浙江省杭州市浙大附中2024屆數學高二第二學期期末學業水平測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．在平面幾何中有如下結論：正三角形的內切圓面積為，外接圓面積為，則，推廣到空間中可以得到類似結論：已知正四面體的內切球體積為，外接球體積為，則為（）A． B． C． D．3．將函數圖象上所有的點向左平移個單位，再將橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到的圖象，則下列各式正確的是（）A． B．C． D．4．設圓x2+y2+2x-2=0截x軸和y軸所得的弦分別為AB和CDA．22 B．23 C．25．展開式中常數項為()A． B． C． D．6．已知則的最小值是()A． B．4 C． D．57．用0，1，…，9十個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為()A．243B．252C．261D．2798．若對于任意的實數，有，則的值為（）A． B． C． D．9．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間（3,6）內的概率為（）（附：若隨機變量ξ服從正態分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%10．外接圓的半徑等于1，其圓心O滿足，則向量在方向上的投影等于（）A． B． C． D．311．設△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，則△ABC的內切圓半徑為.將此結論類比到空間四面體：設四面體的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，體積為V，則四面體的內切球半徑為r＝（）A． B．C． D．12．函數在處的切線斜率為（）A．1 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知方程有兩個根、，且，則的值為______.14．設滿足約束條件，則的最大值為.15．已知復數滿足，則的最小值為___________．16．已知函數，則的值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知復數，其中是虛數單位，根據下列條件分別求實數的值.（Ⅰ）復數是純虛數；（Ⅱ）復數在復平面內對應的點在直線上.18．（12分）已知函數.（1）求此函數的單調區間；（2）設．是否存在直線（）與函數的圖象相切？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．19．（12分）如圖所示，某地出土的一種“釘”是由四條線段組成，其結構能使它任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上．并記組成該“釘”的四條等長的線段公共點為，釘尖為．（1）判斷四面體的形狀，并說明理由；（2）設，當在同一水平面內時，求與平面所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；（3）若該“釘”著地后的四個線段根據需要可以調節與底面成角的大小，且保持三個線段與底面成角相同，若，，問為何值時，的體積最大，并求出最大值．20．（12分）已知函數，．(Ⅰ)當時，證明：；(Ⅱ)的圖象與的圖象是否存在公切線（公切線：同時與兩條曲線相切的直線）？如果存在，有幾條公切線，請證明你的結論．21．（12分）選修4-5：不等式選講.（1）當時，求函數的最大值；（2）若對任意恒成立，求實數的取值范圍.22．（10分）某工廠甲、乙兩條相互獨立的生產線生產同款產品，在產量一樣的情況下通過日常監控得知，甲、乙兩條生產線生產的產品為合格品的概率分別為相.（1）若從甲、乙兩條生產線上各抽檢一件產品。至少有一件合格的概率為.求的值：（2）在（1）的前提下，假設每生產一件不合格的產品，甲、乙兩條生產錢損失分別為元和元，若從兩條生產線上各隨機抽檢件產品。估計哪條生產線的損失較多？（3）若產品按照一、二、三等級分類后銷售，每件可分別獲利元，元，元，現從甲、乙生產線各隨機抽取件進行檢測，統計結果如圖所示。用樣本的頻率分布估計總體分布，記該工廠生產一件產品的利潤為，求的分布列并估計該廠產量為件時利潤的期望值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】，，，∴“”是“”的充分不必要條件．故選：．2、B【解題分析】

平面圖形類比空間圖形,二維類比三維,類比平面幾何的結論,確定正四面體的外接球和內切球的半徑之比,即可求得結論.【題目詳解】設正四面體P-ABC的邊長為a，設E為三角形ABC的中心，H為正四面體P-ABC的中心，則HE為正四面體P-ABC的內切球的半徑r,BH=PH且為正四面體P-ABC的外接球的半徑R，所以BE=，所以在中，，解得，所以R=PE-HE=，所以，根據的球的體積公式有，，故選：B.【題目點撥】本題考查類比推理，常見類型有：（1）等差數列與等比數列的類比；（2）平面與空間的類比；（3）橢圓與雙曲線的類比；（4）復數與實數的類比；（5）向量與數的類比.3、C【解題分析】

