2023年湖南省長沙市中考數學真題試卷及答案一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的.請在答題卡中填涂符合題意的選項，本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1.下列各數中，是無理數的是（）A. B.π C. D.0【答案】B【解析】根據無理數的定義解答即可．解：A．是分數，屬于有理數，故本選項不符合題意；B．π是無限不循環小數是無理數，故本選項符合題意；C．是整數，屬于有理數，故本選項不符合題意；D．0整數，屬于有理數，故本選項不符合題意．故選：B．【點撥】本題考查的是無理數，熟知無限不循環小數叫做無理數是解題的關鍵．2.下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據軸對稱圖形的定義（如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，那么這樣的圖形就叫做軸對稱圖形）對四個選項進行分析．解：根據軸對稱圖形的定義可知：A，B，C都不是軸對稱圖形，只有D是軸對稱圖形．故選：D．【點撥】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，難度不大，掌握定義是解答的關鍵．3.下列計算正確是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根據同底數冪的乘法與冪的乘方、完全平方公式、整式的乘法對每個式子一一判斷即可．解：A.，本選項符合題意；B.，本選項不符合題意；C.，本選項不符合題意；D.，本選項不符合題意；故選：A．【點撥】此題主要考查了整式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．4.下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A.1，3，4 B.2，2，7 C.4，5，7 D.3，3，6【答案】C【解析】根據三角形的三邊關系分別判斷即可．解：，∴1，3，4不能組成三角形，故A選項不符合題意；，∴2，2，7不能組成三角形，故B不符合題意；，∴4，5，7能組成三角形，故C符合題意；，∴3，3，6不能組成三角形，故D不符合題意，故選：C．【點撥】本題考查了三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解題的關鍵．5.2022年，長沙市全年地區生產總值約為1400000000000元，比上年增長．其中數據1400000000000用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】科學記數法的表現形式為的形式，其中，n為整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，n是正整數，當原數絕對值小于1時，n是負整數．解：∵科學記數法的表現形式為的形式，其中，∴，故選：A．【點撥】本題考查了科學記數法的表示方法，科學記數法的表現形式為的形式，其中，n為整數，表示時關鍵是要正確確定a的值以及n的值．6.如圖，直線直線n，點A在直線n上，點B在直線m上，連接，過點A作，交直線m于點C．若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據兩直線平行，同旁內角互補得出，結合已知條件即可求出∠2的度數．解：如圖所示，∵直線直線n，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點撥】本題考查了平行線的性質和垂線的定義，熟知：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．7.長沙市某一周內每日最高氣溫的情況如圖所示，下列說法中錯誤的是（）A.這周最高氣溫是32℃B.這組數據的中位數是30C.這組數據的眾數是24D.周四與周五的最高氣溫相差8℃【答案】B【解析】根據折線統計圖，可得答案．解：A.由縱坐標看出，這一天中最高氣溫是32℃，說法正確，故A不符合題意；B.這組數據的中位數是27，原說法錯誤，故B符合題意；C.這組數據的眾數是24，說法正確，故C不符合題意；D.周四與周五的最高氣溫相差8℃，由圖，周四、周五最高溫度分別為32℃，24℃，故溫差為（℃），說法正確，故D不符合題意；故選：B．【點撥】此題主要考查了折線統計圖，由縱坐標看出氣溫，橫坐標看出時間是解題的關鍵．8.不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式組的解集表示在數軸上即可．解：由得，由得，解集在數軸上表示為：，則不等式組的解集為．故選：A．【點撥】本題考查了解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．9.下列一次函數中，y隨x的增大而減小的函數是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據一次函數、正比例函數的增減性與系數的關系判斷即可．解：由一次函數、正比例函數增減性知，x系數小于0時，y隨x的增大而減小，，故只有D符合題意，故選：D．