2024屆北京市東城171中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳的含量大約每經(jīng)過年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)一批魚化石，經(jīng)檢測其碳14含量約為原始含量的，則該生物生存的年代距今約（）A．萬年 B．萬年 C．萬年 D．萬年2．已知隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝，k＝1，2，3，則D(3ξ＋5)＝()A．6 B．9C．3 D．43．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，且，則面積的最大值為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則（）A．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)5．直線y=x與曲線y=xA．52 B．32 C．26．已知10個產(chǎn)品中有3個次品，現(xiàn)從其中抽出若干個產(chǎn)品，要使這3個次品全部被抽出的概率不小于0.6，則至少應(yīng)抽出的產(chǎn)品個數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．107．函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（）A． B．C． D．8．已知，若的展開式中各項系數(shù)之和為，則展開式中常數(shù)項為（）A． B． C． D．9．兩個半徑都是的球和球相切，且均與直二面角的兩個半平面都相切，另有一個半徑為的小球與這二面角的兩個半平面也都相切，同時與球和球都外切，則的值為（）A． B． C． D．10．某單位為了了解用電量(度)與氣溫()之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對照表：氣溫()101318－1用電量(度)38342464由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程中的，預(yù)測當(dāng)氣溫為時，用電量度數(shù)約為（）A．64 B．65 C．68 D．7011．“”是“函數(shù)在內(nèi)存在零點”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件12．若曲線上任意一點處的切線的傾斜角都是銳角，那么整數(shù)等于（）A．0 B．1 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數(shù)且，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍構(gòu)成的集合為__________．14．某單位在名男職工和名女職工中，選取人參加一項活動，要求男女職工都有，則不同的選取方法總數(shù)為______.15．在的展開式中常數(shù)項為30，則實數(shù)的值是____．16．在極坐標(biāo)系中，圓上的點到直線的距離的最小值是____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某保險公司擬推出某種意外傷害險，每位參保人交付元參保費，出險時可獲得萬元的賠付，已知一年中的出險率為，現(xiàn)有人參保.（1）求保險公司獲利在（單位：萬元）范圍內(nèi)的概率（結(jié)果保留小數(shù)點后三位）；（2）求保險公司虧本的概率．（結(jié)果保留小數(shù)點后三位）附：.18．（12分）將一枚六個面的編號為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后擲兩次，記第一次出的點數(shù)為，第二次出的點數(shù)為，且已知關(guān)于、的方程組.（1）求此方程組有解的概率；（2）若記此方程組的解為，求且的概率.19．（12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，能被7整除．20．（12分）已知橢圓：與拋物線有公共的焦點，且公共弦長為，（1）求，的值.（2）過的直線交于，兩點，交于，兩點，且，求.21．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在實數(shù)，使得，求正實數(shù)的取值范圍.22．（10分）一輛汽車前往目的地需要經(jīng)過個有紅綠燈的路口.汽車在每個路口遇到綠燈的概率為（可以正常通過），遇到紅燈的概率為（必須停車）.假設(shè)汽車只有遇到紅燈或到達(dá)目的地才停止前進(jìn)，用隨機變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對值.（1）求汽車在第個路口首次停車的概率；（2）求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)實際問題，可抽象出，按對數(shù)運算求解.【題目詳解】設(shè)該生物生存的年代距今是第個5730年，到今天需滿足，解得：，萬年.故選C.【題目點撥】本題考查了指數(shù)和對數(shù)運算的實際問題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸和計算能力.2、A【解題分析】

直接利用方差的性質(zhì)求解即可.【題目詳解】由題意得，，，故選A.【題目點撥】本題主要考查方差的性質(zhì)與應(yīng)用，意在考查對基本性質(zhì)掌握的熟練程度，屬于中檔題.3、B【解題分析】

本題考察的是解三角形公式的運用，可以化簡得出角C的大小以及的最大值，然后得出結(jié)果．【題目詳解】，C=，解得所以【題目點撥】在解三角形過程中，要對一些特定的式子有著熟練度，比如說、等等，根據(jù)這些式子就要聯(lián)系到我們的解三角形的公式當(dāng)中去．4、D【解題分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得y＝（）x在R上為減函數(shù)，y＝2x在R上為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）＝（）x﹣2x在R上為減函數(shù)，據(jù)此分析可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，f（x）＝（）x﹣2x，有f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，又由y＝（）x在R上為減函數(shù)，y＝2x在R上為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）＝（）x﹣2x在R上為減函數(shù)，故選：D．【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，關(guān)鍵是掌握函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】

