2024屆吉林省長春市文曲星名校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則=（）A． B． C． D．2．如果在一周內(nèi)(周一至周日)安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館,每天最多只安排一所學(xué)校,要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天,其余學(xué)校均只參觀一天,那么不同的安排方法有()A．50種 B．60種C．120種 D．210種3．設(shè)復(fù)數(shù)z=1+i（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z+1A．12 B．12i C．4．已知對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩漸近線方程為，若雙曲線上有一點(diǎn)，使，則雙曲線的焦點(diǎn)（）A．在軸上 B．在軸上C．當(dāng)時在軸上 D．當(dāng)時在軸上5．甲乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊(duì)獲勝的概率是23A．2027B．49C．86．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，若存在實(shí)數(shù)，使不等式對于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．某射手射擊一次擊中靶心的概率是,如果他在同樣的條件下連續(xù)射擊10次,設(shè)射手擊中靶心的次數(shù)為,若,,則()A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.38．已知隨機(jī)變量的分布列為（）01若，則的值為（）A． B． C． D．9．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（）A．2019 B．1 C．0 D．-110．如圖，在三棱錐中，面，是上兩個三等分點(diǎn)，記二面角的平面角為，則（）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值11．若函數(shù)在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．≥3 B．=3 C．≤3 D．0<<312．已知復(fù)數(shù)z=2+i，則A． B． C．3 D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是拋物線C上的一點(diǎn)滿足，則拋物線C的方程為________.14．長方體內(nèi)接于球O，且，，則A、B兩點(diǎn)之間的球面距離為______．15．已知m＞0,函數(shù).若存在實(shí)數(shù)n，使得關(guān)于x的方程f2(x)-(2n+1)f(x)+n2+n=0有6個不同的根，則m的取值范圍是________．16．定積分的值等于________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求直線與平面所成角的正弦值.（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.18．（12分）某公司新上一條生產(chǎn)線，為保證新的生產(chǎn)線正常工作，需對該生產(chǎn)線進(jìn)行檢測，現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，測量產(chǎn)品數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計方法得到樣本的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，以頻率值作為概率估值．（1）從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取一件，記其數(shù)據(jù)為，依據(jù)以下不等式評判（表示對應(yīng)事件的概率）①②③評判規(guī)則為：若至少滿足以上兩個不等式，則生產(chǎn)狀況為優(yōu)，無需檢修；否則需檢修生產(chǎn)線，試判斷該生產(chǎn)線是否需要檢修；（2）將數(shù)據(jù)不在內(nèi)的產(chǎn)品視為次品，從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取2件，次品數(shù)記為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．19．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求證：.20．（12分）已知．（I）求；（II）當(dāng)，求在上的最值．21．（12分）（1）已知，是虛數(shù)單位，若，是純虛數(shù)，寫出一個以為其中一根的實(shí)系數(shù)一元二次方程；（2）求純虛數(shù)的平方根．22．（10分）已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用集合的基本運(yùn)算定義即可求出答案【題目詳解】已知集合，，利用集合的基本運(yùn)算定義即可得：答案：B【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題2、C【解題分析】

可用分步計數(shù)原理去做,分成兩步，第一步安排甲學(xué)校共有A61種方法,第二步安排另兩所學(xué)校有A52【題目詳解】先安排甲學(xué)校的參觀時間,因?yàn)榧讓W(xué)校連續(xù)參觀兩天，可以是周一周二,可以是周二周三，可以是周三周四，可以是周四周五，可以是周五周六，可以是周六周日,所以共有A61然后在剩下的5天中任選兩天有序地安排其余兩校參觀,安排方法有A5按照分步計數(shù)乘法原理可知共有A61【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分步計數(shù)原理在排列組合中的應(yīng)用，注意分步與分類的區(qū)別，對于有限制條件的元素要先安排，再安排其他的元素，本題是一個易錯題.3、A【解題分析】由z=1+i，得z+1z=1+i+4、B【解題分析】