根據平移得到，函數關于點中心對稱，得到答案.【題目詳解】根據題意：，故，取，故.故函數關于點中心對稱，由，則故，則正確，其他選項不正確.故選：.【題目點撥】本題考查了三角函數平移，中心對稱，意在考查學生對于三角函數知識的綜合應用.4、C【解題分析】

先求出|AB|,|CD|,再求四邊形ABCD的面積.【題目詳解】x2+y令y=0得x=±3-1,則令x=0得y=±2，所以|CD|=2四邊形ACBD的面積S=故答案為：C【題目點撥】本題主要考查直線和圓的位置關系，考查弦長的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.5、D【解題分析】

求出展開式的通項公式，然后進行化簡，最后讓的指數為零，最后求出常數項.【題目詳解】解:，令得展開式中常數項為，故選D.【題目點撥】本題考查了求二項式展開式中常數項問題，運用二項式展開式的通項公式是解題的關鍵.6、C【解題分析】

由題意結合均值不等式的結論即可求得的最小值，注意等號成立的條件.【題目詳解】由題意可得：，當且僅當時等號成立.即的最小值是.故選：C.【題目點撥】在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現錯誤．7、B【解題分析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十個數字組成的三位數(含有重復數字的)共有9×10×10=900，組成無重復數字的三位數共有9×9×8=648，因此組成有重復數字的三位數共有900－648=1．8、B【解題分析】試題分析：因為，所以，故選擇B.考點：二項式定理.9、B【解題分析】試題分析：由題意故選B．考點：正態分布10、C【解題分析】分析：先根據題意畫出圖形，由已知條件可知三角形為直角三角形，且，再根據直角三角形射影定理可求得所求投影的值.詳解：根據題意畫出圖像如下圖所示，因為，所以為中點，所以是圓的直徑，所以.由于，所以三角形為等邊三角形，所以，根據直角三角形射影定理得，即.故選C.點睛：本小題主要考查圓的幾何性質，考查向量加法的幾何意義，考查直角三角形射影定理等知識.屬于中檔題.11、C【解題分析】

由內切圓類比內切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可.【題目詳解】設四面體的內切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是r，所以四面體的體積等于以O為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．則四面體的體積為：，所以.故選：C【題目點撥】本題主要考查了類比推理的應用，屬于中檔題.12、B【解題分析】

先對函數求導，然后代入切點的橫坐標，即可求得本題答案.【題目詳解】由，得，所以切線斜率.故選：B【題目點撥】本題主要考查在曲線上一點的切線斜率，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或1【解題分析】

對方程的兩根分成實根和虛根兩種情況討論，再利用韋達定理和求根公式分別求解．【題目詳解】當△時，，；當△時，，故答案為：或1．【題目點撥】此題考查實系數二次方程根的求解，考查分類討論思想的運用，求解的關鍵在于對判別式分大于0和小于0兩種情況．14、5.【解題分析】.試題分析：約束條件的可行域如圖△ABC所示.當目標函數過點A(1，1)時，z取最大值，最大值為1+4×1=5.【考點】線性規劃及其最優解.15、4【解題分析】

根據復數模的幾何意義，將條件轉化為距離問題即可得到答案【題目詳解】設，由得所以即點是圓心為，半徑為1的圓上的動點，表示的是點與點的距離所以其最小值為點到圓心的距離減去半徑即故答案為：4【題目點撥】本題考查的是復數模的幾何意義，圓當中的最值問題一般向圓心進行轉化.16、【解題分析】，，解得，故，故答案為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解題分析】

（Ⅰ）根據純虛數為實部為0，虛部不為0即可得到方程，于是求得答案；（Ⅱ）將復數在復平面內對應的點表示出來，代入直線上，即可得到答案.【題目詳解】解：因為，復數可表示為，（Ⅰ）因為為純虛數，所以解得；（Ⅱ）復數在復平面內對應的點坐標為因為復數在復平面內對應的點在直線上所以即解得或.【題目點撥】本題主要考查純虛數，復數的幾何意義等相關概念，難度較小.18、（1）單調遞增區間是，單調遞減區間是和（2）存在，的值是．【解題分析】

