1．7平面向量的應(yīng)用舉例最新課程標準學科核心素養(yǎng)1.會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題．2．體會向量在解決數(shù)學和實際問題中的作用．1.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題．(直觀想象、邏輯推理)2．會用向量方法解決某些簡單的力學問題及其他一些實際問題．(數(shù)學建模、數(shù)學運算)教材要點要點一向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)線線平行問題：不重合的兩條直線a，b平行?a∥b?a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0(a，b為非零向量)．(2)線線垂直問題：兩條直線a，b垂直?a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0(a，b為非零向量)．(3)夾角問題：兩個向量的夾角公式cosθ＝a·ba(4)線段的長度問題：向量模的公式|a|＝a·a＝要點二物理中的向量問題(1)力的問題力是既有大小，又有方向的量．用向量知識解決力的問題，往往是把向量平移到同一作用點上，主要涉及的問題是力的合成與分解．(2)速度與位移問題速度、位移問題主要涉及合成與分解，其實就是向量的加減法，可以通過向量的線性運算來解決，也可借助坐標運算來求解．(3)功與動量問題物理上力做功的實質(zhì)是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質(zhì)是向量的數(shù)量積．即W＝|F||s|cos〈F，s〉．功是一個實數(shù)，它可正、可負，也可為零．物理中的動量涉及物體的質(zhì)量m，物體運動的速率v，因此動量的計算也是向量的數(shù)乘運算．基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若△ABC是直角三角形，則有AB·BC＝0.()(2)若AB∥CD，則直線AB與CD平行．()(3)物理學中的功是一個向量．()(4)速度、加速度與位移的合成和分解，實質(zhì)上就是向量的加減運算．()2．在四邊形ABCD中，若AB·BC＝0，BC＝AD，則四邊形ABCD是()A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形3．若向量OF1＝1，1，OF2＝(－3，－2)分別表示兩個力F1，F(xiàn)A．(5，0)B．(－5，0)C．5D．－54．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC＝(1，2)，BD＝(－3，2)，則AD·AC＝________．題型1平面向量在幾何證明中的應(yīng)用例1如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，求證：AF⊥DE.方法歸納用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路(1)向量的線性運算法的四個步驟：①選取基；②用基表示相關(guān)向量；③利用向量的線性運算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；④把計算所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問題．(2)向量的坐標運算法的四個步驟：①建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担虎诎严嚓P(guān)向量坐標化；③利用向量的坐標運算找到相應(yīng)關(guān)系；④利用向量關(guān)系回答幾何問題．跟蹤訓練1已知點O，P在△ABC所在平面內(nèi)，且|OA|＝|OB|＝|OC|，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，則點O，P依次是△ABC的()A．重心，垂心B．重心，內(nèi)心C．外心，垂心D．外心，內(nèi)心題型2平面向量在幾何求值中的應(yīng)用例2在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝1，AD＝2，若點P為邊BC上的動點，則AP·PD的最大值為()A．12B．－C．－54方法歸納(1)用向量法求長度的策略①利用圖形特點選擇基，向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2＝a2求解．②建立坐標系，確定相應(yīng)向量的坐標，代入公式：若a＝(x，y)，則|a|＝x2(2)向量數(shù)量積、夾角的計算利用向量或坐標表示出未知向量，代入相應(yīng)的公式進行計算．跟蹤訓練2(1)如圖，已知|p|＝22，|q|＝3，p，q的夾角為π4，若AB＝5p＋2q，AC＝p－3q，D為BC的中點，則|AD(2)已知矩形ABCD，AB＝3，AD＝1，E為DC上靠近D的三等分點，則∠EAC的大小為________.題型3向量在物理中的應(yīng)用例3一條寬為3km的河，水流速度為2km/h，在河兩岸有兩個碼頭A，B，已知AB＝3km，船在水中的最大航速為4km/h，問該船怎樣安排航行速度可使它從A碼頭最快到達彼岸B碼頭？用時多少？方法歸納用向量解決物理問題的一般步驟(1)問題的轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．(2)模型的建立，即建立以向量為主體的數(shù)學模型．(3)參數(shù)的獲得，即求出數(shù)學模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值．(4)問題的答案，即回到問題的初始狀態(tài)，解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象．