概率論與數理統計答案(華南理工)匯報人：AA2024-01-20概率論基本概念與公式隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布數理統計基本概念與方法假設檢驗與方差分析回歸分析初步概率論基本概念與公式01樣本空間所有可能結果的集合，常用大寫字母S表示。事件樣本空間的子集，常用大寫字母A、B、C等表示。基本事件只包含一個樣本點的事件。復合事件由基本事件通過并、交、差等運算得到的事件。樣本空間與事件概率定義事件A發生的可能性大小，常用P(A)表示。概率性質非負性、規范性（P(S)=1）、可加性（互斥事件的概率和等于它們并的概率）。古典概型等可能概率模型，每個基本事件發生的概率相等。幾何概型與長度、面積、體積等幾何度量有關的概率模型。概率定義及性質1條件概率在事件B發生的條件下，事件A發生的概率，記作P(A|B)。乘法公式P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)。事件的獨立性如果P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與B相互獨立。多個事件的獨立性任意多個事件相互獨立的充要條件是它們中任意兩個事件相互獨立。條件概率與獨立性貝葉斯公式在全概率公式的條件下，有P(Bi|A)=P(ABi)/P(A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)。貝葉斯公式的應用用于根據已知信息更新某事件發生的概率。全概率公式如果事件B1,B2,...,Bn構成一個完備事件組，且都有正概率，則對任意事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。全概率公式與貝葉斯公式隨機變量及其分布02隨機變量定義及分類定義隨機變量是定義在樣本空間上的實值函數，它將樣本空間中的每一個樣本點映射到一個實數。分類隨機變量可分為離散型隨機變量和連續型隨機變量。離散型隨機變量的取值是有限個或可列個，而連續型隨機變量的取值則是充滿一個區間。離散型隨機變量的分布律指的是它取各個可能值的概率。對于離散型隨機變量X，其分布律可以用一個概率質量函數p(x)來表示，即p(x)=P{X=x}。分布律定義二項分布、泊松分布、幾何分布等。常見離散型隨機變量分布離散型隨機變量分布律概率密度函數定義連續型隨機變量的概率密度函數是一個描述隨機變量在某個確定取值點附近的可能性的函數。對于連續型隨機變量X，其概率密度函數為f(x)，滿足P{a<X≤b}=∫abf(x)dx。常見連續型隨機變量分布正態分布、均勻分布、指數分布等。連續型隨機變量概率密度函數VS設X是一個隨機變量，g(x)是一個實函數，則Y=g(X)也是一個隨機變量，稱為X的函數。隨機變量函數的分布求法對于離散型隨機變量，可以通過列舉法或母函數法求得其函數的分布；對于連續型隨機變量，可以通過概率密度函數的變換法求得其函數的分布。隨機變量函數的定義隨機變量函數分布多維隨機變量及其分布03設(X,Y)是二維隨機變量，對于任意實數x,y，二元函數$F(x,y)=P{(Xleqx)cap(Yleqy)}$稱為二維隨機變量(X,Y)的聯合分布函數。如果二維隨機變量(X,Y)所有可能取的值是有限的或可列無限的，則稱(X,Y)是離散型的二維隨機變量，稱$P{X=x_i,Y=y_j}=p_{ij},i,j=1,2,...$為二維隨機變量(X,Y)的聯合分布律。聯合分布函數聯合分布律二維隨機變量聯合分布邊緣分布與條件分布二維隨機變量(X,Y)作為一個整體，具有分布函數$F(x,y)$，而X和Y都是隨機變量，各自也有分布函數，將它們分別記為$F_X(x),F_Y(y)$，依次稱為二維隨機變量(X,Y)關于X和關于Y的邊緣分布函數。邊緣分布函數對于二維離散型隨機變量(X,Y)，可以考慮在其中一個隨機變量取確定值的條件下，另一隨機變量的分布。條件分布律定義設F(x,y)及$F_X(x),F_Y(y)$分別是二維隨機變量(X,Y)的聯合分布函數及邊緣分布函數。若對于所有x,y有$P{Xleqx,Yleqy}=P{Xleqx}P{Yleqy}$，則稱隨機變量X和Y是獨立的。性質獨立性的概念可以推廣到兩個以上隨機變量的情形。