（1）求導數，利用導數的正負，即可求此函數的單調區間；（2）假設存直線與函數的圖象相切于點，則這條直線可以寫成，與直線比較，即可得出結論．【題目詳解】解：（1）∵，∴．令，得，解之，得；令，得，解之，得，或．∴函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是和．（2）∵，，∴．∴．假設存直線與函數的圖象相切于點（），則這條直線可以寫成．∵，，∴．即．∴解之，得所以存在直線與函數的圖象相切，的值是．【題目點撥】本題考查導數知識的綜合運用，考查函數的單調性，考查導數的幾何意義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．19、（1）正四面體；理由見解析（2）；（3）當時，最大體積為：；【解題分析】

（1）根據線段等長首先確定為四面體外接球球心；又底面，可知為正三棱錐；依次以為頂點均有正三棱錐結論出現，可知四面體棱長均相等，可知其為正四面體；（2）由為四面體外接球球心及底面可得到即為所求角；設正四面體棱長為，利用表示出各邊，利用勾股定理構造方程可求得，從而可求得，進而得到結果；（3）取中點，利用三線合一性質可知，從而可用表示出底面邊長和三棱錐的高，根據三棱錐體積公式可將體積表示為關于的函數，利用導數求得函數的最大值，并確定此時的取值，從而得到結果.【題目詳解】（1）四面體為正四面體，理由如下：四條線段等長，即到四面體四個頂點距離相等為四面體外接球的球心又底面在底面的射影為的外心四面體為正三棱錐，即，又任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上，若豎直向上可得：可知四面體各條棱長均相等為正四面體（2）由（1）知，四面體為正四面體，且為其外接球球心設中心為，則平面，如下圖所示：即為與平面所成角設正四面體棱長為則，在中，，解得：即與平面所成角為：（3）取中點，連接，，為中點且，令，，則設，，則令，解得：，當時，；當時，當時，取極大值，即為最大值：即當時，取得最大值，最大值為：此時，即綜上所述，當時，體積最大，最大值為：【題目點撥】本題考查立體幾何中的幾何體特征判斷、直線與平面所成角的求解、三棱錐體積的最值的求解問題；求解三棱錐體積的最值問題，關鍵是要把底面面積和三棱錐的高均利用某一變量來進行表示，從而將所求體積最值問題轉化為關于此變量的函數最值問題的求解，進而通過導數或其他求解函數最值的方法求得結果.20、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數是2條，證明見解析【解題分析】

（Ⅰ）當x＞0時，設h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，設l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，分別求得導數和單調性、最值，即可得證；（Ⅱ）先確定曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數，設出切點坐標并求出兩個函數導數，根據導數的幾何意義列出方程組，先化簡方程得lnm﹣1．分別作出y＝lnx﹣1和y的函數圖象，通過圖象的交點個數來判斷方程的解的個數，即可得到所求結論．【題目詳解】（Ⅰ）當x＞0時，設h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，h′（x）1，當x＞1時，h′（x）＜0，h（x）遞減；0＜x＜1時，h′（x）＞0，h（x）遞增；可得h（x）在x＝1處取得最大值﹣1，可得h（x）≤﹣1＜0；設l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，l′（x）＝ex﹣1，當x＞0時，l′（x）＞0，l（x）遞增；可得l（x）＞l（0）＝1＞0，綜上可得當x＞0時，g（x）＜x＜f（x）；（Ⅱ）曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數是2，證明如下：設公切線與g（x）＝lnx，f（x）＝ex的切點分別為（m，lnm），（n，en），m≠n，∵g′（x），f′（x）＝ex，可得，化簡得（m﹣1）lnm＝m+1，當m＝1時，（m﹣1）lnm＝m+1不成立；當m≠1時，（m﹣1）lnm＝m+1化為lnm，由lnx1，即lnx﹣1．分別作出y＝lnx﹣1和y的函數圖象，由圖象可知：y＝lnx﹣1和y的函數圖象有兩個交點，可得方程lnm有兩個實根，則曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數是2條．【題目點撥】本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調性、極值和最值，考查方程與構造函數法和數形結合思想，考查化簡運算能力，屬于較難題．21、（1）4（2）【解題分析】分析：（1）利用絕對值三角不等式求函數的最大值.(2)