設(shè)出雙曲線的一般方程，利用題設(shè)不等式，令二者平方，整理求得的，進(jìn)而可判斷出焦點(diǎn)的位置．【題目詳解】漸近線方程為，，平方，兩邊除，，，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程，考查對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解與運(yùn)用，求解時要注意焦點(diǎn)落在軸或軸的特點(diǎn)，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力．5、A【解題分析】試題分析：“甲隊(duì)獲勝”包括兩種情況，一是2:0獲勝，二是2:1獲勝.根據(jù)題意若是甲隊(duì)2:0獲勝，則比賽只有2局，其概率為(23)2=49；若是甲隊(duì)2:1獲勝，則比賽3局，其中第3考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件的概率及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，屬于中檔題.本題解答的關(guān)鍵是讀懂比賽的規(guī)則，尤其是根據(jù)“采用三局兩勝制比賽，即先勝兩局者獲勝且比賽結(jié)束”把整個比賽所有的可能情況分成兩類，甲隊(duì)以2:0獲勝或2:1獲勝，據(jù)此分析整個比賽過程中的每一局的比賽結(jié)果，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式求得每種情況的概率再由互斥事件的概率加法公式求得答案.6、C【解題分析】

對函數(shù)求導(dǎo)，分別求出和的值，得到，利用導(dǎo)數(shù)得函數(shù)的最小值為1，把存在實(shí)數(shù)，使不等式對于任意恒成立的問題轉(zhuǎn)化為對于任意恒成立，分離參數(shù)，分類討論大于零，等于零，小于零的情況，從而得到的取值范圍。【題目詳解】由題可得，分別把和代入與中得到，解得：；，，即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；要存在實(shí)數(shù)，使不等式對于任意恒成立，則不等式對于任意恒成立，即不等式對于任意恒成立；（1）當(dāng)時，顯然不等式不成立，舍去；（2）當(dāng)時，不等式對于任意恒成立轉(zhuǎn)化為對于任意恒成立，即，解得：；（3）當(dāng)時，不等式對于任意恒成立轉(zhuǎn)化為對于任意恒成立，即，解得：；綜述所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)解析式的求法，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值，分類參數(shù)法，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想，分類討論的能力，屬于中檔題。7、B【解題分析】

隨機(jī)變量X～B（10，p），所以DX=10p(1?p)=2.4，可得p=0.4或p=0.6，又因?yàn)镻(X=3)<P(X=7),即，可得p>，所以p=0.6.【題目詳解】依題意,X為擊中目標(biāo)的次數(shù),所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布X～B(10,p)，所以D（X）=10p(1?p)=2.4，所以p=0.4或p=0.6，又因?yàn)镻(X=3)<P(X=7),即，所以1?p<p,即p>，所以p=0.6.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布的概率計算、期望與方差，根據(jù)二項(xiàng)分布概率計算公式進(jìn)行求解即可，屬于簡單題.8、A【解題分析】

先由題計算出期望，進(jìn)而由計算得答案。【題目詳解】由題可知隨機(jī)變量的期望，所以方差，解得，故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查隨機(jī)變量的期望與方差，屬于一般題。9、C【解題分析】

根據(jù)題意推導(dǎo)出函數(shù)的對稱性和周期性，可得出該函數(shù)的周期為，于是得出可得出答案．【題目詳解】函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，，所以，函數(shù)的周期為，且，，，，，，，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查抽象函數(shù)求值問題，求值要結(jié)合題中的基本性質(zhì)和相應(yīng)的等式進(jìn)行推導(dǎo)出其他性質(zhì)，對于自變量較大的函數(shù)值的求解，需要利用函數(shù)的周期性進(jìn)行求解，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中等題．10、B【解題分析】

將三棱錐放入長方體中，設(shè)，，，計算，，則，得到答案.【題目詳解】將三棱錐放入長方體中，設(shè)，，，如圖所示：過作平面與，與，連接，則為二面角的平面角，設(shè)為，則，，故.同理可得：設(shè)二面角的平面角為，.，當(dāng)，即時等號成立.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二面角，和差公式，均值不等式，意在考查學(xué)生的計算能力，空間想象能力和綜合應(yīng)用能力.11、A【解題分析】