設n維隨機變量$(X_1,X_2,...,X_n)$的聯合分布函數為$F(x_1,x_2,...,x_n)$，$F_{X_1,...,X_k}(x_1,...,x_k)$為$(X_1,...,X_k)$的聯合分布函數。如果對任意的$k=2,3,...,n$，均有$F_{X_1,...,X_k}(x_1,...,x_k)=F_{X_1}(x_1)...F_{X_k}(x_k)$成立，則稱$X_1,...,X_n$相互獨立。相互獨立隨機變量設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為$f(x,y),(X,Y)$取值于G。若$z=g(x,y)$在G內有單值反函數組$x=h_1(z,w),y=h_2(z,w)$，其變換域為D，則Z=g(X,Y)的概率密度$varphi(z)$為$varphi(z)=int_{-infty}^{infty}f[h_1(z,w),h_2(z,w)]|J|dw,-infty<z<infty$，其中J為雅可比行列式。Z=g(X,Y)的分布類似地，可以討論多個隨機變量的函數分布問題。多個隨機變量的函數分布多維隨機變量函數分布數理統計基本概念與方法0403樣本容量樣本中包含的個體數目，通常用n表示。01總體研究對象的全體個體組成的集合，通常用一個分布函數來描述。02樣本從總體中隨機抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體的性質。總體與樣本統計量樣本的函數，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。要點一要點二統計量的性質包括無偏性、有效性、一致性等，用于評價統計量的優劣。統計量及其性質點估計用一個具體的數值來估計總體參數的方法，如矩估計法、最大似然估計法等。矩估計法用樣本矩來估計總體矩的方法，簡單易行但精度有限。最大似然估計法在已知總體分布的情況下，選擇使得樣本出現概率最大的參數值作為估計值，具有優良的性質。點估計方法置信區間用于區間估計的區間，其端點稱為置信界限。樞軸量法構造一個包含總體參數和樣本統計量的函數，使其分布與總體參數無關，從而得到置信區間的方法。置信水平置信區間包含總體參數真值的概率，通常取95%或99%。區間估計用一個區間來估計總體參數的方法，該區間以一定的概率包含總體參數的真值。區間估計方法假設檢驗與方差分析05原假設與備擇假設原假設通常是研究者想要推翻的假設，而備擇假設則是研究者希望證實的假設。檢驗統計量與拒絕域檢驗統計量是根據樣本數據計算出的用于判斷原假設是否成立的統計量，而拒絕域則是根據顯著性水平和檢驗統計量的分布確定的，當檢驗統計量落入拒絕域時，我們拒絕原假設。顯著性水平與P值顯著性水平是事先設定的用于判斷原假設是否成立的標準，而P值則是根據樣本數據計算出的原假設成立時得到當前或更極端結果的概率。當P值小于或等于顯著性水平時，我們拒絕原假設。假設檢驗基本原理單樣本t檢驗用于檢驗單個正態總體均值是否等于某個已知值。卡方檢驗用于檢驗單個正態總體方差是否等于某個已知值。單個正態總體均值和方差檢驗兩獨立樣本t檢驗用于比較兩個獨立正態總體的均值是否有顯著差異。F檢驗用于比較兩個正態總體方差是否有顯著差異。兩配對樣本t檢驗用于比較兩個相關正態總體的均值是否有顯著差異。兩個正態總體均值和方差比較檢驗通過比較不同組間的差異與組內差異來推斷各因素對結果的影響是否顯著。方差分析基本思想研究多個因素對結果的影響及其交互作用是否顯著。多因素方差分析研究單個因素對結果的影響是否顯著。單因素方差分析廣泛應用于醫學、社會科學、經濟學等領域中，如藥物療效比較、不同教學方法效果評估等。方差分析的應用01030204方差分析原理及應用回歸分析初步06123通過觀察散點圖，判斷兩個變量之間是否存在線性關系。散點圖分析根據散點圖分析結果，設定一元線性回歸模型y=β0+β1x+ε，其中β0和β1為待估參數，ε為隨機誤差項。設定回歸模型為確保回歸模型的有效性，需滿足一些基本假設，如誤差項的獨立性、同方差性等。假設條件一元線性回歸模型建立最小二乘法原理通過最小化殘差平方和，求解回歸系數β0和β1。正規方程組根據最小二乘法原理，構建并求解正規方程組，得到β0和β1的估計值。回歸系數的解釋回歸系數β1表示自變量x對因變量y的影響程度，β0為截距項。最小二乘法求解回歸系數030201F檢驗通過構造F統計量，檢驗回歸方程的整體顯著性。相關系數檢驗計算相關系數r，判斷x和y之間的線性關系