2021年全國統一高考數學試卷（新高考全國Ⅱ卷）使用省份：海南?遼寧?重慶一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數在復平面內對應的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】，所以該復數對應的點為，該點在第一象限，2.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設可得，故.3.拋物線的焦點到直線的距離為，則（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】拋物線的焦點坐標為，其到直線的距離：，解得(舍去).4.北斗三號全球衛星導航系統是我國航天事業的重要成果．在衛星導航系統中，地球靜止同步衛星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點A的緯度是指與赤道平面所成角的度數．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛星點的緯度最大值為，記衛星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（）A.26% B.34% C.42% D.50%【答案】C【解析】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：..5.正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側棱長為2，所以該棱臺的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺的體積.6.某物理量的測量結果服從正態分布，下列結論中不正確的是（）A.越小，該物理量在一次測量中在的概率越大B.越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.越小，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【答案】D【解析】對于A，為數據的方差，所以越小，數據在附近越集中，所以測量結果落在內的概率越大，故A正確；對于B，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；對于C，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；對于D，因為該物理量一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，故D錯誤.7.已知，，，則下列判斷正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，即.8.已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為函數為偶函數，則，可得，因為函數為奇函數，則，所以，，所以，，即，故函數是以為周期的周期函數，因為函數為奇函數，則，故，其它三個選項未知.二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列統計量中，能度量樣本的離散程度的是（）A.樣本的標準差 B.樣本的中位數C.樣本的極差 D.樣本的平均數【答案】AC【解析】由標準差的定義可知，標準差考查的是數據的離散程度；由中位數的定義可知，中位數考查的是數據的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數據的離散程度；由平均數的定義可知，平均數考查的是數據的集中趨勢.11.已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（）A.若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B.若點A在圓C內，則直線l與圓C相離C.若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D.若點A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【解析】圓心到直線l的距離，若點在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點在圓C內，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.12.設正整數，其中，記．則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A選項，，，所以，，A選項正確；對于B選項，取，，，而，則，即，B選項錯誤；對于C選項，，所以，，，所以，，因此，，C選項正確；對于D選項，，故，D選項正確.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為_______________【答案】【解析】因為雙曲線的離心率為2，所以，所以，則該雙曲線的漸近線方程為.14.寫出一個同時具有下列性質①②③的函數_______．①；②當時，；③是奇函數．【答案】（答案不唯一，均滿足）【解析】取，則，滿足①，，時有，滿足②，的定義域為，又，故是奇函數，滿足③.15.已知向量，，，_______．【答案】【解析】由已知可得，因此，16.已知函數，函數的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是_______．【答案】【解析】由題意，，則，所以點和點，,所以，所以，所以，同理,所以.四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.記是公差不為0的等差數列的前n項和，若．（1）求數列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值．【解析】(1)由等差數列的性質可得：，則：，設等差數列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數列的通項公式為：.(2)由數列的通項公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得或，又為正整數，故的最小值為.18.在中，角、、所對邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【解析】（1）因為，則，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關系可得，可得，，故.19.在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．【解析】（1）取的中點為，連接.因為，，則，而，故.在正方形中，因為，故，故，因為，故，故為直角三角形且，因為，故平面，因為平面，故平面平面.（2）在平面內，過作，交于，則，結合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標系.則，故.設平面法向量，則即，取，則，故.而平面的法向量為，故.二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.20.已知橢圓C的方程為，右焦點為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設M，N是橢圓C上的兩點，直線與曲線相切．證明：M，N，F三點共線的充要條件是．【解析】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為，當直線的斜率不存在時，直線，不合題意；當直線的斜率存在時，設，必要性：若M，N，F三點共線，可設直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯立可得，所以，所以，化簡得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過點，M，N，F三點共線，充分性成立；所以M，N，F三點共線的充要條件是．21.一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，．（1）已知，求；（2）設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：的一個最小正實根，求證：當時，，當時，；（3）根據你的理解說明（2）問結論的實際含義．【解析】（1）.（2）設，因為，故，若，則，故.，因為，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數，在上為減函數，若，因為在為增函數且，而當時，因為在上為減函數，故，故為的一個最小正實根，若，因為且在上為減函數，故1為的一個最小正實根，綜上，若，則.若，則，故.此時，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數，在上為減函數，而，故，又，故在存在一個零點，且.所以為的一個最小正實根，此時，故當時，.（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1.22.已知函數．（1）討論的單調性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．【解析】(1)由函數的解析式可得：，當時，若，則單調遞減，若，則單調遞增；當時，若，則單調遞增，若，則單調遞減，若，則單調遞增；當時，在上單調遞增；當時，若，則單調遞增，若，則單調遞減，若，則單調遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數在區間上單調遞增，故函數在區間上有一個零點.，由于，，故，結合函數的