內蒙古烏蘭察布集寧二中2024屆高二數學第二學期期末經典試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設奇函數的最小正周期為，則（）A．在上單調遞減 B．在上單調遞減C．在上單調遞增 D．在上單調遞增2．設定義在上的函數的導函數為，若，，則不等式（其中為自然對數的底數）的解集為（）A． B．C． D．3．已知、為雙曲線C：的左、右焦點，點P在C上，∠P=，則A．2 B．4 C．6 D．84．若，則“復數的共軛復數在復平面內對應的點在第二象限”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．設隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝a()i，i＝1，2，3，則a的值為()A．1 B． C． D．6．已知函數，若關于的方程有兩個相異實根，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．7．已知實數滿足條件，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．將函數y=sin2x+π6的圖象向右平移π6個單位長度后,得到函數f(x)的圖象,A．kπ-5π12C．kπ-π39．某煤氣站對外輸送煤氣時，用1至5號五個閥門控制，且必須遵守以下操作規則：①若開啟3號，則必須同時開啟4號并且關閉2號；②若開啟2號或4號，則關閉1號；③禁止同時關閉5號和1號.則閥門的不同開閉方式種數為（）A．7 B．8 C．11 D．1410．學校選派位同學參加北京大學、上海交通大學、浙江大學這所大學的自主招生考試，每所大學至少有一人參加,則不同的選派方法共有A．540種 B．240種 C．180種 D．150種11．設集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若，則（）A．{3，1} B．{3，2，1} C．{3，2} D．{3，0，1，2}12．在三棱錐中，平面，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點到直線：的距離等于3，則_______.14．已知復數的共軛復數是，且，則的虛部是__________．15．已知點在二面角的棱上，點在半平面內，且，若對于半平面內異于的任意一點，都有，則二面角大小的取值的集合為__________.16．已知復數z滿足，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）高二年級數學課外小組人:（1）從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法?（2）從中選名參加省數學競賽，有多少種不同的選法?18．（12分）北京市政府為做好會議接待服務工作，對可能遭受污染的某海產品在進入餐飲區前必須進行兩輪檢測，只有兩輪都合格才能進行銷售，否則不能銷售.已知該海產品第一輪檢測不合格的概率為，第二輪檢測不合格的概率為，兩輪檢測是否合格相互沒有影響.（1）求該海產品不能銷售的概率.（2）如果該海產品可以銷售，則每件產品可獲利40元；如果該海產品不能銷售，則每件產品虧損80元（即獲利-80元）.已知一箱中有該海產品4件，記一箱該海產品獲利元，求的分布列，并求出數學期望.19．（12分）已知函數f(x)=2ln（1）當a=2時，求f(x)的圖像在x=1處的切線方程；（2）若函數g(x)=f(x)-ax+m在[1e,e]20．（12分）已知數列滿足：，且.（Ⅰ）求，，的值，并猜想數列的通項公式；（Ⅱ）試用數學歸納法證明（Ⅰ）中的猜想.21．（12分）（1）求函數的最大值；（2）若函數有兩個零點，求實數a的取值范圍．22．（10分）設，且.(1)求的值；(2)求在區間上的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：利用輔助角公式將函數進行化簡，根號函數的周期和奇偶性即可得到結論．詳解：，

∵函數的周期是，，

∵）是奇函數，

即∴當時，即則在單調遞減，

故選：B．點睛：本題主要考查三角函數的解析式的求解以及三角函數的圖象和性質，利用輔助角公式是解決本題的關鍵．2、A【解題分析】

構造函數，則可判斷，故是上的增函數，結合即可得出答案.【題目詳解】解：設，則，∵，，∴，∴是上的增函數，又，∴的解集為，即不等式的解集為.故選A.【題目點撥】本題考查導數與函數單調性的關系，構造函數是解題的關鍵.3、B【解題分析】本試題主要考查雙曲線的定義，考查余弦定理的應用．由雙曲線的定義得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故選B．4、C【解題分析】