利用定積分的幾何意義，首先利用定積分表示面積，然后計算即可．【題目詳解】y=x與曲線y=xS=0故選：D．【題目點撥】本題考查了定積分的幾何意義的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確利用定積分表示面積，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】

根據(jù)題意，設(shè)至少應(yīng)抽出個產(chǎn)品，由題設(shè)條件建立不等式，由此能求出結(jié)果.【題目詳解】解：要使這3個次品全部被抽出的概率不小于0.6，設(shè)至少抽出個產(chǎn)品，則基本事件總數(shù)為，要使這3個次品全部被抽出的基本事件個數(shù)為，由題設(shè)知：，所以，即，分別把A，B，C，D代入，得C，D均滿足不等式，因為求的最小值，所以.故選：C.【題目點撥】本題考查概率的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理的進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.7、A【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0時函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，確定函數(shù)的單調(diào)性【題目詳解】解：由圖象可知，即求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，從而有解集為，故選：．【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是識圖，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】

通過各項系數(shù)和為1，令可求出a值，于是可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，在中，令，則，而，故，所以展開式中常數(shù)項為，故答案為B.【題目點撥】本題主要考查二項式定理，注意各項系數(shù)之和和二項式系數(shù)和之間的區(qū)別，意在考查學(xué)生的計算能力，難度不大.9、D【解題分析】

取三個球心點所在的平面，過點、分別作、，垂足分別為點，過點分別作，，分別得出、以及，然后列出有關(guān)的方程，即可求出的值．【題目詳解】因為三個球都與直二面角的兩個半平面相切，所以與、、共面，如下圖所示，過點、分別作、，垂足分別為點，過點分別作，，則，，，，，，所以，，等式兩邊平方得，化簡得，由于，解得，故選D．【題目點撥】本題主要考查球體的性質(zhì)，以及球與平面相切的性質(zhì)、二面角的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想與空間想象能力，屬于難題．轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的靈魂，合理的轉(zhuǎn)化不僅僅使問題得到了解決，還可以使解決問題的難度大大降低，本題將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解題的關(guān)鍵.10、C【解題分析】

先求解出氣溫和用電量的平均數(shù)，然后將樣本點中心代入回歸直線方程，求解出的值，即可預(yù)測氣溫為時的用電量.【題目詳解】因為，所以樣本點中心，所以，所以，所以回歸直線方程為：，當(dāng)時，.故選：C.【題目點撥】本題考查回歸直線方程的求解以及利用回歸直線方程估計數(shù)值，難度較易.注意回歸直線方程過樣本點的中心.11、A【解題分析】分析：先求函數(shù)在內(nèi)存在零點的解集，，再用集合的關(guān)系判斷充分條件、還是必要條件。詳解：函數(shù)在內(nèi)存在零點，則，所以的解集那么是的子集，故充分非必要條件，選A點睛：在判斷命題的關(guān)系中，轉(zhuǎn)化為判斷集合的關(guān)系是容易理解的一種方法。12、B【解題分析】

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立轉(zhuǎn)化為二次不等式對應(yīng)二次方程的判別式小于0,進(jìn)一步求解關(guān)于的不等式得答案.【題目詳解】解:由,得,曲線上任意點處的切線的傾斜角都為銳角,對任意實數(shù)恒成立,

.解得:.整數(shù)的值為1.故答案為B【題目點撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程,函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)值就是對應(yīng)曲線上該點處的切線的斜率,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】分析：先確定各段單調(diào)遞增，再考慮結(jié)合點處也單調(diào)遞增，解得實數(shù)的取值范圍.詳解：因為在上單調(diào)遞增，所以因此實數(shù)的取值范圍構(gòu)成的集合為.點睛：已知函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的值或范圍要注意以下兩點：(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調(diào)的；(2)分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值；（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，不僅要注意內(nèi)外函數(shù)單調(diào)性對應(yīng)關(guān)系，而且要注意內(nèi)外函數(shù)對應(yīng)自變量取值范圍.14、.【解題分析】