跟蹤訓練3在日常生活中，我們常常會看到兩個人共提一個行李包的情景，若行李包所受的重力為G，兩個拉力分別為F1，F(xiàn)2，且|F1|＝|F2|，F(xiàn)1與F2夾角為θ，當兩人拎起行李包時，下列結(jié)論正確的是()A．|G|＝|F1|＋|F2|B．當θ＝π2時，|F1|＝22|C．當θ角越大時，用力越省D．當|F1|＝|G|時，θ＝π易錯辨析未將物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題致誤例4一條河寬為8000m，一船從A出發(fā)航行垂直到達河正對岸的B處，船速為20km/h，水速為12km/h，則船到達B處所需時間為________min.解析：因為v實際＝v船＋v水＝v1＋v2，|v1|＝20，|v2|＝12，所以|v實際|＝v12-因此所需時間t＝816故該船到達B處所需的時間為30min.答案：30易錯警示易錯原因糾錯心得誤將船在靜水中的速度作為船的實際速度導(dǎo)致錯誤．船行駛的實際速度是船在靜水中的速度與水速的合成，因此應(yīng)借助平行四邊形法則或三角形法則求出其實際速度，再解決相關(guān)問題．課堂十分鐘1．在四邊形ABCD中，若AB+CD＝0，AC·A．平行四邊形B．矩形C．等腰梯形D．菱形2．已知作用在點A(1，1)的三個力分別為F1＝(3，4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3，1)，則合力F＝F1＋F2＋F3的終點坐標是()A．(8，0)B．(9，1)C．(－1，9)D．(3，1)3.已知邊長為2的正六邊形ABCDEF，連接BE，CE，點G是線段BE上靠近B的四等分點，連接GF，則GF·CE等于()A．－6B．－9C．6D．94．在Rt△ABC中，斜邊BC的長為2，O是平面ABC內(nèi)一點，點P滿足OP＝OA+12(AB5．在等腰△ABC中，BB′，CC′是兩腰上的中線，且BB′⊥CC′，求頂角∠BAC的余弦值．1．7平面向量的應(yīng)用舉例新知初探·課前預(yù)習[基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：由BC＝AD知BC∥AD，且BC＝AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．由AB·BC＝0知AB⊥BC，∴四邊形ABCD是矩形．答案：C3．解析：F1＋F2＝OF＝(－2，－1)．|F1＋F2|＝-22+-答案：C4．解析：∵AD＝12∴AD·AC＝(－1，2)·(1，2)＝－1＋4＝3.答案：3題型探究·課堂解透例1證明：方法一設(shè)AD＝a，AB＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0，又因為DE＝DA+AE＝－a＋b2，AF＝AB+BF＝b＋a2，所以AF·DE＝b+a2·-a+b2＝-1故AF⊥DE，即AF⊥DE.方法二建立平面直角坐標系如圖所示，設(shè)正方形的邊長為2，則A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(xiàn)(2，1)，AF＝(2，1)，DE＝(1，－2)．因為AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF⊥DE，即AF⊥DE.跟蹤訓練1解析：∵|OA|＝|OB|＝|OC|，∴O到三角形三個頂點的距離相等∴O是三角形的外心∵PA·PB＝PB·PC＝PC·PA∴PB·(PA-PC)＝0，PA·(∴PB⊥CA，PA∴P是△ABC的垂心．答案：C例2解析：如圖，以B為原點，BA，BC所在的直線分別為x軸，y軸建立直角坐標系．作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，在△ADE中，因為AD＝2，所以AE＝1，DE＝3.在△CDF中，因為DF＝BE＝2，∠C＝60°，所以CF＝233，BC＝則A(1，0)，D(2，3)．設(shè)P(0，t)，0≤t≤53則AP＝(－1，t)，PD＝(2，3－t)，所以AP·PD＝－t2＋3t－2，當t＝32時，AP·PD取得最大值，且(AP·PD)max＝－5答案：C跟蹤訓練2解析：(1)由題意知2AD＝AB+因為AB＝5p＋2q，AC＝p－3q，所以2AD＝AB+AC＝6p－所以2|AD|＝|6p－q|＝36×所以|AD|＝152(2)如圖，建立平面直角坐標系，則A(0，0)，C(3，1)，E33AC＝(3，1)，AE＝33，1cos∠EAC＝AC·AE|AC||因為0<∠EAC<π2，所以∠EAC＝π答案：(1)152(2)例3解析：如圖所示，設(shè)AC為水流速度，AD為航行速度，以AC和AD為鄰邊作?ACED，且當AE與AB重合時能最快到達彼岸，根據(jù)題意知AC⊥AE，在Rt△ADE和?ACED中，|DE|＝|AC|＝2，|AD|＝4，∠AED＝90°，∴|AE|＝AD2-DE2＝23，又∵∴用時0.5h，易知sin∠EAD＝12.∴∠EAD∴該船實際航行速度大小為4km/h，與水流方向成120°角時能最快到達B碼頭，用時0.5h．跟蹤訓練3解析：根據(jù)題意可得：G＝F1＋F2，則|G|＝|F1＋F2|＝F1+F22＝F12+F22+2F當θ＝π2時，|G|＝2F1|G|＝2F12+2又因行李包所受的重力為G不變，所以當θ角越大時，用力越大，故C錯誤；當|F1|＝|G|時，即G＝2F12+2F12·又因θ∈(0，π)，所以θ＝2π答案：B[課堂十分鐘]1．解析：由題可知AB∥CD，|AB|＝|CD|，且AC⊥BD，故四邊形為菱形．答案：D2．解析：∵F＝(8，0)，∴終點坐標為(8，0)＋(1，1)＝(9，1)．答案：B3．解析：方法一根據(jù)題意，BE＝2CD，GB＝－所以GF＝GB+BA+AF又CE＝CD+DE，且∠所以GF·CE＝12CD+DE＝12CD2＋＝2＋32×2×2×1方法二以點F為原點，線段EF所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，則F(0，0)，E(2，0)，B(0，23)，C(2，23)，BE＝(2，－23)，CE＝(0，－23)，EF＝(－2，0)，GF＝GE+EF＝34故GF·CE＝－332×(－2答案：D4．解析：∵