上海市南模中學2024屆高二數學第二學期期末監測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數的定義城是（）A． B． C． D．2．隨機變量的分布列如下表，其中，，成等差數列，且，246則（）A． B． C． D．3．已知變量，滿足回歸方程，其散點圖如圖所示，則（）A．， B．，C．， D．，4．已知向量，，若與垂直，則（）A．2 B．3 C． D．5．已知角的終邊經過點，則的值等于（）A． B． C． D．6．在ΔABC中，cosA=sinB=12A．3 B．23 C．3 D．7．函數的部分圖象大致是（）A． B．C． D．8．下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直分別為直角三角形的斜邊，直角邊，.若，，在整個圖形中隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）（）A． B．C． D．9．復數（為虛數單位）的虛部是（）．A． B． C． D．10．在二項式的展開式中任取2項，則取出的2項中系數均為偶數的概率為（）A． B． C． D．11．設函數fx=x3+a-1x2A．y=-2x B．y=-x C．y=2x D．y=x12．從，，中任取個不同的數字，從，，中任取個不同的數字，可以組成沒有重復數字的四位偶數的個數為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若拋物線上一點到焦點和拋物線的對稱軸的距離分別是10和6，則的值為___.14．不等式的解集是_________.15．某幾何體由一個半圓錐和一個三棱錐組合而成，其三視圖如圖所示（單位：厘米），則該幾何體的體積（單位：立方厘米）是________.16．若，其中都是實數，是虛數單位，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（是自然對數的底數）.（1）求函數在區間上的最值；（2）若關于的不等式恒成立，求的最大值.18．（12分）已知等比數列的前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）若，，求數列的前項和.19．（12分）如圖，在空間四邊形OABC中，已知E是線段BC的中點，G在AE上，且．試用向量，，表示向量；若，，，，求的值．20．（12分）已知函數f(x)=x(1)判斷并證明f(x)在[0,1(2)若x∈[-1,2]，求21．（12分）已知數列，，，，，，記數列的前項和．1計算，，，；2猜想的表達式，并用數學歸納法證明．22．（10分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）若，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據對數的真數大于零這一原則得出關于的不等式，解出可得出函數的定義域．【題目詳解】由題意可得，解得，因此，函數的定義域為，故選C．【題目點撥】本題考查對數型函數的定義域的求解，求解時應把握“真數大于零，底數大于零且不為”，考查計算能力，屬于基礎題．2、A【解題分析】

根據a,b,c成等差數列，a+b+c=1，可解得a,b,c，進而求出.【題目詳解】由，得.則，故選A.【題目點撥】本題考查根據隨機變量X的分布列求概率，分析題目條件易求出．3、D【解題分析】

由散點圖知變量負相關，回歸直線方程的斜率小于1；回歸直線在y軸上的截距大于1．可得答案.【題目詳解】由散點圖可知，變量之間具有負相關關系．

回歸直線的方程的斜率．

回歸直線在軸上的截距是正數．

故選：D【題目點撥】本題考查了散點圖與線性回歸方程的應用問題，是基礎題．4、B【解題分析】分析：先求出的坐標，然后根據向量垂直的結論列出等式求出x，再求即可.詳解：由題可得：故選B.點睛：考查向量的坐標運算，向量垂直關系和模長計算，正確求解x是解題關鍵，屬于基礎題.5、A【解題分析】

由三角函數的定義可求出的值.【題目詳解】由三角函數的定義可得，故選A.【題目點撥】本題考查三角函數的定義，解題的關鍵在于三角函數的定義進行計算，考查計算能力，屬于基礎題.6、B【解題分析】

通過cosA=sinB=1【題目詳解】由于cosA=12，A∈(0,π)，可知A=π3，而sinB=12，B=π【題目點撥】本題主要考查解三角形的綜合應用，難度不大.7、B【解題分析】

先判斷函數奇偶性，再根據對應區間函數值的正負確定選項.【題目詳解】為偶函數，舍去A;當時,舍去C；當時,舍去D；故選：B【題目點撥】本題考查函數奇偶性以及識別函數圖象，考查基本分析求解判斷能力，屬基礎題.8、D【解題分析】

首先計算出圖形的總面積以及陰影部分的面積，再根據幾何概型的概率計算公式計算可得.【題目詳解】解：因為直角三角形的斜邊為，，，所以，以為直徑的圓面積為，以為直徑的圓面積為，以為直徑的圓面積為.所以圖形總面積，，所以.故選：【題目點撥】本題考查面積型幾何概型的概率計算問題，屬于基礎題.9、A【解題分析】

利用復數的除法法則將復數表示為一般形式，可得出復數的虛部．【題目詳解】，因此，該復數的虛部為，故選A．【題目點撥】本題考查復數的除法，考查復數的虛部，對于復數問題的求解，一般利用復數的四則運算法則將復數表示為一般形式，明確復數的實部與虛部進行求解，考查計算能力，屬于基礎題．10、C【解題分析】

二項式的展開式共十項，從中任取2項，共有種取法，再研究其系數為偶數情況有幾個，從中取兩個有幾種取法得出答案．【題目詳解】二項式的展開式共十項，從中任取2項，共有種取法，展開式系數為偶數的有，共六個，取出的2項中系數均為偶數的取法有種取法，取出的2項中系數均為偶數的概率為故選：【題目點撥】本題考查二項式定理及等可能事件的概率，正確求解本題的關鍵是找出哪些項的系數是偶數，求出取出的2項中系數均為偶數的事件包含的基本事件數．11、D【解題分析】