【點評】本題考查了正比例函數的性質，一次函數的性質，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）10.分解因式：n2﹣100=_____．【答案】（n-10）（n+10）【解析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．解：n2-100=n2-102=（n-10）（n+10）．故答案為：（n-10）（n+10）．【點撥】本題主要考查了公式法分解因式，正確應用平方差公式是解題關鍵．11.睡眠管理作為“五項管理”中重要的內容之一，也是學校教育重點關注的內容．某老師了解到班上某位學生的5天睡眠時間（單位：小時）如下：10，9，10，8，8，則該學生這5天的平均睡眠時間是_____小時．【答案】9【解析】根據平均數的定義列式計算即可．解：（小時）．即該學生這5天的平均睡眠時間是9小時．故答案為：9．【點撥】本題考查了平均數，平均數是指在一組數據中所有數據之和再除以數據的個數．它是反映數據集中趨勢的一項指標．12.如圖，已知，點D在上，以點B為圓心，長為半徑畫弧，交于點E，連接，則的度數是_______度．【答案】65【解析】根據題意可得，再根據等腰三角形兩個底角相等和三角形內角和為180°進行計算即可解答．解：根據題意可得：，∴，∵，∴．故答案為：65．【點撥】本題主要考查了等腰三角形的性質、三角形內角和等知識點，掌握等腰三角形的性質是解答本題的關鍵．13.如圖，在平面直角坐標系中，點在反比例函數為常數，，的圖象上，過點作軸的垂線，垂足為，連接．若的面積為，則___________________．【答案】##【解析】由的幾何意義可得，從而可求出的值．解：的面積為，所以．故答案為：．【點撥】本題主要考查了k的幾何意義．用k表示三角形AOB的面積是本題的解題關鍵．14.如圖，點A，B，C在半徑為2的上，，，垂足為E，交于點D，連接，則的長度為_____．【答案】1【解析】連接，利用圓周角定理及垂徑定理易得，則，結合已知條件，利用直角三角形中角對的直角邊等于斜邊的一半即可求得答案．解：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案為：1．【點撥】本題考查圓與直角三角形性質的綜合應用，結合已知條件求得是解題的關鍵．15.毛主席在《七律二首?送瘟神》中寫道“坐地日行八萬里，巡天遙看一千河”，我們把地球赤道看成一個圓，這個圓的周長大約為“八萬里”．對宇宙千百年來的探索與追問，是中華民族矢志不渝的航天夢想．從古代詩人屈原發出的《天問》，到如今我國首次火星探測任務被命名為“天問一號”，太空探索無上境，偉大夢想不止步．2021年5月15日，我國成功實現火星著陸．科學家已經探明火星的半徑大約是地球半徑的，若把經過火星球心的截面看成是圓形的，則該圓的周長大約為_____萬里．【答案】4【解析】先求出地球的半徑，再根據火星的半徑大約是地球半徑的，即可求出答案．解：設地球的半徑為萬里，則，解得，∴火星的半徑為萬里，∴經過火星球心的截面的圓的周長大約為萬里．故答案為：．【點撥】本題考查了圓的周長，熟練掌握圓的周長公式是關鍵．三、解答題（本大題共9個小題，第17.18.19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22.23題每小題6分，第24.25題每小題6分，共72分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）16.計算：．【答案】【解析】分別根據絕對值、零指數冪的運算法則及負整數指數冪的運算法則、特殊角的三角函數值計算出各數，再根據實數混合運算的法則進行計算即可．解：原式．【點撥】本題考查絕對值、零指數冪的運算法則、負整數指數冪的運算法則、特殊角的三角函數值，熟知各個運算法則是解答此題的關鍵．17.先化簡，再求值：，其中．【答案】，6【解析】先去括號、再合并同類項將原式進行化簡，然后將代入計算即可解答．解：，，；當時，原式．【點撥】本題考查了整式的混合運算、化簡求值等知識點，正確利用整式混合運算法則化簡成為解題的關鍵．18.年月日點分，“神舟十六號”載人飛船在中國酒泉衛星發射中心點火發射，成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國空間站．如圖，在發射的過程中，飛船從地面處發射，當飛船到達點時，從位于地面處的雷達站測得的距離是，仰角為；后飛船到達處，此時測得仰角為．（1）求點離地面的高度；（2）求飛船從處到處的平均速度．(結果精確到，參考數據：)【答案】（1）（2）飛船從處到處的平均速度約為【解析】（1）根據含度角的直角三角形的性質即可得到結論；（2）在中，根據直角三角形的性質得到，在中，根據等腰直角三角形的性質得到，于是得到結論．【小問1詳解】解：在中，，，，，【小問2詳解】在中，，，，，在中，，，，，，飛船從處到處的平均速度．【點撥】本題考查了解直角三角形-俯角仰角問題，準確識圖，熟練運用相關知識是解題的關鍵．19.為增強學生安全意識，某校舉行了一次全校3000名學生參加的安全知識競賽．從中隨機抽取n名學生的競賽成績進行了分析，把成績分成四個等級（D：；C：；B：；A：），并根據分析結果繪制了不完整的頻數分布直方圖和扇形統計圖．