先將復數化簡成形式，得其共軛復數，通過對應的點在第二象限求出的取值范圍，即可判斷與的關系．【題目詳解】，所以共軛復數，因為共軛復數在復平面內對應的點在第二象限所以，解得所以“復數的共軛復數在復平面內對應的點在第二象限”是“”充要條件，故選C【題目點撥】本題考查復數的基本運算與充要關系，解題的關鍵是先通過條件求出的取值范圍，屬于一般題．5、D【解題分析】

根據分布列中所有概率和為1求a的值.【題目詳解】因為P(X＝i)＝a()i，i＝1，2，3，所以，選D.【題目點撥】本題考查分布列的性質，考查基本求解能力.6、B【解題分析】分析：將方程恰有兩個不同的實根，轉化為方程恰有兩個不同的實根，在轉化為一個函數的圖象與一條折線的位置關系，即可得到答案.詳解：方程恰有兩個不同的實根，轉化為方程恰有兩個不同的實根，令，，其中表示過斜率為1或的平行折線，結合圖象，可知其中折線與曲線恰有一個公共點時，，若關于的方程恰有兩個不同的實根，則實數的取值范圍是，故選B.點睛：本題主要考查了方程根的存在性及根的個數的判斷問題，其中把方程的實根的個數轉化為兩個函數的圖象的交點的個數，作出函數的圖象是解答的關鍵，著重考查了轉化思想方法，以及分析問題和解答問題的能力.7、D【解題分析】

如圖所示，畫出可行域和目標函數，根據平移得到答案.【題目詳解】如圖所示，畫出可行域和目標函數，，則，表示直線軸截距的相反數，根據圖像知：當直線過，即，時有最小值為；當直線過，即時有最大值為，故.故選：.【題目點撥】本題考查了線性規劃問題，畫出圖像是解題的關鍵.8、D【解題分析】

求出圖象變換的函數解析式，再結合正弦函數的單調性可得出結論．【題目詳解】由題意f(x)=sin2kπ-π∴kπ-π故選D．【題目點撥】本題考查三角函數的平移變換，考查三角函數的單調性．解題時可結合正弦函數的單調性求單調區間．9、A【解題分析】

分兩類解決，第一類：若開啟3號，然后對2號和4號開啟其中一個即可判斷出1號和5號情況，第二類：若關閉3號，關閉2號關閉4號，對1號進行討論，即可判斷5號,由此可計算出結果.【題目詳解】解：依題意，第一類：若開啟3號，則開啟4號并且關閉2號，此時關閉1號，開啟5號，此時有1種方法；第二類：若關閉3號，①開啟2號關閉4號或關閉2號開啟4號或開啟2號開啟4號時，則關閉1號，開啟5號，此時有種3方法；②關閉2號關閉4號，則開啟1號關閉5號或開啟1號開啟5號或關閉1號，開啟5號，此時有種3方法；綜上所述，共有種方式.故選：A.【題目點撥】本題考查分類加法計數原理，屬于中檔題.10、D【解題分析】分析：按題意5人去三所學校，人數分配可能是1，1，3或1，2，2，因此可用分類加法原理求解．詳解：由題意不同方法數有．故選D．點睛：本題考查排列組合的綜合應用，此類問題可以先分組再分配，分組時在1，2，2一組中要注意2,2分組屬于均勻分組，因此組數為，不是，否則就出錯．11、B【解題分析】分析：由求出a的值，再根據題意求出b的值，然后由并集運算直接得答案.詳解：由，，即，，則.故選：B.點睛：本題考查了并集及其運算，考查了對數的運算，是基礎題.12、C【解題分析】

先求出的外接圓的半徑，然后取的外接圓的圓心，過作，且，由于平面，故點為三棱錐的外接球的球心，為外接球半徑，求解即可.【題目詳解】在中，，，可得，則的外接圓的半徑，取的外接圓的圓心，過作，且，因為平面，所以點為三棱錐的外接球的球心，則，即外接球半徑，則三棱錐的外接球的表面積為.故選C.【題目點撥】本題考查了三棱錐的外接球表面積的求法，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解題分析】

直接利用點到直線的距離公式列方程，即可得到答案．【題目詳解】由題意可得：，解得或．故答案為：或．【題目點撥】本題考查點到直線的距離公式，考查基本運算求解能力，屬于基礎題．14、【解題分析】