由題可得：在恒成立.整理得：在恒成立.求得：，即可得：，問題得解．【題目詳解】由題可得：在恒成立.即：在恒成立．又，所以.所以故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，還考查了恒成立問題解決方法，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．12、D【解題分析】

題先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則即得.【題目詳解】∵故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，共軛復(fù)數(shù)的定義等知識，屬于基礎(chǔ)題..二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由在拋物線C上,結(jié)合拋物線的定義,即可求拋物線C的方程.【題目詳解】當(dāng)時,,解得,則拋物線C的方程為:;當(dāng)時,,解得,則拋物線C的方程為:;故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用拋物線的定義求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,難度較易.14、【解題分析】

利用長方體外接球直徑為其體對角線長求得外接球半徑，及所對球心角，利用弧長公式求出答案．【題目詳解】由，，得，長方體外接球的半徑為正三角形，，兩點(diǎn)間的球面距離為，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了長方體外接球問題，以及求兩點(diǎn)球面距離，屬于簡單題．15、.【解題分析】分析：作出的圖象，依題意可得4m－m2+1＜m，解之即可.詳解：作出f(x)的圖象如圖所示．當(dāng)x＞m時，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，f2(x)-(2n+1)f(x)+n2+n=0，[f(x)-n][f(x)-(n+1)]=0。f(x)=n或f(x)=n+1∴要使方程f2(x)-(2n+1)f(x)+n2+n=0有6個不同的根，則4m－m2+1＜m，即m2－3m－1＞0.又m＞0，解得m＞.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是關(guān)鍵，分析到4m－m2+1＜m是難點(diǎn).16、ln1【解題分析】

直接根據(jù)定積分的計算法則計算即可．【題目詳解】，故答案為：ln1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分的計算，關(guān)鍵是求出原函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】分析：（Ⅰ）取AD中點(diǎn)為O，連接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），進(jìn)一步求出向量的坐標(biāo)，再求出平面PCD的法向量，設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ，由求得直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（Ⅱ）假設(shè)存在M點(diǎn)使得BM∥平面PCD，設(shè)，M（0，y1，z1），由可得M（0，1﹣λ，λ），，由BM∥平面PCD，可得，由此列式求得當(dāng)時，M點(diǎn)即為所求．詳解：(1)取AD的中點(diǎn)O，連接PO，CO.因?yàn)镻A＝PD，所以PO⊥AD.又因?yàn)镻O?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因?yàn)镃O?平面ABCD，所以PO⊥CO.因?yàn)锳C＝CD，所以CO⊥AD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），則，，設(shè)為平面PCD的法向量，則由，得，則．設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ，則=；(2)假設(shè)存在M點(diǎn)使得BM∥平面PCD，設(shè)，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，則有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，為平面PCD的法向量，∴，即，解得．綜上，存在點(diǎn)M，即當(dāng)時，M點(diǎn)即為所求．點(diǎn)睛：點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.18、(1)不滿足至少兩個不等式，該生產(chǎn)線需檢修;(2)見解析.【解題分析】分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖得出X落在上的概率，從而得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意，的可能值為：0,1,2，分別求出對應(yīng)的概率即可.詳解：（1）由題意知，由頻率分布直方圖得：不滿足至少兩個不等式，該生產(chǎn)線需檢修．（2）由（1）知：任取一件是次品的概率為：任取兩件產(chǎn)品得到次品數(shù)的可能值為：0,1,2則的分布列為：012（或）點(diǎn)睛：本題考查了頻率分布直方圖，離散型隨機(jī)變量的分布列，屬于中檔題.19、（1）在上減，上增；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)函數(shù)，由是的極值點(diǎn)可求出，即，對導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，進(jìn)而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）由，進(jìn)而可得，記，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出的最小值，進(jìn)而可得證.【題目詳解】（1）解：的定義域?yàn)椋桑裕忠驗(yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，注意到，所以在上減，上增.（2）由，所以,記，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以是的最小值點(diǎn)，，故.【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)函數(shù)的研究函數(shù)的單調(diào)性以及最值中的應(yīng)用，需掌握極值點(diǎn)的定義，屬于中檔題.20、(1).（2），.【解題分析】分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，指接代入x=1即可；（2）將參數(shù)值代入，對函數(shù)求