請根據以上信息，解答下列問題：（1）填空：n=，m=；（2）請補全頻數分布直方圖；（3）扇形統計圖中B等級所在扇形的圓心角度數為度；（4）若把A等級定為“優秀”等級，請你估計該校參加競賽的3000名學生中達到“優秀”等級的學生人數．【答案】（1）150，36；（2）見解析（3）144（4）估計該校參加競賽的3000名學生中達到“優秀”等級的學生人數有480人【解析】（1）根據B等級的頻數和所占的百分比，可以求得n的值，根據C等級的頻數和n的值，可以求得m的值；（2）根據（1）中n的值和頻數分布直方圖中的數據，可以計算出D等級的頻數，從而可以將頻數分布直方圖補充完整；（3）利用360°乘以B等級的百分比即可；（4）利用3000乘以A等級的百分比即可．（1），∵，∴；故答案為：150，36；（2）D等級學生有：（人），補全的頻數分布直方圖，如圖所示：（3）扇形統計圖中B等級所在扇形的圓心角度數為；故答案為：144；（4）（人），答：估計該校參加競賽的3000名學生中達到“優秀”等級的學生人數有480人．【點撥】本題考查頻數分布直方圖、扇形統計圖、用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明確統計圖的特點，利用數形結合的思想解答．20.如圖，，，，垂足分別為，．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）利用“”可證明；（2）先利用全等三角形的性質得到，再利用勾股定理計算出，從而得到的長，然后計算即可．（1）證明：，，，在和中，，；（2）解：，，在中，，，．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．21.為提升學生身體素質，落實教育部門“在校學生每天鍛煉時間不少于1小時”的文件精神．某校利用課后服務時間，在八年級開展“體育賦能，助力成長”班級籃球賽，共個班級參加．（1）比賽積分規定：每場比賽都要分出勝負，勝一場積分，負一場積分．某班級在場比賽中獲得總積分為分，問該班級勝負場數分別是多少？（2）投籃得分規則：在分線外投籃，投中一球可得分，在分線內含分線投籃，投中一球可得分，某班級在其中一場比賽中，共投中個球只有分球和分球，所得總分不少于分，問該班級這場比賽中至少投中了多少個分球？【答案】（1）該班級勝負場數分別是場和場；（2）該班級這場比賽中至少投中了個分球．【解析】（1）設勝了場，負了場，根據場比賽中獲得總積分為分可列方程組，求解即可．（2）設班級這場比賽中投中了個分球，則投中了個分球，根據所得總分不少于分，列出相應的不等式，從而可以求出答案．（1）解：設勝了場，負了場，根據題意得：，解得，答：該班級勝負場數分別是場和場；（2）設班級這場比賽中投中了個分球，則投中了個分球，根據題意得：，解得，答：該班級這場比賽中至少投中了個分球．【點撥】本題考查二元一次方程組的應用和一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組和不等式．22.如圖，在中，平分，交于點E，交的延長線于點F．（1）求證：；（2）若，求的長和的面積．【答案】（1）見解析（2）；的面積為【解析】（1）根據平行線的性質得到，根據角平分線的定義得到，求得，根據等腰三角形的判定定理即可得到；（2）根據線段的和差得到；過D作交的延長線于H，根據直角三角形的性質得到，根據三角形的面積公式即可得到的面積．（1）證明：在中，，∴，∵平分，∴，∴，∴．（2）解：∵，∴；過D作交的延長線于H，∵，∴，∴，∴，∴，∴的面積．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質、三角形面積的計算、等腰三角形的判定和性質等知識點，正確作出輔助線是解題的關鍵．23.如圖，點A，B，C在上運動，滿足，延長至點D，使得，點E是弦上一動點（不與點A，C重合），過點E作弦的垂線，交于點F，交的延長線于點N，交于點M（點M在劣弧上）．（1）是切線嗎？請作出你的判斷并給出證明；（2）記的面積分別為，若，求的值；（3）若的半徑為1，設，，試求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．【答案】（1）是的切線，證明見解析（2）（3）【解析】（1）依據題意，由勾股定理，首先求出，從而，然后根據，可以得解；（2）由題意，據得，再由，進而進行變形利用方程的思想可以得解；（3）依據題意，連接，分別在中，找出邊之間的關系，進而由，可以得解．（1）解：是的切線．證明：如圖，在中，，∴．又點A，B，C在上，∴是的直徑．∵，∴．又，∴．∴．∴是的切線．（2）由題意得，．∵，∴．∴．∴．又∵，∴．∴．∴．又，∴．∴．∴．由題意，設，∴．∴．∴．∵，∴．∴．（3）設，∵，∴．如圖，連接．∴在中，．∴，．∴在中，，．在中，．（∵，∴）．在中，，．∴．即．∵，∴最大值為F與O重合時，即為1．∴．綜上，．【點撥】本題主要考查了圓的相關性質，切線的判定定理，求角的正切值，解題時要熟練掌握并靈活運用．24.我們約定：若關于x二次函數與同時滿足，則稱函數與函數互為“美美與共”函數．根據該約定，解答下列問題：（1）若關于x的二次函數與互為“美美與共”函數，求k，m，n的值；（2）對于任意