設復數，代入等式得到答案.【題目詳解】設復數故答案為【題目點撥】本題考查了復數的化簡，共軛復數，復數的模，意在考查學生的計算能力和對復數知識的靈活運用.15、【解題分析】

畫出圖形，利用斜線與平面內直線所成的角中，斜線與它的射影所成的角是最小的，判斷二面角的大小即可.【題目詳解】如下圖所示，過點在平面內作，垂直為點，點在二面角的棱上，點在平面內，且，若對于平面內異于點的任意一點，都有.因為斜線與平面內直線所成角中，斜線與它的射影所成的角是最小的，即是直線與平面所成的角，平面，平面，所以，平面平面，所以，二面角的大小是.故答案為：.【題目點撥】本題考查二面角平面角的求解，以及直線與平面所成角的定義，考查轉化與化歸思想和空間想象能力，屬于中等題.16、3-i【解題分析】

利用復數的運算法則、共軛復數的性質即可得出．【題目詳解】解：（z﹣2）i＝1+i，則（z﹣2）i?（﹣i）＝﹣i（1+i），可得z＝2﹣i+1＝3﹣i．故答案為：3﹣i．【題目點撥】本題考查了復數的運算法則、共軛復數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）90（2）45【解題分析】

（1）應用排列進行計算；（2）應該用組合來進行計算。【題目詳解】（1）選一名正組長和一名副組長，因為正組長與副組長屬于不同的職位，所以應該用排列，.（2）選名參加省數學競賽，都是同樣參加數學競賽，所以應該用組合，.【題目點撥】本題考查了排列和組合的基本概念和應用，屬于基礎題。18、（1）；（2）分布列見解析，期望為1.【解題分析】

（1）利用對立事件的概率計算該產品不能銷售的概率值；（2）由題意知的可能取值為，，，1，160；計算對應的概率值，寫出分布列，計算數學期望．【題目詳解】（1）記“該產品不能銷售”為事件，則（A），所以，該產品不能銷售的概率為；（2）由已知，的可能取值為，，，1，160計算，，，，；所以的分布列為1160；所以均值為1．【題目點撥】本題主要考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的應用問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．19、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）求函數的導數，利用導數的幾何意義即可求的圖象在處的切線方程；（2）利用導數求出函數的在上的極值和最值，即可得到結論．試題解析：（1）當時，，，切點坐標為，切線的斜率，則切線方程為，即.（2），則.∵，∴當時，.當時，；當時，.故在處取得極大值.又，，，則，∴在上的最小值是．在上有兩個零點的條件是，解得，∴實數的取值范圍是．考點：利用導數求閉區間上函數的最值.20、（Ⅰ），，，猜想.（Ⅱ）證明見解析【解題分析】

（Ⅰ）令，可得，，的值，根據，可猜想數列的通項公式；（Ⅱ）①當時，猜想顯然成立；②假設當時猜想成立，通過證明當時，猜想也成立，從而得到證明.【題目詳解】解：（Ⅰ）由遞推公式可得，，，猜想.（Ⅱ）下面用數學歸納法證明猜想成立.①當時，猜想顯然成立；②假設當時猜想成立，即，則時，由，得，即當時，猜想也成立，由①②可知，對任意均成立.【題目點撥】本題主要考查歸納推理及用數學歸納法證明猜想成立.21、(1)(2)【解題分析】

（1）求出．利用導函數的符號判斷函數的單調性然后求解最大值；（2）分情況：①在時，②在時，③在時，判斷函數的單調性，求解函數的極值與0的關系，然后求解零點個數．【題目詳解】（1）對求導數，．在時，為增函數，在時為減函數，∴，從而的最大值為．（2）①在時，在R上為增函數，且，故無零點．②在時，在R上單增，又，，故在R上只有一個零點．③在時，由可知在時有唯一極小值，．若，，無零點，若，，只有一個零點，若，，而．由（1）可知，在時為減函數，∴在時，，從而．∴在與上各有一個零點．綜上討論可知：時，有兩個零點．【題目點撥】本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及函數的極值的求法，函數的零點個數的判斷，是難題．對于函