形的三個頂點，所以，即，又，所以，所以雙曲線方程為.（2）解：依題意設，，由消去整理得，由，所以，，所以.2．（2022·全國·高三專題練習）過雙曲線的左焦點，作傾斜角為的直線.(1)求證：與雙曲線有兩個不同的交點；(2)求線段的中點的坐標和.【答案】(1)證明見解析(2)，(1)由雙曲線方程知：，則，由得：，則，與雙曲線有兩個不同的交點.(2)設，，由（1）得：，，；；.3．（2022·四川·自貢成外高級中學有限公司高二階段練習（文））已知雙曲線的漸近線方程為，且過點．(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的一個焦點作斜率為的直線交雙曲線于兩點，求弦長．【答案】(1)；(2).（1）由雙曲線方程知：漸近線斜率，又漸近線方程為，；雙曲線過點，；由得：，雙曲線的方程為：；（2）由（1）得：雙曲線的焦點坐標為；若直線過雙曲線的左焦點，則，由得：；設，，則，；由雙曲線對稱性可知：當過雙曲線右焦點時，；綜上所述：.重點題型七：中點弦和點差法典型例題例題1．（2022·寧夏·石嘴山市第一中學高二期末（理））已知雙曲線的離心率為2，過點的直線與雙曲線交于，兩點，且點恰好是弦的中點，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C由已知得，又，，可得.則雙曲線C的方程為.設，，則兩式相減得，即.又因為點P恰好是弦的中點，所以，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.經檢驗滿足題意故選：C例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線被直線截得的弦，弦的中點為,則直線的斜率為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A解：設交點坐標分別為，，，，則，，，兩式相減可得，即，所以，即直線的斜率為；故選：A．例題3．（2022·江蘇揚州·高二開學考試）已知雙曲線，過作直線與雙曲線交于A、兩點，且為弦的中點，則直線的方程為________________.【答案】設，則，∵A、B在雙曲線上，∴，①－②得：，即即，∴：，即，由，∵，故與雙曲線有兩個交點滿足題意，故l方程為：.故答案為：.同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習）已知曲線，過點且被點平分的弦所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A解：設，故，兩式做差得：，所以，又因為，所以，故弦所在的直線方程為，即：.聯立方程得：，，故滿足條件.故選：A.2．（2022·全國·高二課時練習）斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點的軌跡方程是______．【答案】(或).設直線為，與雙曲線交點為，聯立雙曲線可得：，則，即或，所以，故，則弦中點為，所以弦的中點的軌跡方程為(或).故答案為：(或)3．（2022·全國·高三專題練習）過點的直線與雙曲線交于兩點，且點恰好是線段的中點，則直線的方程為___________.【答案】過點的直線與該雙曲線交于，兩點，設，，，，，兩式相減可得：，因為為的中點，，，，則，所以直線的方程為，即為．故答案為：重點題型八：雙曲線的定點、定值、最值問題典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知是雙曲線上關于原點對稱的兩個點，點在雙曲線上．當和斜率存在時，求證：為定值．【答案】證明見解析設，，則，可得，，點和點P在雙曲線上，則有，兩式作差得，可得，即．例題2．（2022·湖南·周南中學高二期末）已知，為雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程；(2)已知點，是雙曲線上異于的兩點，直線，與軸分別相交于，兩點，若，證明：直線過定點．【答案】(1)(2)證明見解析（1）設雙曲線C的方程為（），由題意知，因為，所以解得∴雙曲線C的方程為（2）設直線AB的方程為，，由，整理得，則，，得，直線PA方程為令，則M（0，），同理N（0，）.由，可得，∴0，0，∴，∴，∴，∴∴，∴當時，此時直線AB方程為恒過定點，顯然不可能∴，直線AB方程為恒過定點同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習）已知是雙曲線上關于原點對稱的兩個點，點在雙曲線上．當、斜率存在時，求證：為定值．【答案】證明見解析設，，則，，，點A和點P在橢圓上，則有，作差得，，即．2．（2022·云南昆明·高二期末）已知直線與雙曲線C：交于A，B兩點，F是C的左焦點，且，.(1)求雙曲線C的方程；(2)若P，Q是雙曲線C上的兩點，M是C的右頂點，且直線MP與MQ的斜率之積為，證明直線PQ恒過定點，并求出該定點的坐標.【答案】(1)(2)證明見解析，直線PQ恒過定點（-2，0）(1)因為，所以，，設雙曲線C的焦距為2c，由雙曲線的對稱性知設雙曲線C的右焦點為F'，則，得，則，故雙曲線C的方程為.(2)由已知得，設直線MP與MQ的斜率分別為，，①當