在沒有任何限制的條件下，減去全是女職工的選法種數(shù)可得出結(jié)果.【題目詳解】由題意可知，全是女職工的選法種數(shù)為，因此，男女職工都有的選法種數(shù)為，故答案為.【題目點撥】本題考查組合問題，利用間接法求解能簡化分類討論，考查計算能力，屬于中等題.15、2；【解題分析】

利用二項展開式的通項，當(dāng)?shù)拇蝺鐬闀r，求得，再由展開式中常數(shù)項為30，得到關(guān)于的方程.【題目詳解】因為，當(dāng)時，，解得：.【題目點撥】本題考查二項式定理中的展開式，考查基本運算求解能力，運算過程中要特別注意符號的正負(fù)問題.16、1【解題分析】試題分析：圓的直角坐標(biāo)方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為，圓心到直線的距離，圓上的點到直線的距離的最小值為.考點：直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)、距離公式.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由題意知，總的保費為萬元，分析出保險公式獲利萬元和萬元的人數(shù)別為、，由此得出所求概率為；（2）由題意得出保險公式虧本時，由此可得出所求概率為.【題目詳解】每個人在一年內(nèi)是否遭遇意外傷害可以看成是一次隨機試驗，把遭遇意外傷害看作成功，則成功概率為.人參保可以看成是次獨立重復(fù)試驗，用表示一年內(nèi)這人中遭遇意外傷害的人數(shù)，則.（1）由題意知，保險公司每年的包費收入為萬，若獲利萬元，則有人出險；若獲利萬元，則有人出險.當(dāng)遭遇意外傷害的人數(shù)時，保險公司獲利在（單位：萬元）范圍內(nèi).其概率為.保險公司獲利在（單位：萬元）范圍內(nèi)的概率為；（2）當(dāng)遭遇意外傷害的人數(shù)時，保險公司虧本..保險公司虧本的概率為.【題目點撥】本題考查概率的計算，考查對立事件概率的計算，解題時要結(jié)合條件分析出出險人數(shù)，結(jié)合表格中的概率進(jìn)行計算，考查計算能力，屬于中等題.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）先根據(jù)方程組有解得關(guān)系，再確定取法種數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果；（2）先求方程組解，再根據(jù)解的情況得關(guān)系，進(jìn)而確定取法種數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果.【題目詳解】（1）因為方程組有解，所以而有這三種情況，所以所求概率為；（2）因為且，所以因此即有種情況，所以所求概率為；【題目點撥】本題考查古典概型概率以及二元一次方程組的解，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.19、見解析【解題分析】

運用數(shù)學(xué)歸納法證明，考慮檢驗成立，再假設(shè)成立，證明時，注意變形，即可得證．【題目詳解】證：①當(dāng)時，，能被7整除；②假設(shè)時，能被7整除，那么當(dāng)時，，由于能被7整除，能被7整除，可得能被7整除，即當(dāng)時，能被7整除；綜上可得當(dāng)時，能被7整除.【題目點撥】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，若成立（奠基）；假設(shè)成立，可以推出成立（歸納），則對一切大于等于的自然數(shù)都成立.屬于基礎(chǔ)題.20、（1），；（2）.【解題分析】

(1)由橢圓以及拋物線的對稱性可得到交點的縱坐標(biāo)，代入，可得到交點的橫坐標(biāo)，再由有公共的焦點，即可得到，的值；(2)先設(shè)：，再由直線交于，兩點，交于，兩點，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，再由已知條件可得，從而可求出.【題目詳解】（1）∵，均關(guān)于軸對稱，∴公共弦也關(guān)于軸對稱，∵公共弦長為，將代入，中解得與，∴，.∵，有公共的焦點，∴，解得，.（2），設(shè)，，，，∵，∴，即，.當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，顯然不成立，∴設(shè)：，將方程代入整理得，，.將方程代入整理得，∴，.代入中解得，∵，∴.【題目點撥】本題考查了橢圓以及拋物線的對稱性，以及直線與橢圓和拋物線的關(guān)系，拋物線定義求弦長，考查了學(xué)生的計算能力，屬于較難題.21、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）求出定義域以及，分類討論，求出大于0和小于0的區(qū)間，從而得到的單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合（1）的單調(diào)性，分類討論，分別求出和以及函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間以及最小值，從而求出的范圍。【題目詳解】（1）的定義域為，.當(dāng)時，，則在上