分析：利用奇函數偶次項系數為零求得a=1，進而得到f(x)的解析式，再對f(x)求導得出切線的斜率k，進而求得切線方程.詳解：因為函數f(x)是奇函數，所以a-1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x所以f'(0)=1,f(0)=0，所以曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為y-f(0)=f'(0)x，化簡可得y=x，故選D.點睛：該題考查的是有關曲線y=f(x)在某個點(x0,f(x012、A【解題分析】

根據選取的兩個偶數是否包含0分為兩種情況，種數相加得到答案.【題目詳解】選取的兩個偶數不包含0時：選取的兩個偶數包含0時：故共有96個偶數答案選A【題目點撥】本題考查了排列組合，將情況分類可以簡化計算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2或18【解題分析】

設出符合題意的拋物線上一點的坐標，代入拋物線方程，解方程求得的值.【題目詳解】拋物線的焦點為，對稱軸為軸，，故可設符合題意的點的坐標為，代入拋物線方程得，解得或，負根舍去.【題目點撥】本小題主要考查拋物線方程的求法，考查拋物線的幾何性質，考查方程的思想，屬于基礎題.14、【解題分析】

由不等式得，所以，等價于，解之得所求不等式的解集.【題目詳解】由不等式得，即，所以，此不等式等價于，解得或，所以不等式的解集是：，故填：.【題目點撥】本題考查分式不等式的解法，一般的步驟是：移項、通分、分解因式、把每個因式未知數的系數化成正、轉化為一元二次不等式或作簡圖數軸標根、得解集，屬于基礎題.15、【解題分析】

根據三視圖確定出三棱錐的底面是一個等腰直角三角形且直角邊長度都是，高為；半圓錐的底面是半徑為的半圓，高為；據此計算出該幾何體的體積.【題目詳解】由三視圖可知，三棱錐的體積：；半圓錐體積：，所以總體積為：.故答案為：.【題目點撥】本題考查空間幾何體的體積計算，難度較易.計算組合體的體積時，可將幾何體拆分為幾個容易求解的常見幾何體，然后根據體積公式完成求解.16、【解題分析】

首先進行復數的乘法運算，得到，的值，然后代入求解即可得到結果【題目詳解】解得，故答案為【題目點撥】本題是一道關于考查復數概念的題目，熟練掌握復數的四則運算是解題的關鍵，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）最大值為-1，最小值為（2）1【解題分析】

（1）先求出導函數，代入即可求得，于是可知函數在區間上的單調性，于是得到最值；（2）不等式可化為，分和兩種情況討論即得答案.【題目詳解】（1）由，有，得，故則，令，得，故函數的增區間為，減區間為由，，，，得：故函數在區間上的最大值為-1，最小值為（2）不等式可化為令，則①當時，，函數在區間上單調遞減，由，則當時，，此時不可能恒成立，不符合題意；②當時，函數的增區間為，減區間為，故有得，故令，則∴時，，時，∴在上是增函數，在上是減函數，∴∴當時，取最大值1【題目點撥】本題主要考查利用導函數求原函數的最值，利用導函數研究含參恒成立問題，意在考查學生的分析能力，邏輯推理能力，轉化能力，計算能力，分類討論能力，難度較大.18、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：(1)由題意求得首項和公比，據此可得數列的通項公式為；(2)錯位相減可得數列的前項和.試題解析：（1）設數列的公比為，∵，，∴，∵，∴，∴，∴或，∵，∴，，∴；（2），，，，∴，∴.19、（1）；（2）.【解題分析】

又，由此即可求出結果；（2）利用，和數量及的定義，代入得結果．【題目詳解】解：又由問知．【題目點撥】本題考查平面向量的基本定理，和平面向量的數量積的運算公式及平面向量基本定理的應用．20、(1)見解析，(2)[-1【解題分析】

(1)根據函數的單調性的定義證明即可；(2)根據函數的單調性，求出函數的值域即可．【題目詳解】解：(1)f(x)在[0,1任取0≤x1因為0≤x1<x2≤1，所以x1∴f(x1)-f(x2)<0，∴f(x)在∴f(x)在[0,1(2)∵x∈[-1,2又f(x)在[-1,2]上遞增，在∴f(x)∴f(x)的值域為[-【題目點撥】本題考查了函數的單調性問題，考查求函數的最值，是一道中檔題．21、1，，，；2，證明見解析.【解題分析】

（1）S1＝a1，由S2＝a1+a2求得S2，同理求得S3，S1．（2）由（1）猜想猜想，n∈N+，用數學歸納法證明，檢驗n＝1時，猜想成立；假設，則當n＝k+1時，由條件可得當n＝k+1時，也成立，從而猜想仍然成立．【題目詳解】

；；；；猜想．證明：當時，結論顯然成立；假設當時，結論成立，即，則當時，，當時，結論也成立，綜上可知，對任意，．由，知，等式對任意正整數都成立．【題目點撥】本題考查根據遞推關系求數列的通項公式的方法，證明n＝k+1時，是解題的難點．22、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）先求導，再對a分和兩種情